Baixe Exercícios de Álgebra Linear e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! Caderno de exercícios de Álgebra II Curso: Matemática Ano Lectivo 2003/2004 25 de Fevereiro de 2004 (versão 1.0) Índice Notas Prévias ii Notações e terminologia iii 1 Noções sobre conjuntos e aplicações 1 1.1 Conjuntos e relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Anéis 6 2.1 Anéis e Subanéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Homomorfismos de anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Relações de congruência. Anéis quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 Divisores de zero. Domínios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6 Anéis de divisão. Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.7 Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Anéis de polinómios 23 3.1 Polinómios numa indeterminada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Divisibilidade de polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Irredutibilidade de polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 Módulos 30 4.1 Módulos e submódulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2 Submódulo gerado por um conjunto. Módulos livres . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Morfismos de módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.4 Módulos quociente. Teoremas de Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Bibliografia 37 i Tabela de Símbolos Y X o conjunto de todas as aplicações de X em Y Inj(X,Y ) o conjunto de todas as aplicações injectivas de X em Y Surj(X, Y ) o conjunto de todas as aplicações sobrejectivas de X em Y Bij(X, Y ) o conjunto de todas as aplicações bijectivas de X em Y Mor(R, S) (= Hom(R, S)) o conjunto de todos os morfismos de R em S End(R) o conjunto de todos os endomorfismos em R Mono(R,S) o conjunto de todos os monomorfismos de R em S Epi(R, S) o conjunto de todos os epimorfismos de R em S Bim(R, S) o conjunto de todos os bimorfismos de R em S Sect(R,S) o conjunto de todas as secções de R em S Retr(R,S) o conjunto de todas as retracções de R em S Iso(R, S) o conjunto de todos os isomorfismos de R em S Aut(R) o conjunto de todos os automorfismos em R Emb(R,S) o conjunto de todos os mergulhos de R em S Ul(R) (resp., Ur(R), U(R)) o conjunto de todos as unidades (esq., direitas, bilaterais) de R Il(R) (resp., Ir(R), I(R)) o conjunto de todos os ideais (esq., direitos, bilaterais) de R R (A) (resp., (A)R, (A)) ideal esquerdo (resp., direito, bilateral) gerado por A P (R) o conjunto de todos os elementos primos de R hAi (resp., R hAi) o subanel (resp., R-submódulo) gerado por A iv 1. Noções sobre conjuntos e aplicações 1.1. Conjuntos e relações 1.1.1) Seja < uma relação de equivalência definida num conjunto A. Mostre que a definição de relação de equivalência é equivalente a ser formulada, pelas seguintes condições: i) IA µ <. ii) < µ <−1. iii) < ± < µ <. a) Mostre ainda que se tem < = <−1, ou seja, i), ii) e iii) são equivalentes a i), ii’) < = <−1 e iii). 1.1.2) Sejam A um conjunto qualquer e < uma relação de equivalência definida em A. a) Mostre que: 1) 8a 2 A, a 2 [a]. 2) 8a, b 2 A : a<b, [a] = [b]. b) Mostre que as classes de equivalência de elementos de A formam uma partição de A, ou seja, i) 8a 2 A, [a] 6= ;. ii) 8a, b 2 A : [a] 6= [b] =) [a] \ [b] = ;. iii) 8a 2 A : S a∈A [a] = A. 1.1.3) Sejam A um conjunto qualquer e C := fAi µ A : i 2 Ig µ P(A) uma partição de A. Então existe uma relação de equivalência em A tal que os elementos de C são as classes de equivalência dos elementos de A. Sugestão : Considere a seguinte relação, para todo o a, b 2 A a<b() 9i 2 I : (a 2 Ai ^ b 2 Ai). 1.1.4) Seja n 2 N. Mostre que a relação ´ definida para todo o a, b 2 Z por: a ´ b (modn)() 9k 2 Z : a+ (¡b) = k ¢ n é uma relação de equivalência. Esta relação é a relação usual de congruência dos números inteiros. 1.1.5) Sejam A,B µ X. Mostre que a relação < definida para todo o A,B 2 P(X) por: A<B () A µ B _B µ A é uma relação reflexiva, simétrica mas não transitiva. 