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Caderno de exercícios

de

Álgebra II

Curso: Matemática

Ano Lectivo 2003/

25 de Fevereiro de 2004 (versão 1.0)

Índice

Notas Prévias ii

• 1 Noções sobre conjuntos e aplicações Notações e terminologia iii
  • 1.1 Conjuntos e relações
  • 1.2 Aplicações
• 2 Anéis
  • 2.1 Anéis e Subanéis
  • 2.2 Homomorfismos de anéis
  • 2.3 Ideais
  • 2.4 Relações de congruência. Anéis quociente
  • 2.5 Divisores de zero. Domínios
  • 2.6 Anéis de divisão. Corpos
  • 2.7 Divisibilidade
• 3 Anéis de polinómios
  • 3.1 Polinómios numa indeterminada
  • 3.2 Divisibilidade de polinómios
  • 3.3 Irredutibilidade de polinómios
• 4 Módulos
  • 4.1 Módulos e submódulos
  • 4.2 Submódulo gerado por um conjunto. Módulos livres
  • 4.3 Morfismos de módulos
  • 4.4 Módulos quociente. Teoremas de Isomorfismo
• Bibliografia

Notações e terminologia

Faremos uso dos seguintes símbolos para representar os conjuntos usuais: ; o conjunto vazio N = f 0 , 1 , 2 , 3 , ¢ ¢ ¢g o conjunto dos números naturais Z = f¢ ¢ ¢ , ¡ 2 , ¡ 1 , 0 , 1 , 2 , ¢ ¢ ¢g o conjunto dos números inteiros Q =

nx y 2 R^ :^ x^2 Z^ ^^ y^2 Z^ n f^0 g

o o conjunto dos números racionais R o conjunto dos números reais C o conjunto dos números complexos

Sendo X 2 fN, Z, Q, Rg, representaremos por X> 0 , X≥ 0 e X 6 =0, respectivamente, os seguintes conjuntos:

X> 0 := fx 2 X : x > 0 g X≥ 0 := fx 2 X : x ¸ 0 g X 6 =0 := fx 2 X : x 6 = 0g.

Como exemplos, o conjunto

R≥ 0 := fx 2 R : x ¸ 0 g = [0, + 1 [,

representa o conjunto dos números reais não negativos, enquanto que o conjunto

R 6 =0 := fx 2 R : x 6 = 0g = R n f 0 g ,

representa o conjunto de todos os números reais, excepto o zero. Faremos também uso do símbolo C 6 =0, para representar o conjunto C n f 0 g. De um modo geral, o símbolo K representa um corpo qualquer e o símbolo ‘:=’ quer designar a igualdade de duas entidades por definição. Iremos representar por card(A) o cardinal do conjunto A. O símbolo ‘v’ representa uma subestrutura de uma dada estrutura algébrica. Por exemplo, sendo R um anel e A um subconjunto de R, para abreviar a expressão ‘A é um subanel de R’, usamos o simbolismo A v R.

iii

Tabela de Símbolos

Y X^ o conjunto de todas as aplicações de X em Y Inj(X, Y ) o conjunto de todas as aplicações injectivas de X em Y Surj(X, Y ) o conjunto de todas as aplicações sobrejectivas de X em Y Bij(X, Y ) o conjunto de todas as aplicações bijectivas de X em Y Mor(R, S) (= Hom(R, S)) o conjunto de todos os morfismos de R em S End(R) o conjunto de todos os endomorfismos em R Mono(R, S) o conjunto de todos os monomorfismos de R em S Epi(R, S) o conjunto de todos os epimorfismos de R em S Bim(R, S) o conjunto de todos os bimorfismos de R em S Sect(R, S) o conjunto de todas as secções de R em S Retr(R, S) o conjunto de todas as retracções de R em S Iso(R, S) o conjunto de todos os isomorfismos de R em S Aut(R) o conjunto de todos os automorfismos em R Emb(R, S) o conjunto de todos os mergulhos de R em S Ul(R) (resp., Ur(R), U (R)) o conjunto de todos as unidades (esq., direitas, bilaterais) de R Il(R) (resp., Ir(R), I(R)) o conjunto de todos os ideais (esq., direitos, bilaterais) de R R (A)^ (resp.,^ (A)R,^ (A))^ ideal esquerdo (resp., direito, bilateral) gerado por^ A P (R) o conjunto de todos os elementos primos de R hAi (resp., (^) R hAi) o subanel (resp., R-submódulo) gerado por A

iv

1.1.6) Considere-se a relação » definida para todo o elemento de N^2 por:

(a, b) » (c, d) () a + d = b + c. Mostre que é uma relação de equivalência e diga o que é [(a, b)]. Com esta relação define-se Z := N ∼^2 e à classe de equivalência [(a, b)] chama-se número inteiro.

