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Cálculo Com Curvas Parametrizadas: Soluções, Exercícios de Cálculo

Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)Cálculo

Documento contendo soluções de exercícios relacionados ao cálculo com curvas parametrizadas. Contém cálculos detalhados de derivadas e integrais de funções parametrizadas, além de cálculos de curvas planejas e superfícies de revolução.

Tipologia: Exercícios

2021

Compartilhado em 06/12/2021

jajajajajijiji
jajajajajijiji 🇧🇷

4 documentos

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bg1
SEÇÃO 10.2 CÁLCULO COM CURVAS PARAMETRIZADAS 3
1. x=t−t,y=t3−t⇒
dy
dt = 3t2−1,
dx
dt =1
2t−1, e
dy
dx =dy /dt
dx/dt=3t2−1
1/2t−1=3t2−1 2 t
1−2t
2. x=tln t,y= sen2t⇒
dy
dt = 2sen tcost,
dx
dt =t1
t+ (lnt)·1=1+ln t,e
dy
dx =dy /dt
dx/dt=2sen tcost
1+ln t
3. x=t2+t,y=t2−t;t= 0.
dy
dt = 2t−1,
dx
dt = 2t+ 1,
logo dy
dx =dy /dt
dx/dt=2t−1
2t+1 .Quando t= 0, x=y= 0
edy
dx =−1. Uma equação da tangente é
y−0=(−1) (x−0) ou y=−x.
4. x=tsent,y=tcost;t=π.
dy
dt = cost−tsent,
dx
dt = sent+tcost,e dy
dx =dy/dt
dx/dt=cos t−tsent
sent+tcost.
Quando t=π,(x, y)=(0 ,−π)edy
dx =−1
−π=1
π, então
a equação da tangente éy+π=1
π(x−0) ou
y=1
πx−π.
5. x=t2+t,y=t;t= 4.
dy
dt =
1
2t,
dx
dt = 2t+ 1, logo
dy
dx =dy/dt
dx/dt=1
2t(2t+ 1) .Quando t= 4,
(x, y)=(2 0,2) edy
dx =1
36 , então a equação da tangente
éy−2=1
36 (x−20) ou y=1
36 x+13
9.
6. x= 2sen θ, y= 3cos θ;θ=π
4.
dx
dθ = 2cos θ,
dy
dθ =−3sen θ,dy
dx =dy /dθ
dx/dθ=−
3
2tg θ.Quando θ=π
4,
(x, y)=2,32
2, edy/dx=−
3
2, então a equação da
tangente éy−32
2=−
3
2x−2ou y=−
3
2x+
32
.
7. (a)x= 2t+ 3, y=t2+ 2t;(5,3).
dy
dt = 2t+ 2,
dx
dt =
2,
edy
dx =dy /dt
dx/dt=t+ 1. Em (5,3) , t= 1edy
dx = 2,
então a tangente y−3=2(x−5) ou y= 2x−7.
(b) y=t2+ 2t=x−3
2
2
+ 2x−3
2
=(x−3)2
4+x−3
logo dy
dx =x−3
2+ 1. Quando x= 5, dy
dx = 2, então
a equação da tangente éy
=
2x
−
7, como anteriormente.
8. (a)x= 5cos t,y= 5sen t;(3,4).
dt = 5cos t,
dx
dt =−5sen t,dy
dx =dy /dt
dx/dt=−cotg t.Em(3,4),
t= tg−1y
x= tg−14
3,logo dy
dx =−
3
4,então a equação
da tangente éy−4=−
3
4(x−3) ou y=−
3
4x+25
4.
(b) x2+y2= 25,logo2x+ 2ydy
dx = 0, ou dy
dx =−
x
y.Em
(3,4) ,dy
dx =−
3
4,e como na parte (a), uma equação da
tangente éy=−
3
4x+25
4.
9. (a)x=1.−t,y= 1−t2;(1,1).
dy
dt =−2t,
dx
dt =−1,
dy
dx =dy /dt
dx/dt= 2t.Em(1,1), t= 0, logo dy
dx = 0,
e a tangente éy−1=0(x−1) ou y= 1.
(b) y= 1−t2= 1−1−x2= 2x−x2,logo
[dy/dx]x= 1=[2 −2x]x−1= 0, e como na parte (a)
a tangente éy= 1.
10. (a)x=t3,y=t2;(1,1).
dy
dt = 2t,
dx
dt = 3t2,e
dy
dx =dy /dt
dx/dt=2t
3t2=2
3t(para t=0).Em(1,1),
temost= 1edy/dx=2
3,então a equação da tangente
éy−1=2
3(x−1) ou y=2
3x+1
3.
(b) y=x2/3,logo dy/dx=2
3x−1/3. Quando x=1,
dy /dx=2
3,então a tangente é y=2
3x+1
3como
anteriormente.
11. x=t
2
+t,y=t
2
+ 1.
dy
dx =dy /dt
dx/dt=2t
2t+ 1= 1−1
2t+ 1;
d
dt
dy
dx =2
(2t+ 1) 2;
d2y
dx 2=d
dx
dy
dx =d(dy /dx)/dt
dx/dt=2
(2t+ 1) 3
10.2 SOLUÇÕES
Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
pf3
pf4