1 1.1.6) Considere-se a relação » definida para todo o elemento de N2 por: (a, b) » (c, d)() a+ d = b+ c. Mostre que é uma relação de equivalência e diga o que é [(a, b)]. Com esta relação define-se Z := N2∼ e à classe de equivalência [(a, b)] chama-se número inteiro. 1.1.7) Seja A := fa, b, c, d, eg e consideremos as relações ρi, i = 1, . . . , 8 definidas em A. a) Das relações seguintes, quais são reflexivas, simétricas, transitivas e equivalências: 1) ρ1 := f(a, b), (b, a), (c, d), (d, c)g. 2) ρ2 := f(a, b), (b, c), (a, c)g. 3) ρ3 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, c)g. 4) ρ4 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e)g (relação identidade). 5) ρ5 := f(a, b), (c, e), (d, a), (d, b)g. 6) ρ6 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (c, d), (d, c)g. 7) ρ7 := ; (relação vazia). 8) ρ8 := A£ A (relação universal). b) Determine os seguintes conjuntos quociente A/ρ4, A/ρ6 e A/ρ8. 1.1.8) Considere os conjuntos A := fa, b, cg, B := fd, e, fg e C := fg, hg e as relações: R := f(a, d), (b, e), (c, d)g e S := f(d, g), (e, h), (f, h)g definidas, respectivamente, em A£ B e B £ C. Determine S ±R. 1.1.9) Sejam S := Z £ Z6=0 e < := f((r, s), (t, u)) 2 S2 : r ¢ u = s ¢ tg. Mostre que < é uma relação de equivalência em S. 2 1.2.9) Considere A e B dois conjuntos quaisquer. O conjunto A diz-se equivalente ou equipo- tente a B e representa-se por A » B se, e só se, existe uma aplicação bijectiva de A em B. Mostre que a seguinte relação: A » B () 9f : A! B tal que f é bijectiva é uma relação de equivalência. Diz-se que os conjuntos A, B tem a mesma cardinalidade se card(A) = card(B)() A » B. 1.2.10) Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre que a relação ∙ definida por: card(A) ∙ card(B)() 9f : A! B tal que f é injectiva é uma relação de ordem parcial. (Sugestão: Use o teorema de Schröder-Bernstein para conjuntos infinitos. Se tivermos aplicações injectivas de A em B e de B em A, então card(A) = card(B)). 5 2. Anéis 2.1. Anéis e Subanéis 2.1.1) Mostre que num anel com elemento identidade (R; +, ¢, 0R) tem-se que 0R = 1R se, e só se, o conjunto suporte de (R; +, ¢, 0R) tem um único elemento. 2.1.2) Mostre que se num conjunto singular definirmos duas operações binárias, então ele é uma anel multiplicativo e comutativo. 2.1.3) Verifique se os seguintes conjuntos com as operações indicadas são anéis e, indique os que são comutativos e os que tem identidade: a) (Mn×n(R); +, ¢, On×n), onde R é um anel. Em particular, com R := Z, obtemos o anel Mn×n(Z). b) ¡ Zn; +, ¢, 0n, 1n ¢ , onde n 2 N. c) ¡ Q £p p ¤ ; +, ¢, 0¢, onde Q £pp¤ := ©x+ ypp 2 R : x, y 2 Q ^ p 2 P (N≥2)ª e as operações binárias são definidas por: (a+ b p p) + (c+ d p p) := (a+ c) + (b+ d) p p (a+ b p p) ¢ (c+ dpp) := (ac+ pbd) + (ad+ bc)pp. Em particular, conclua que Z £p p ¤ é um anel. d) (2Z; +, ¤), onde + é a soma usual e a operação binária ¤ é definida por: m ¤ n := 1 2 mn. e) R com as operações binárias θ e θ0 definidas por: xθy := x+ y e xθ0y := 2xy. f) A := f(x, 1) 2 R2 : x 2 Rg e as operações θ e θ0 definidas por: (x, 1)θ(x0, 1) := (x+ y, 1) e (x, 1)θ0(x0, 1) := (xy, 1). g) fa, bg com as operações binárias “+” e “¢” definidas através das seguintes tabelas: + a b a a b b b a e ¢ a b a a a b a b . 2.1.4) Seja (R; +, 0R) um grupo abeliano no qual se introduz a operação binária “¢” definida para todo o a, b 2 R por a ¢ b = 0R. Mostre que (R; +, ¢, 0R) é um anel e verifique se este anel tem identidade. 6 2.1.5) Sejam R um anel (resp., anel unitário) e A um conjunto qualquer. a) Mostre que RA é um anel (resp., anel unitário) para as operações usuais de adição e multiplicação de funções, onde para todo o x 2 A: (f + g)(x) := f(x) + g(x) e (f ¢ g)(x) := f(x) ¢ g(x). b) Indique condições para que RA seja um anel comutativo. c) Mostre que se A := R, então RR é um anel (resp., anel unitário). d) Mostre que, em particular, o conjunto de todas as funções reais de variável real, i.e., RR é um anel unitário comutativo. Estude ainda como caso particular o conjunto R[a,b]. 