1.1.7) Seja A := fa, b, c, d, eg e consideremos as relações ρi, i = 1,... , 8 definidas em A.

a) Das relações seguintes, quais são reflexivas, simétricas, transitivas e equivalências:

1. ρ 1 := f(a, b), (b, a), (c, d), (d, c)g.
2. ρ 2 := f(a, b), (b, c), (a, c)g.
3. ρ 3 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, c)g.
4. ρ 4 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e)g (relação identidade).
5. ρ 5 := f(a, b), (c, e), (d, a), (d, b)g.
6. ρ 6 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (c, d), (d, c)g.
7. ρ 7 := ; (relação vazia).
8. ρ 8 := A £ A (relação universal). b) Determine os seguintes conjuntos quociente A/ρ 4 , A/ρ 6 e A/ρ 8.

1.1.8) Considere os conjuntos A := fa, b, cg, B := fd, e, fg e C := fg, hg e as relações:

R := f(a, d), (b, e), (c, d)g e S := f(d, g), (e, h), (f, h)g

definidas, respectivamente, em A £ B e B £ C. Determine S ± R.

1.1.9) Sejam S := Z £ Z 6 =0 e < := f((r, s), (t, u)) 2 S^2 : r ¢ u = s ¢ tg. Mostre que < é uma relação de equivalência em S.

1.2. Aplicações

1.2.1) Sejam A e B conjuntos quaisquer e f : A! B uma aplicação e considere a relação para todo x, y 2 A xρf y () f (x) = f (y). Mostre que ρf é uma relação de equivalência.

1.2.2) Considere uma relação de equivalência qualquer, <, definida em A.

a) Mostre que existe uma aplicação h : A! A/< sobrejectiva. b) Considere uma aplicação f : A! B qualquer, tal que f é compatível com <, ou seja, 8 x, y 2 A : x<y =) f (x) = f (y). Defina g ,i.e., a sua lei de transformação, de modo que o diagrama A h-^ - A <

B

?

f g

¡ ¡ ¡ ¡ª¡

seja comutativo, ou seja, g ± h = f. c) Mostra ainda que, nestas condições, g é sobrejectiva se, e só se, f é sobrejectiva. d) Mostre também que, f é bicompatível com < se, e só se, g é injectiva.

1.2.3) Seja f : A! B uma aplicação que preserva as relações, ou seja,

8 a, b 2 A : a<b =) f (a)<^0 f (b). a) Mostre que existe uma única aplicação f ∗^ : A/<! B/<^0 tal que o seguinte diagrama

B (^) νB^ - <B 0

A νA^ - A <

?

f ?

f ∗

é comutativo. Diz-se que f ∗^ é a aplicação induzida por f. Reciprocamente, se para duas quaisquer aplicações f e f ∗^ o diagrama é comutativo, então f é a aplicação que preserva a relação e, f ∗^ é a aplicação induzida por f. b) Sejam A = B := Z, < :=

(a, a^0 ) 2 Z^2 : a ´ a^0 (mod 4)

, <^0 :=

(b, b^0 ) 2 Z^2 : a ´ a^0 (mod 2)

e f : A! B uma aplicação que preserva a relação, definida por f (n) := n. Sendo f∗^ : A/<! B/<^0 mostre que:

1. f ∗([0] 4 ) = f∗([2] 4 ) = [0] 2.
2. f ∗([1] 4 ) = f∗([3] 4 ) = [1] 2.