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Baixe Cálculo Com Curvas Parametrizadas: Soluções e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity!

SEÇÃO 10.2 CÁLCULO COM CURVAS PARAMETRIZADAS  3

1. x = t − t, y = t^3 − t ⇒ dy dt = 3 t^2 − 1, dx dt

2 t

− 1, e

dy dx

dy /dt dx/dt

3 t^2 − 1 1 / 2 t − 1

3 t^2 − 1 2 t 1 − 2 t

2. x^ =^ t^ ln^ t,^ y^ =^ sen^2 t^ ⇒^

dy dt = 2 sen t cos t, dx dt = t

t

  • (ln t) · 1 = 1 + ln t, e

dy dx

dy /dt dx/dt

2 sen t cos t 1 + ln t

3. x^ =^ t^2 +^ t,^ y^ =^ t^2 −^ t;^ t^ =^ 0.^

dy dt = 2 t − 1, dx dt = 2 t + 1,

logo dy dx

dy /dt dx/dt

2 t − 1 2 t + 1

. Quando t = 0, x = y = 0

e dy dx

= −1. Uma equação da tangente é y − 0 = (−1) (x − 0) ou y = −x.

4. x^ =^ t^ sen^ t ,^ y^ =^ t^ cos^ t ;^ t^ =^ π.^

dy dt

= cos t − t sen t , dx dt = sen t + t cos t , e dy dx

dy/dt dx/dt

cos t − t sen t sen t + t cos t

Quando t = π , ( x, y ) = (0 , − π ) e dy dx

= −^1

− π

π

, então

a equação da tangente é y + π = (^) π^1 ( x − 0) ou y = (^1) π x − π.

5. x^ =^ t^2 +^ t ,^ y^ =^ t ;^ t^ =^ 4.^

dy dt

2 t

dx dt = 2 t + 1, logo

dy dx

dy/dt dx/dt

2 t (2 t + 1)

. Quando t = 4,

( x, y ) = (20 , 2) e dy dx

, então a equação da tangente é y − 2 = 361 ( x − 20) ou y = 361 x + 139.

6. x^ =^ 2 sen^ θ, y^ =^ 3 cos^ θ ;^ θ^ =^ π 4.^

dx dθ = 2 cos θ , dy dθ = −3 sen θ , dy dx

dy /dθ dx/dθ = − 32 tg θ. Quando θ = π 4 ,

( x, y ) = 2 ,^3 2 2 , e dy /dx = − 32 , então a equação da

tangente é y − 32 2 = − 32 x − 2 ou y = − 32 x + 3 2.

7. (a) x = 2 t + 3, y = t^2 + 2 t ; (5 , 3). dy dt = 2 t + 2, dx dt

e dy dx

dy /dt dx/dt = t + 1. Em (5 , 3), t = 1 e dy dx

então a tangente y − 3 = 2 ( x − 5) ou y = 2 x − 7.

(b) y = t^2 + 2 t = x − 3 2

2

  • 2 x − 3 2

= ( x − 3) 2 4

  • x − 3

logo dy dx

x − 3 2

    1. Quando x = 5, dy dx = 2, então a equação da tangente é y = 2 x − 7, como anteriormente.

8. (a) x = 5 cos t , y = 5 sen t ; (3 , 4). dy dt = 5 cos t , dx dt = −5 sen t , dy dx

dy /dt dx/dt = − cotg t. Em (3 , 4),

t = tg−^1 y x = tg−^1 43 , logo dy dx

, então a equação da tangente é y − 4 = − 34 ( x − 3) ou y = − 34 x + 254.