2.1.6) Seja R um anel (resp., anel unitário). Mostre que (RR; +, ±, c0R) é um anel (resp., (RR; +, ±, c0R, c1R) anel unitário). Em particular, (End(R); +, ±, c0R) é um anel (resp., (End(R);+, ±, c0R, c1R) anel unitário). 2.1.7) Sejam (R; +R, ¢R, 0R) e (S; +S, ¢S, 0S) (resp., (R; +R, ¢R, 0R, 1R) e (S; +S, ¢S, 0S, 1S) anéis unitários) e R£ S o produto cartesiano de R e S. a) Mostre que R £ S é um anel (resp., anel unitário) se definirmos as seguintes operações binárias: 8a1, a2 2 R, 8b1, b2 2 S, (a1, b1) + (a2, b2) := (a1 +R a2, b1 +S b2) e (a1, b1) ¢ (a2, b2) := (a1 ¢R a2, b1 ¢S b2). Este anel (resp., anel unitário) é o produto cartesiano dos anéis R e S e, também é conhecido por produto directo (externo) dos anéis R e S. b) Generalize para o produto cartesiano de n anéis (resp., anéis unitários) distintos. Conclua que, em particular, Rn := nz }| { R£ R£ ¢ ¢ ¢ £ R é um anel (resp., anel unitário). 2.1.8) Seja R um anel. Mostre que para todo o a, a1, ..., an, b1, b2, ..., bn 2 R tem-se que: a) a(b1 + b2 + ¢ ¢ ¢+ bn) = ab1 + ab2 + ¢ ¢ ¢+ abn. b) (b1 + b2 + ¢ ¢ ¢+ bn)a = b1a+ b2a+ ¢ ¢ ¢+ bna. c) µ nP i=1 ai ¶Ã mP j=1 bj ! = nP i=1 mP j=1 aibj. 2.1.9) Sejam R um anel e a, b, c 2 R. a) Mostre que para o grupo aditivo do anel tem-se que: 1) O elemento neutro aditivo do anel, 0R, é único. 2) Cada elemento de R tem um único simétrico. 3) ¡(¡a) = a. 4) ¡(a+ b) = (¡a) + (¡b). 5) Se a+ b = a+ c, então b = c (analogamente, b+ a = c+ a, então b = c). 6) Cada uma das equações a+ x = b e x+ a = b tem uma única solução. b) Mostre que para o semigrupo multiplicativo do anel tem-se que: 7 a) Se a, b 2 U(R)) ab 2 U(R). b) Se an 2 U(R)) a 2 U(R). c) Se a, b 2 U(R), então não necessariamente se tem que a+ b 2 U(R). 2.1.22) Determine: a) U (Z8). b) U (M2×2 (Z)) (anel definido no exercício 2.1.3 com R := Z e n := 2). c) U ¡ Z £p 2 ¤¢ (anel definido no exercício 2.1.3 com p := 2). 2.1.23) Mostre que no anel Zn, tem-se que para todo o n 2 Nn f0, 1g, n¡ 1 2 U(Zn). 2.1.24) Seja K um corpo. Mostre que: a) O conjunto U(Mn×n(K)), que se representa por: GLn(K) := fA 2Mn×n(K) : A é invertívelg é um subgrupo do monóide multiplicativo do anel unitário Mn×n(K). b) O conjunto de todas as matrizes diagonais invertíveis, Diag(GLn(K)), é um sub- grupo de GLn(K). 10 2.2. Homomorfismos de anéis 2.2.1) Indique, quais das seguintes aplicações são morfismos de anéis e, em cada caso afirma- tivo, determine o respectivo núcleo e classifique o respectivo morfismo: a) f : Z! Z definida por f(a) := 3a. b) f : Z! Z definida por f(a) := a2. c) f : Z6 ! Z3 definida por f([a]6) := [a]3. d) f : C! R definida por f (z) := jzj. e) f : C! R definida por f (z) := Re (z). f) f : C! C definida por f (z) := iz. g) f : C! C definida por f (z) := z. h) f :Mn×n (R)!Mn×n (R) definida por f (A) := AT . i) f :Mn×n (R)! R definida por f (A) := det(A). 2.2.2) Sejam R, S anéis (resp., anéis unitários) e f : R ! S um morfismo de anéis (resp., anéis unitários). Mostre que: a) f é injectiva se, e só se, f é um monomorfismo. b) f é sobrejectiva, então f é epimorfismo. Será que a recíproca é verdadeira? 2.2.3) Sejam (R; +R, ¢R, 0R), (S; +S, ¢S, 0S) anéis e f : R! S um morfismo de anéis. Mostre que: a) f (0R) = 0S. b) 8n 2 Z, 8a 2 A, f (na) = nf (a). Em particular, f(¡a) = ¡f(a). c) Se A v R, então f (A) v S. d) Se B v S, então f−1 (B) v R. e) Se J E S, então f−1 (J) E R. f) Se f 2 Surj(R, S) e I E R, então f (I) E S. g) f 2 Mono(R, S) se, e só se, Ker(f) = f0Rg. 2.2.4) Sejam R e S anéis (resp., anéis unitários). Mostre que o conjunto Hom(R, S), para as operações de “+” e “¢” de funções é um anel (resp., anel unitário). Em particular, quando S := R, então End(R) é um anel (resp., anel unitário). 2.2.5) Mostre que as seguintes aplicações são morfismos e classifique-os: a) f : Z £p 2 ¤ ! Z £p2¤ definida por a+ bp2 7! a¡ bp2. b) fn : (Z; +, ¢, 0) ! ¡ Zn; +n, ¢n, 0n ¢ , onde n 2 N um elemento arbitrário mas fixo e definida por x 7! xn. c) f : C!M2×2(R) definida por f(a+ bi) 7! ∙ a b ¡b a ¸ . d) f :Mn×n(R)!Mn×n(R) definida por f(A) 7! P−1AP , onde P 2 U(Mn×n(R)). 