1.2.4) Mostre que se f : X! Y é uma aplicação qualquer, então f induz as seguintes aplicações:

1.2.9) Considere A e B dois conjuntos quaisquer. O conjunto A diz-se equivalente ou equipo- tente a B e representa-se por A » B se, e só se, existe uma aplicação bijectiva de A em B. Mostre que a seguinte relação: A » B () 9f : A! B tal que f é bijectiva

é uma relação de equivalência. Diz-se que os conjuntos A, B tem a mesma cardinalidade se card(A) = card(B) () A » B.

1.2.10) Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre que a relação ∙ definida por:

card(A) ∙ card(B) () 9f : A! B tal que f é injectiva

é uma relação de ordem parcial. (Sugestão: Use o teorema de Schröder-Bernstein para conjuntos infinitos. Se tivermos aplicações injectivas de A em B e de B em A, então card(A) = card(B)).

2. Anéis

2.1. Anéis e Subanéis

2.1.1) Mostre que num anel com elemento identidade (R; +, ¢, (^0) R) tem-se que (^0) R = 1R se, e só se, o conjunto suporte de (R; +, ¢, (^0) R) tem um único elemento.

2.1.2) Mostre que se num conjunto singular definirmos duas operações binárias, então ele é uma anel multiplicativo e comutativo.

2.1.3) Verifique se os seguintes conjuntos com as operações indicadas são anéis e, indique os que são comutativos e os que tem identidade: a) (Mn×n(R); +, ¢, On×n), onde R é um anel. Em particular, com R := Z, obtemos o anel Mn×n(Z). b)

Zn; +, ¢, (^0) n, (^1) n

, onde n 2 N. c)

Q

£p p

, onde Q

£p p

x + ypp 2 R : x, y 2 Q ^ p 2 P (N≥ 2 )

e as operações binárias são definidas por: (a + bpp) + (c + dpp) := (a + c) + (b + d) pp (a + bpp) ¢ (c + dpp) := (ac + pbd) + (ad + bc) pp.

Em particular, conclua que Z £pp¤^ é um anel. d) (2Z; +, ¤), onde + é a soma usual e a operação binária ¤ é definida por:

m ¤ n :=^12 mn.

e) R com as operações binárias θ e θ^0 definidas por: xθy := x + y e xθ^0 y := 2xy.

f) A := f(x, 1) 2 R^2 : x 2 Rg e as operações θ e θ^0 definidas por: (x, 1)θ(x^0 , 1) := (x + y, 1) e (x, 1)θ^0 (x^0 , 1) := (xy, 1).

g) fa, bg com as operações binárias “+” e “¢” definidas através das seguintes tabelas:

• a b a a b b b a

e

¢ a b a a a b a b

2.1.4) Seja (R; +, (^0) R) um grupo abeliano no qual se introduz a operação binária “¢” definida para todo o a, b 2 R por a ¢ b = 0R. Mostre que (R; +, ¢, (^0) R) é um anel e verifique se este anel tem identidade.

1. (^0) Ra = a (^0) R = 0R.
2. (¡a)(¡b) = ab.
3. a(¡b) = (¡a)b = ¡(ab).
4. a(b ¡ c) = ab ¡ ac e (b ¡ c)a = ba ¡ ca.

2.1.10) Seja R um anel e a, b 2 R elementos permutáveis. Mostre que se tem:

a) a(¡b) = (¡b)a. b) (¡a)(¡b) = (¡b)(¡a). c) (a + b)n^ = an^ +

¡n 1

an−^1 b +

¡n 2

an−^2 b^2 + ¢ ¢ ¢ +

¡ (^) n n− 1

abn−^1 + bn, onde

¡n k

:= (^) k!(nn−!k)!.

2.1.11) Prove que num anel R são válidas as seguintes regras usuais da aritmética, para todo o m, n 2 Z e a, b 2 R: a) (m + n)a = ma + na. b) (mn)a = m(na). c) m(a + b) = ma + mb. d) n(ab) = (na)b = a(nb).

2.1.12) Prove que num anel R são válidas as seguintes regras usuais da aritmética, para todo o m, n 2 N e a, b 2 R: a) anam^ = an+m. b) (an)m^ = anm. c) Se R é comutativo, então (ab)n^ = anbn.