2.2.6) Sejam (R; +R, ¢R, 0R), (S; +S, ¢S, 0S) e (T ; +T , ¢T , 0T ) anéis. Mostre que: 11 a) R »= R. b) Se R »= S, então S »= R. c) Se R »= S e S »= T , então R »= T . 2.2.7) Sejam R e S anéis. Mostre que se R »= S, então char(R) = char(S). 2.2.8) Mostre que para qualquer morfismo f : R! R0 tem-se que: a) 8b0 := f(b) 2 f(R), f−1(fb0g) = fbg+Ker(f) b) Se A v R, então Ker(f) µ A+Ker(f) = f−1(f(A)). 2.2.9) Considere o grupo comutativo (M ; +, 0M). Mostre que: a) (End(M); +, ±, c0M ) é um anel, a que se chama o anel dos endomorfismos de M . b) A relação ρ : R ! End(M) definida por ρ(x) := fx é um morfismo de anéis. Se A v End(M), então diz-se que ρ : R! A é uma representação do anel R. 2.2.10) Sejam (R; +, ¢, 0R), (S; +, ¢, 0S) anéis e f : R! S um isomorfismo de anéis. Prove que: a) Se R é comutativo, então S é comutativo. b) Se R tem identidade 1R, então S tem identidade f (1R). c) Se a 2 U(R), então f (a) 2 U(S). d) Se R é corpo, então S é corpo. 2.2.11) Mostre que não existe nenhum isomorfismo (de anéis) entre os anéis (Z; +, ¢, 0) e (2Z; +, ¢, 0). 12 b) n = 11. c) n = 12. d) n = 6, mas somente para ¡ 46 ¢ e ¡ 36 ¢ . 2.3.18) Considere os seguintes subconjuntos de matrizes em (M2×2(Z); +, ¢, O2×2, I2×2): C := ½∙ a b c d ¸ 2 M2×2(Z) : c = d = 0 ¾ . B := ½∙ a b c d ¸ 2M2×2(Z) : a = b = 0 ¾ . D := ½∙ a b c d ¸ 2M2×2(Z) : a = c = 0 ¾ . E := ½∙ a b c d ¸ 2M2×2(Z) : b = d = 0 ¾ . a) Mostre que E e D são ideais esquerdos mas não direitos de M2×2(Z). b) Mostre que C e B são ideais direitos mas não esquerdos de M2×2(Z). c) Dê exemplos de matrizes que não sejam nem ideais esquerdos nem direitos de M2×2(Z). d) Determine em M2×2(Z), os elementos do ideal esquerdo do exercício 2.3.7.a, con- siderando para tal a := ∙ 0 1 0 0 ¸ . 2.3.19) Sejam R um anel e I E R. Mostre que: a) O centralizador de I em R, CR(I) := fx 2 R : 8i 2 I, xi = ixg é um ideal de R. Averigúe, o que acontece, se I é apenas um subconjunto de R. b) Z(R) E R. 2.3.20) Sejam R, S anéis, I, I 0 E R, J E S e f : R! S um morfismo de anéis. Mostre que: a) Ker(f) E R. b) Se f 2 Surj(R, S), então Im(f) E S. c) f(I) E Im(f). d) Se f 2 Surj(R, S) e I E R, então f(I) E S. e) f−1(J) E R. f) Se (a)R é um ideal direito de R, então f((a)R) = (f(a))S. g) f(I + I 0) = f(I) + f(I 0). h) Se R é anel comutativo, então f(I ¢ I 0) = f(I) ¢ f(I 0). i) f(I \ I 0) µ f(I) \ f(I 0), com a igualdade se Ker(f) µ I •_ Ker(f) µ I 0. 15 2.4. Relações de congruência. Anéis quociente 2.4.1) Sejam R um anel e ρ uma relação de congruência definida em R. Sendo [0] a classe do zero, mostre que [0] E R. 2.4.2) Sejam R um anel e I E R. Mostre que R/I é um anel. 2.4.3) Sejam R um anel, ρ uma relação de congruência definida em R, I E R e X µ R. Mostre que: a) X/ρ = X + I. b) Se A v R, então A/ρ = A+ I. c) Se J E R, então J/ρ E R. d) Se A v R, então A = A+ I se, e só se, I µ A. 2.4.4) Sejam R um anel e I E R. Mostre que R/I é um anel. 2.4.5) Sejam R,R0 anéis e I E R. Mostre que: a) A relação ν : R! R/I é um morfismo sobrejectivo. b) Se I µ Ker(f), então para todo o morfismo f : R ! R0, existe um morfismo de anéis g : R/I ! R0 tal que o seguinte diagrama R R/I-ν R0 ? f g ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ª é comutativo. Mostre ainda que, nestas condições: 1) I = Ker(f) se, e só se, g 2 Mono(R/I,R0). 2) g 2 Surj(R/I,R0) se, e só se, f 2 Surj(R,R0). 3) Coim(f) »= Im(f). 2.4.6) Mostre que as únicas imagens epimórficas de Z são os anéis Zn := Z/(n). 2.4.7) Sejam R um anel e I E R. Mostre que: a) se R é comutativo, então R/I comutativo. b) se R tem identidade, então R/I tem identidade. c) se R é domínio, então R/I não é necessariamente um domínio. 2.4.8) Sejam R um anel e I E R. Mostre que R/I é comutativo se, e só se, para todo o a, b 2 R, ab¡ ba 2 I. 2.4.9) Considere a relação f : Z12 ! Z4, definida por f (a12) := a4. a) Mostre que f assim definida é uma aplicação. b) Verifique que f é um morfismo de anéis. 