2.1.13) Mostre que para todo o a, b 2 R, a^2 ¡ b^2 = (a + b)(a ¡ b) se, e só se, R é um anel comutativo.

2.1.14) Sejam R um anel (resp., anel unitário) e A μ R. Mostre que A é um subanel (resp., subanel unitário) de R se, e só se, verifica o seguinte: i) (^0) R 2 A (resp., (^1) R 2 A); ii) 8 x, y 2 R : x, y 2 A ) x + (¡y) 2 A; iii) 8 x, y 2 R : x, y 2 A ) xy 2 A.

2.1.15) Verifique nas alíneas seguintes se os subconjuntos são subanéis do respectivo anel e, indique, os que são comutativos e os que tem identidade: a) Considere o anel R[a,b]^ e o subconjunto A :=

f 2 R[a,b]^ : f(1) = 0

b) Considere o anel RR^ e o subconjunto C(R, R) de todas as funções contínuas reais de variável real. c) Considere o anel (M 2 × 2 (Z); +, ¢, O 2 × 2 ) e os seguintes subconjuntos dele:

½∙ (^) a b c d

2 M 2 × 2 (Z) : c = d = 0

a b c d

2 M 2 × 2 (Z) : c = 0

½∙ (^) a b c d

2 M 2 × 2 (Z) : b = c = 0

a b c d

2 M 2 × 2 (Z) : b = d = 0

a b c d

2 M 2 × 2 (Z) : b = c = 0 ^ d = 1

2.1.16) Sejam R uma anel (resp., anel unitário), A, B v R e X, Y μ R. Mostre que:

a) A \ B v R, i.e, a intersecção de dois subanéis de R ainda é um subanel (resp., subanel unitário) de R. Generalize para uma família infinita (Ai)i∈I de ideais de R. b) A [ B v R , A μ B _ B μ A, i.e., a união de dois subanéis (resp., subanéis unitários) de R ainda é um subanel (resp., subanel unitário) de R se, e só se, um deles está contido no outro. c) Se A ¢ B μ A ^ B ¢ A μ B ) A + B v R, i.e., a soma de dois subanéis (resp., subanéis unitários) de R é um subanel (resp., subanel unitário) de R se eles comutam. d) Se B ¢ A μ A ¢ B ) A ¢ B v R, i.e., o produto de subanéis (resp., subanéis unitários) de R é um subanel (resp., subanel unitário) de R se B ¢ A μ A ¢ B. Mostre que se tem a recíproca só no caso de R ser anel unitário.

2.1.17) Sejam R um anel R e X μ R. Mostre que hXi é um subanel de R.

2.1.18) Sejam R um anel e A μ R. O centralizador de A em R é definido como sendo o conjunto CR(A) := fx 2 R : 8 a 2 R, ax = xag. a) Mostre que o centralizador é um subanel de R. No caso particular de A := R, chama-se centro do anel R e representa-se por: Z(R) := fx 2 R : 8 r 2 R, xr = rxg. b) Indique qual é o centro se o anel for comutativo.

2.1.19) Sejam (R; +, ¢, (^0) R, (^1) R) um anel unitário e Rop^ := (R; +, ¢op, (^0) R, (^1) R) onde para todo o x, y 2 R, x ¢op^ y := y ¢ x. Mostre que Rop^ é um anel unitário. Ao anel unitário Rop^ chama-se anel oposto do anel R.

2.1.20) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:

a) Se A é subanel de um anel R que contém uma unidade b, então A contém b−^1. b) Num anel de característica 2 , qualquer elemento é simétrico de si próprio. c) Um anel finito pode ter característica zero. d) A característica de um anel é sempre um número primo. e) A característica de um corpo é sempre um número primo.

2.1.21) Seja R um anel unitário. Mostre que:

2.2. Homomorfismos de anéis

2.2.1) Indique, quais das seguintes aplicações são morfismos de anéis e, em cada caso afirma- tivo, determine o respectivo núcleo e classifique o respectivo morfismo: a) f : Z! Z definida por f (a) := 3a. b) f : Z! Z definida por f (a) := a^2. c) f : Z 6! Z 3 definida por f ([a] 6 ) := [a] 3. d) f : C! R definida por f (z) := jzj. e) f : C! R definida por f (z) := Re (z). f) f : C! C definida por f (z) := iz. g) f : C! C definida por f (z) := z. h) f : Mn×n (R)! Mn×n (R) definida por f (A) := AT^. i) f : Mn×n (R)! R definida por f (A) := det(A).

2.2.2) Sejam R, S anéis (resp., anéis unitários) e f : R! S um morfismo de anéis (resp., anéis unitários). Mostre que: a) f é injectiva se, e só se, f é um monomorfismo. b) f é sobrejectiva, então f é epimorfismo. Será que a recíproca é verdadeira?

2.2.3) Sejam (R; +R, ¢R, (^0) R), (S; +S , ¢S , (^0) S) anéis e f : R! S um morfismo de anéis. Mostre que: a) f (0R) = 0S. b) 8 n 2 Z, 8 a 2 A, f (na) = nf (a). Em particular, f (¡a) = ¡f (a). c) Se A v R, então f (A) v S. d) Se B v S, então f−^1 (B) v R. e) Se J E S, então f−^1 (J) E R. f) Se f 2 Surj(R, S) e I E R, então f (I) E S. g) f 2 Mono(R, S) se, e só se, Ker(f) = f (^0) Rg.

2.2.4) Sejam R e S anéis (resp., anéis unitários). Mostre que o conjunto Hom(R, S), para as operações de “+” e “¢” de funções é um anel (resp., anel unitário). Em particular, quando S := R, então End(R) é um anel (resp., anel unitário).

2.2.5) Mostre que as seguintes aplicações são morfismos e classifique-os:

a) f : Z

£p 2

! Z

£p 2

definida por a + b

p 2 7! a ¡ b

p

b) fn : (Z; +, ¢, 0)!

Zn; +n, ¢n, (^0) n

, onde n 2 N um elemento arbitrário mas fixo e definida por x 7! xn. c) f : C! M 2 × 2 (R) definida por f (a + bi) 7!

∙ (^) a b ¡b a

d) f : Mn×n(R)! Mn×n(R) definida por f (A) 7! P −^1 AP , onde P 2 U (Mn×n(R)).

2.2.6) Sejam (R; +R, ¢R, (^0) R), (S; +S , ¢S , (^0) S) e (T ; +T , ¢T , (^0) T ) anéis. Mostre que:

a) R »= R. b) Se R »= S, então S »= R. c) Se R »= S e S »= T , então R »= T. 2.2.7) Sejam R e S anéis. Mostre que se R »= S, então char(R) = char(S). 2.2.8) Mostre que para qualquer morfismo f : R! R^0 tem-se que: a) 8 b^0 := f (b) 2 f (R), f −^1 (fb^0 g) = fbg + Ker(f ) b) Se A v R, então Ker(f ) μ A + Ker(f ) = f−^1 (f(A)). 2.2.9) Considere o grupo comutativo (M ; +, (^0) M ). Mostre que: a) (End(M ); +, ±, c (^0) M ) é um anel, a que se chama o anel dos endomorfismos de M. b) A relação ρ : R! End(M ) definida por ρ(x) := fx é um morfismo de anéis. Se A v End(M ), então diz-se que ρ : R! A é uma representação do anel R.

2.2.10) Sejam (R; +, ¢, (^0) R), (S; +, ¢, (^0) S ) anéis e f : R! S um isomorfismo de anéis. Prove que:

a) Se R é comutativo, então S é comutativo. b) Se R tem identidade (^1) R, então S tem identidade f (1R). c) Se a 2 U (R), então f (a) 2 U(S). d) Se R é corpo, então S é corpo.

2.2.11) Mostre que não existe nenhum isomorfismo (de anéis) entre os anéis (Z; +, ¢, 0) e (2Z; +, ¢, 0).

2.3.8) Seja R um anel. Mostre que (fa, bg) = (a) + (b). Generalize para (fx 1 , x 2 ,... , xng) = (x 1 ) + (x 2 ) + ¢ ¢ ¢ + (xn). 2.3.9) Sejam R um anel e a 2 R. a) Prove que (a)R E R (resp., (^) R(a) E R). b) Mostre que é o menor (no sentido de contido) ideal direito (resp., esquerdo) que contém o elemento a. c) Se a é um elemento idempotente, então a 2 (a)R. d) Se R tem identidade, então a 2 (a)R. e) Se I E R tal que a 2 I, então (^) R(a) μ I.