16 c) Verifique que Z12/ ¡ 412 ¢ »= Z4. d) Construa a tabela de Cayley para o anel Z12/ ¡ 412 ¢ . 2.4.10) Sejam R um anel e I, J E R tais que I µ J . Mostre que: a) I E J . b) J/I E A/I. c) Será que todos os ideais de A/I são da forma J/I nas condições do enunciado? 2.4.11) (2.o teorema do isomorfismo) Sejam R um anel e I, J E R tais que I µ J . Seja f : R/I ¡! R/J a relação definida por f (a+ I) = a+ J . Mostre que: a) f é uma aplicação. b) f é um morfismo de anéis. c) Ker(f) = J/I. d) f é sobrejectiva. e) Conclua, usando o teorema do homomorfismo, que R/I J/I »= R/J . 17 é comutativo. Ao par (RS, νS) chama-se localização de R em S. 2.5.14) Seja R um domínio. a) Mostre que os únicos ideais de R são (0R) e R. b) Se R é um domínio de integridade e só tem os ideais (0R) e R, então R é corpo. c) Conclua que, R é um domínio de integridade se, e só se, R é corpo. 2.5.15) Seja (R; +, ¢, 0R, 1R) um anel unitário comutativo. Prove que: a) Se u 2 U(R), então u não é divisor de zero. b) O produto de um divisor de zero por qualquer outro elemento de R ou é nulo ou é um divisor de zero. c) Se o produto de dois elementos de R é um divisor de zero, então algum dos factores o é. 2.5.16) Mostre que se n 2 Nn f0, 1g não é primo, então ¡Zn; +, ¢, 0n¢ não é domínio. 20 2.6. Anéis de divisão. Corpos 2.6.1) Mostre que um anel R é um anel de divisão se, e só se, para todo o a 2 R6=0 as equações ax = b e ya = b são solúveis. 2.6.2) Mostre que todo o domínio finito (resp., domínio de integridade finito) é um anel de divisão finito (resp., corpo finito). 2.6.3) Seja R um anel. Mostre que se para todo o a 2 R6=0, aR = fag, então R é um anel de divisão. 2.6.4) Mostre que um subconjunto A de um anel de divisão R é um subanel de divisão se, e só se, tem-se que: i) 0R 2 A; ii) 8a, b 2 R : a, b 2 A) a+ (¡b) 2 A; iii) 8a, b 2 R6=0 : a, b 2 A) ab−1 2 A. 2.6.5) Sejam R um anel de divisão e a 2 U(R). Verifique se a relação f : R! R definida por f(x) := axa−1 é um automorfismo de anéis de divisão. 2.6.6) Mostre que se K é corpo, R é anel e f : K! R é um morfismo de anéis, então ou f é injectiva ou f = c0R. 2.6.7) Mostre que se p é primo, então Zp é um corpo. 21 2.7. Divisibilidade 2.7.1) Considere o anel (Z; +, ¢, 0). Prove que: a) O único ideal que contém 2 e 3 é Z. b) Prove, mais geralmente, que se m,n 2 Z e gcd (m,n) = 1, então o único ideal que contém m e n é Z. 2.7.2) Considere o anel (Z; +, ¢) e a, b 2 Z. Mostre que: (a) (a) + (b) = (gcd (a, b)) . (b) (a) \ (b) = (lcm (a, b)) . 2.7.3) Sejam R um anel unitário comutativo e a, b 2 R. Mostre que: a) (a) ¢ (b) = (a ¢ b). b) (a) µ (b) se, e só se, existe um elemento r 2 R tal que a = rb. c) Se R é domínio de integridade, (a) = (b) se, e só se, existe u 2 U(R) tal que a = ub. 2.7.4) Sejam R um anel e I E R. Mostre que se n 2 N, então (n) é ideal primo de Z se, e só se, n é um número primo. 2.7.5) Sejam R um anel unitário comutativo e I E R, onde I 6= R. Mostre que R/I é um domínio de integridade se, e só se, I é um ideal primo. 2.7.6) Sejam R um anel e I E R. O ideal I diz-se um ideal maximal em R se I 6= R e não existe nenhum ideal J , tal que I 6= J , I 6= R e I µ J µ R. Mostre que se R é um anel unitário comutativo, R/I é um corpo se, e só se, I é um ideal maximal de R. 2.7.7) Sejam R um anel unitário comutativo e I um ideal maximal de A. Mostre que I é um ideal primo. 2.7.8) Sejam R um anel, D um domínio de integridade e f : A ! D um morfismo de anéis não nulo. Prove que Ker(f) é um ideal primo de R. 22 3.2.10) Seja R um anel finito com k elementos. Determine, justificando, quantos polinómios de grau menor ou igual a n em R [x] admitem a raiz zero. 3.2.11) Sejam R um domínio de integridade e p := x2 + bx+ c 2 R [x]. a) Mostre que, se p tem raízes x1 e x2, então ¡ (x1 + x2) = b e x1x2 = c. b) Encontre um resultado análogo ao da alínea anterior mas para um polinómio mónico de grau 3. 3.2.12) Seja p := anxn+ an−1xn−1+ ¢ ¢ ¢+ a1x+ a0. 2 Z [x]. Mostre que p admite a raiz rs 2 Q, com gcd (r, s) = 1 se, e só se, sx¡ r divide p em Z [x]. 3.2.13) Se R é um corpo e p, q 2 R [x], mostre que existe um único máximo divisor mónico entre p e q. 3.2.14) Em R [x], considere os seguintes polinómios: p = x4 ¡ 2x3 + 2x2 ¡ 2x+ 1 e q (x) = x6 + 2x5 ¡ 2x4 ¡ 6x3 ¡ 7x2 ¡ 8x¡ 4. Determine um máximo divisor comum de p e q e escreva-o na forma ap + bq, onde a, b 2 R [x]. 3.2.15) Em Z2 [x], considere os polinómios p1 := x5 + 1 e p2 := x2 + 1. Determine o máximo divisor comum de p1 e p2 e escreva-o na forma ap1 + bp2, onde a, b 2 Z2 [x]. 3.2.16) Em Z3 [x], considere os polinómios p1 := x2 ¡ x + 1 e p2 := x3 + 2x2 + 2. Determine todos os máximos divisores comuns de p1 e p2. 25 3.3. Irredutibilidade de polinómios 3.3.1) Sejam R e S anéis tais que R µ S e p 2 R [x]. Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: a) Se deg (p) > 1 e p admite uma raiz em R, então p é factorizável em R. b) Se p é factorizável em R, então p admite uma raiz em R. c) Se deg (p) = 1, então p admite uma raiz em R. d) Se R é um corpo e deg (p) = 1, então p admite uma raiz em R. e) Se p é irredutível em R também é irredutível em S. f) Se p é factorizável em R também é factorizável em S. g) Se p é factorizável em S também é factorizável em R. 3.3.2) Prove que se deg (p) > 1 e p é irredutível em Z2 [x], então p tem termo independente 1 e um número ímpar de coeficientes não nulos. 3.3.3) Dê exemplos, se possível, de: a) Um polinómio de grau 3, não factorizável, em R [x]. b) Um polinómio de grau 1, factorizável, em Z [x]. c) Um polinómio em R [x], não mónico, de grau 5, que admita como raízes reais apenas os números p 5, ¡17 e 20 3 . d) Um polinómio de grau 2, irredutível, em R [x]. e) Um polinómio de grau 2, irredutível, em C [x]. f) Um polinómio irredutível em R [x], mas redutível em C [x]. g) Um polinómio redutível em R [x], mas irredutível em C [x]. h) Um polinómio de grau 2 irredutível em Q [x], mas redutível em R [x]. 3.3.4) Seja R um corpo e seja p 2 R [x] . Mostre que: a) Se deg (p) = 2, p é factorizável se, e só se, p tem uma raiz em R. b) Se deg (p) = 3, p é factorizável se, e só se, p tem uma raiz em R. c) Verifique que se R não é corpo os resultados anteriores não são válidos. 3.3.5) Em Z2 [x], determine: a) Todos os polinómios irredutíveis de grau 1. b) Todos os polinómios irredutíveis de grau 2. c) Todos os polinómios irredutíveis de grau 3. d) Todos os polinómios irredutíveis de grau 4. 3.3.6) Em Z3 [x], determine: a) Todos os polinómios irredutíveis de grau 1. b) Todos os polinómios irredutíveis de grau 2. 26 3.3.7) Para p primo, quantos polinómios mónicos de grau 2, redutíveis, existem em Zp [x]? 3.3.8) Para p primo, quantos polinómios mónicos de grau 2, irredutíveis, existem em Zp [x]? 3.3.9) Determine emR [x] um polinómio p que satisfaça simultaneamente as seguintes condições e apresente-o, justificando, na forma do produto de factores irredutíveis em R [x]: a) O coeficiente director de p é 4. b) deg (p) = 7. c) 2¡ ip3 é raiz de p. d) A equação p = 0 admite as raízes 0 e ¡π. e) p é divisível por x3 ¡ 2x2 + 3x¡ 6. 3.3.10) Em R [x], considere o polinómio p := x7 + 2x5 ¡ 8x3. Decomponha-o em factores irredutíveis em R, e indique as suas raízes reais e as respectivas multiplicidades. 3.3.11) Considere o polinómio p := x8 ¡ 256. Decomponha-o, justificando, em factores irre- dutíveis em: a) C [x]. b) R [x]. 3.3.12) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: a) A divisão de polinómios é sempre possível em Z23 [x] . b) O polinómio x2 + x+ 1 divide x6 ¡ 1. c) (x2 + 1) (x2 + 2) é irredutível em R. d) O produto dos polinómios x4 e x6 em Z7 [x] é x3. e) x3 ¡ 12x¡ 6 tem apenas uma raiz real. 3.3.13) Se possível, dê exemplos de: a) Um polinómio sem raízes em R, factorizável em Z. b) Dois polinómios p e q em R [x] distintos, irredutíveis, tais que pjq. c) Um elemento m 2 N para o qual o polinómio x4 + x3 + x2 + x 2 Zm [x] admita como divisores x¡ 2 e x¡ 1. d) Um polinómio mónico associado de 2x5 ¡ 3x2 + 1 em Z7 [x]. e) Dois polinómios distintos, associados em Z8 [x]. 