2.3.10) Seja R um anel. Mostre que para qualquer elemento a 2 R tem-se que:

a) (a) =

na + at + pa + Pk i=

riasi 2 R : n 2 Z, t, p, ri, si 2 R, k 2 N 6 =

b) Dê um aspecto mais simplificado no caso de R ser um anel unitário.

2.3.11) Mostre que para qualquer anel R e a 2 R tem-se que:

(a) =

( (^) Xk

i=

riasi 2 R : si, ri 2 R, k 2 N 6 =

= RaR.

2.3.12) Seja R um anel comutativo. Mostre que:

a) 8 a 2 R, (a) = (a)R = (^) R (a). b) se I, I^0 E R tais que I + I^0 = R, então I \ I^0 = I ¢ I^0. c) Z(R) = R. O que conclui quanto à recíproca, i.e., se Z(R) = R, então R é um anel comutativo?

2.3.13) Seja R um anel unitário comutativo. Determine:

a) (1R) e (0R). b) (u), onde u 2 U(R).

2.3.14) Considere o anel unitário (M 2 × 2 (Z) ; +¢, O 2 × 2 , I 2 × 2 ).

a) Determine Z (M 2 × 2 (Z)). b) Será que Z (M 2 × 2 (Z)) E M 2 × 2 (Z)?

2.3.15) Mostre que para todo o n 2 N, o conjunto nZ := fnk 2 Z : k 2 Zg é ideal de (Z; +, ¢, 0).

2.3.16) Em Z, determine os seguintes ideais indicando qual o seu gerador: (a) (2) + (5). (b) (2) + (6). (c) (2) \ ((5) + (6)). (d) (2) ¢ ((5) \ (6)). (e) (8) \ (12). (f) (8) ¢ (12).

2.3.17) Determine os ideais do anel

Zn; +, ¢, 0

no seguintes casos: a) n = 4.

b) n = 11. c) n = 12. d) n = 6, mas somente para

e

2.3.18) Considere os seguintes subconjuntos de matrizes em (M 2 × 2 (Z); +, ¢, O 2 × 2 , I 2 × 2 ):

C :=

a b c d

2 M 2 × 2 (Z) : c = d = 0

. B :=

a b c d

2 M 2 × 2 (Z) : a = b = 0

D :=

a b c d

2 M 2 × 2 (Z) : a = c = 0

. E :=

a b c d

2 M 2 × 2 (Z) : b = d = 0

a) Mostre que E e D são ideais esquerdos mas não direitos de M 2 × 2 (Z). b) Mostre que C e B são ideais direitos mas não esquerdos de M 2 × 2 (Z). c) Dê exemplos de matrizes que não sejam nem ideais esquerdos nem direitos de M 2 × 2 (Z). d) Determine em M 2 × 2 (Z), os elementos do ideal esquerdo do exercício 2.3.7.a, con- siderando para tal a :=

2.3.19) Sejam R um anel e I E R. Mostre que:

a) O centralizador de I em R, CR(I) := fx 2 R : 8 i 2 I, xi = ixg é um ideal de R. Averigúe, o que acontece, se I é apenas um subconjunto de R. b) Z(R) E R.

2.3.20) Sejam R, S anéis, I, I^0 E R, J E S e f : R! S um morfismo de anéis. Mostre que:

a) Ker(f) E R. b) Se f 2 Surj(R, S), então Im(f ) E S. c) f (I) E Im(f ). d) Se f 2 Surj(R, S) e I E R, então f (I) E S. e) f −^1 (J) E R. f) Se (a)R é um ideal direito de R, então f ((a)R) = (f (a))S. g) f (I + I^0 ) = f (I) + f (I^0 ). h) Se R é anel comutativo, então f (I ¢ I^0 ) = f (I) ¢ f (I^0 ). i) f (I \ I^0 ) μ f(I) \ f(I^0 ), com a igualdade se Ker(f) μ I _• Ker(f) μ I^0.