3.3.14) Diga quais dos seguintes polinómios são primitivos: a) p1 := x5 ¡ 10x4 + 40x3 ¡ 80x2 + 80x¡ 32. b) p2 := 14x24 ¡ 10x23 + 40x21 ¡ 80x18 + 80x16 ¡ 32x10 + 40x8 ¡ 80x7 + 80x¡ 32. c) p3 := 1423x 24 ¡ 10 7 x23 + 32 5 x21 ¡ 80x18 + 80x16 ¡ 32x10 + 40x8 ¡ 80x7 + 80x¡ 32. d) p4 := 48x10 ¡ 45x8 + 81x6 ¡ 63x4 + 213x2 ¡ 51. 3.3.15) Em Z [x], se possível dê exemplos de: 27 4. Módulos 4.1. Módulos e submódulos 4.1.1) Mostre que R é um anel unitário se, e só se, tem-se que: a) RR é um R-módulo. b) RR é um módulo-R. c) RRR é um R-módulo-R. 4.1.2) Mostre que se R é um anel unitário comutativo, então todo o R-módulo (resp., módulo- R) é um módulo-R (resp., R-módulo). 4.1.3) Sejam R, S anéis unitários, S v R e RM um R-módulo. Mostre que SM um S-módulo. 4.1.4) Sejam K um corpo (fixo) e V um espaço vectorial sobre K. Mostre que: a) Todo o espaço vectorial V sobre o corpo K é um K-módulo. Conclua que é um K-módulo-K. b) Qualquer corpo K é um K-módulo. Conclua que Q, R e C são módulos sobre, respectivamente, Q, R e C. 4.1.5) Sejam RM um R-módulo e A um conjunto qualquer. Mostre que: a) MA é um R-módulo para a operação de adição de funções e operação binária externa definidas, para todo o x 2 A e α 2 R, por: (f + g)(x) := f(x) + g(x) e (αf)(x) := α(f(x)). b) Se A :=M , então MM é um R-módulo. c) End(M) é um R-submódulo do módulo MM . d) Em particular, o conjunto de todas as funções reais de variável real, i.e., RR é um R-módulo. Estude ainda como caso particular o conjunto R[a,b]. 4.1.6) SejamM1,M2, . . . ,Mn, R-módulos. Considere o produto cartesianoM1£M2£¢ ¢ ¢£Mn munido das seguintes operações para todo o (x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) elementos de M1 £M2 £ ¢ ¢ ¢ £Mn e α 2 R: (x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) := (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) α(x1, x2, . . . , xn) := (αx1,αx2, . . . ,αxn). a) Prove que estas operações conferem ao conjuntoM1£M2£¢ ¢ ¢£Mn uma estrutura de R-módulo. b) Utilize a alínea anterior, para provar que Mn := nz }| { M £M £ ¢ ¢ ¢ £M é um R- módulo. 30 4.1.7) Verifique se cada um dos seguintes conjuntos de polinómios numa indeterminada e com coeficientes reais é um R-módulo em relação às operações ordinárias de adição de polinómios e multiplicação de um polinómio por um elemento de R: a) Conjunto dos polinómios de grau menor ou igual a n, i.e., Rn[x]. b) Conjunto dos polinómios de grau n (n fixo). 4.1.8) Seja R um anel unitário. Mostre que: a) Mm×n(R) é um R-módulo, se considerarmos a soma e a operação binária externa definidas por: [aij ] + [bij] := [aij + bij ] e α [aij ] := [αaij ] . b) Mm×n(R) é um módulo-R, se considerarmos a soma e a operação binária externa definidas por: [aij ] + [bij ] := [aij + bij] e [aij ]α := [aijα] . Conclua que,Mm×n(R) é um R-módulo-R, para as operações acima introduzidas. c) Mm×n(Rop) é um R-módulo, onde Rop é o anel oposto do anel R. 4.1.9) Em Rn, defina-se as operações: a+ b := a¡ b e α ¢ a := ¡αa com a, b 2 Rn e α 2 R. Quais dos axiomas da definição de R-módulo são satisfeitos por RRn para a operação binária + e a operação binária externa ¢ sobre Rn? 4.1.10) Considere o conjunto R>0 dos números reais positivos e as operações: ¢ : R>0 £ R>0 ! R>0 e ¡ : R£ R>0 ! R>0 definidas, respectivamente, por: (a, b) 7! a¢ b := a ¢ b (produto usual) e (α, a) 7! α¡ a := aα (potência usual). a) Mostre que R>0 para as operações ¢ e ¡ é um R-módulo. b) Verifique se R com as operações ¢0 e ¡0 (operações análogas às anteriores mas de domínio R£ R e codomínio R), é R-módulo? Justifique. 4.1.11) Considere os R-módulos RM , RM 0 e as operações binária e binária externa definidas em M £M 0 por: (a, b) + (c, d) := (a+ c, b+ d) e α (a, b) := (αa, 0M 0) . Verifique quais dos axiomas da definição de R-módulo são satisfeitos. 4.1.12) Sejam RM um R-módulo, x, y, z 2 RM e α, β 2 R. Prove que: a) 0Rx = 0M . b) α0M = 0M . c) (¡α)x = α(¡x) = ¡αx. d) (α¡ β)x = αx¡ βx. e) α(x¡ y) = αx¡ αy. f) ¡(¡x) = x. g) se α 2 U(R) e αx = 0M ) x = 0M . h) x+ y = z + y ) x = z. 31 4.1.13) Sejam RM um R-módulo e A µ M . Mostre que RA é um R-submódulo se, e só se, verifica o seguinte: i) 0M 2 A; ii) 8x, y 2M : x, y 2 A) x+ y 2 A; iii) 8α 2 R 8x 2M : x 2 A) αx 2 A. 4.1.14) Sejam RM um R-módulo e A µ M . Mostre que RA é um R-submódulo se, e só se, verifica o seguinte: i) 0M 2 A; ii) 8α,β 2 R 8x, y 2M : x, y 2 A) αx+ βy 2 A. 4.1.15) Dos seguintes subconjuntos, determine quais são submódulos do respectivo módulo: a) A := © f 2 R[a,b] : f(x) = c, c 2 R (fixo)ª. b) B := © p 2 R[a,b] : p(x) = a0 + a1x+ ¢ ¢ ¢+ anxn, com ai 2 R (fixos) ª . c) C := © f 2 R[0,1] : f(x) = f(1¡ x)ª. d) D := © f 2 R[0,1] : f(0) = f(1) = 0ª. e) E := © f 2 R[0,1] : f(0) + f(1) = 0ª. f) F := © f 2 RR : f(¡x) = ¡f(x)ª. g) G := © f 2 RR : f(¡x) = f(x)ª. h) H := © f 2 RR : f(x) ¸ 0ª. i) I := © f 2 RR : f é limitada em Rª. j) J := © f 2 R[a,b] : f é integrável à Riemann em [a, b]ª. k) K := © f 2 R[a,b] : f é contínua em [a, b]ª. 4.1.16) Sejam RM um R-módulo e A,B,C vM . Se C µ A, então tem-se que: A \ (B + C) = (A \ B) + C. Obteria o mesmo resultado se C " A? 32 4.3.9) Sejam R um anel unitário comutativo, RM um R-módulo e A µ End(RM) um subanel (unitário). Mostre que M é um A-módulo, se definirmos a operação binária externa por (f, x) 7! f(x). 4.3.10) Sejam R um anel unitário, RM um R-módulo e f 2 End(M). Mostre que: a) g : R[t] ! End(M) é um morfismo de anéis, dado por t 7! f e para todo o polinómio constante a 2 R[x], a 7! a idM . b) R[f ] é um subanel (unitário) de End(M), admitindo que se p := a0 + a1t+ ¢ ¢ ¢+ ant n 2 R[t], então pf := a0 idM +a1f + ¢ ¢ ¢+ anfn. c) g : R[t]! R[f ], definido por pt 7! pf é um morfismo. d) M é um R[f ]-módulo, se definirmos a operação binária externa por: (pf , x) 7! pfx := pf(x). e) M é um R[t]-módulo se definirmos a operação binária externa para todo o x 2M , por ptx 7! pfx. 35 4.4. Módulos quociente. Teoremas de Isomorfismo 4.4.1) Sejam R um anel unitário, RM ummódulo cíclico gerado por x (i.e., RM = Rhxi = Rx) e a relação ρx : R! Rx definida por ρx(α) := αx. Mostre que: a) ρx é um epimorfismo de módulos. b) s : R! R Ker(ρx) é um epimorfismo de módulos. c) R Ker(ρx) »= Rx. d) Define-se o anulador do elemento x de RM por Ann(x) := Ker(ρx) e tem-se o isomorfismo Rx »= RAnn(x) . Mais geralmente, define-se Ann(RM) := Ker(ρ) = fα 2 R : αM = OMg , sendo ρ : R! RM definido por ρ(x) := αx. e) Se F é um corpo e M um F-módulo cíclico não-nulo, então FM »= F. 4.4.2) Sejam RM,RM 0,RN,RN 0 R-módulos, f : RM ! RM 0, g : RN ! RN 0 e f £ g : RM £ RN ! RM 0 £ RN 0 morfismos. Mostre que: a) f £ g é um morfismo. b) Ker(f £ g) = Ker(f)£Ker(g). c) Im(f £ g) = Im(f)£ Im(g). d) f £ g é um monomorfismo se, e só se, f e g são monomorfismos. e) f £ g é um epimorfismo se, e só se, f e g são epimorfismos. f) f £ g é um bimorfismo se, e só se, f e g são bimorfismos. g) f £ g é um isomorfismos se, e só se, f e g são isomorfismos. h) RM×RN Ker(f×g) »= RMKer(f) £ RNKer(g) . 4.4.3) Sejam R um domínio e x 2 R6=0. Mostre que: a) existe uma cadeia descendente ¢ ¢ ¢ µ Rxn+1 µ Rxn µ ¢ ¢ ¢ µ Rx2 µ Rx µ R de submódulos do módulo RR. b) para cada n 2 N se tem R Rx »= Rx n Rxn+1 . 36 Bibliografia [1] A. Monteiro e I. Matos. Álgebra - Um primeiro curso. Livraria Escolar Editora, 1995. [2] J. Durbin. Modern Algebra, An Introduction. John Wiley, 1992. [3] W. Adkins and S. Weintraub. Algebra, An Approach via Module Theory. Springer- Verlag, 1992. [4] S. Lang. Undergraduate Algebra. Springer-Verlag, 1990. [5] N. Jacobson. Basic Algebra I. W. H. Freeman, 1985. [6] M. Sobral. Álgebra. Universidade Aberta, 1996. [7] P. Cameron. Introduction to Algebra. Oxford University Press, 1998. [8] T. Hungerford. Algebra. Springer-Verlag, 1974. [9] C. Gardiner. Algebraic Structures. Ellis Horwood, 1986. [10] A. Kostrikin. Exercises in Algebra: A collection of exercises in Algebra, Linear Algebra and Geometry. Gordon and Breach Publishers, 1996. [11] F. Ayres. Álgebra Moderna (Colecção Schaum). McGraw-Hill, 1965. 37

1 / 42