(b) x^2 + y^2 = 25, logo 2 x + 2 y dy dx = 0, ou dy dx

x y

. Em

(3 , 4), dy dx

, e como na parte (a), uma equação da tangente é y = − 34 x + 254.

9. (a) x = 1. − t , y = 1 − t^2 ; (1 , 1). dy dt = − 2 t , dx dt

dy dx

dy /dt dx/dt = 2 t. Em (1 , 1), t = 0, logo dy dx

e a tangente é y − 1 = 0 ( x − 1) ou y = 1. (b) y = 1 − t^2 = 1 − 1 − x^2 = 2 x − x^2 , logo [ dy /dx ] x = 1 = [2 − 2 x ] x − 1 = 0, e como na parte (a) a tangente é y = 1.

10. (a) x = t^3 , y = t^2 ; (1 , 1). dy dt = 2 t , dx dt = 3 t^2 , e dy dx

dy /dt dx/dt

2 t 3 t^2

3 t (para t = 0). Em (1 , 1),

temos t = 1 e dy /dx = 23 , então a equação da tangente é y − 1 = 32 ( x − 1) ou y = 23 x + 13. (b) y = x^2 /^3 , logo dy/dx = 23 x −^1 /^3. Quando x = 1, dy /dx = 23 , então a tangente é y = 23 x + 13 como anteriormente.

11. x = t^2 + t, y = t^2 + 1. dy dx

dy /dt dx/dt

2 t 2 t + 1

2 t + 1

d dt

dy dx

(2t + 1) 2

d^2 y dx 2

d dx

dy dx

d (dy /dx) /dt dx/dt

(2t + 1) 3

10.2 SOLUÇÕES^ Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp

4  SEÇÃO 10.2 CÁLCULO COM CURVAS PARAMETRIZADAS

12. x = t + 2 cos t, y = sen 2t. dy dx

= dy /dt dx/dt

= 2 cos 2t 1 − 2 sen t

d dt

dy dx

(1 − 2 sen t) ( −4 sen 2t) − 2 cos 2t (−2 cos t) (1 − 2 sen t) 2

= 4 (cos t − sen 2t + sen t sen 2t) (1 − 2 sen t) 2

d^2 y dx 2

d (dy /dx ) /dt dx/dt

4 (cos t − sen 2t + sen t sen 2t) (1 − 2 sen t) 3

13. x^ =^ t^4 −^ 1,^ y^ =^ t^ −^ t^2 ⇒^

dy dt = 1 − 2 t, dx dt = 4 t^3 , dy dx

dy /dt dx/dt

1 − 2 t 4 t^3 = 14 t−^3 − 12 t−^2 ; d dt

dy dx = − 34 t−^4 + t−^3 ,

d^2 y dx 2

d (dy /dx) /dt dx/dt

− 34 t−^4 + t−^3 4 t^3

4 t^4 4 t^4

− 3 + 4 t 16 t^7

14. x = t^3 + t^2 + 1, y = 1 − t^2. dy dt = − 2 t, dx dt = 3 t^2 + 2 t; dy dx

dy /dt dx/dt

− 2 t 3 t^2 + 2 t

3 t + 2

d dt

dy dx

(3t + 2) 2

d^2 y dx 2

d (dy /dx) /dt dx/dt

t (3t + 2) 3

15. x = sen π t , y = cos π t. dy dx

= dy /dt dx/dt

= − π^ sen^ π t π cos π t

= − tg π t ;

d^2 y dx 2

d dx

dy dx

d (dy /dx) /dt dx/dt

− π sec 2 π t π cos π t = − sec 3 π t.

16. x^ =^1 +^ tg^ t,^ y^ =^ cos 2t^ ⇒^

dy dt = −2 sen 2t, dx dt = sec 2 t, dy dx

dy /dt dx/dt

−2 sen 2t sec 2 t = −4 sen t cos t · cos 2 t

= −4 sen t cos 3 t; d dt

dy dx = −4 sen t 3 cos 2 t (−sen t) − 4 cos 4 t

= 12 sen 2 t cos 2 t − 4 cos 4 t, d^2 y dx 2

d (dy /dx ) /dt dx/dt

4 cos 2 t 3 sen 2 t − cos 2 t sec 2 t = 4 cos 4 t 3 sen 2 t − cos 2 t.

17. x = e −^ t^ , y = te^2 t^. dy dx = dy /dt dx/dt = (2 t^ +^ 1)^ e

2 t − e −^ t^ = − (2 t + 1) e^3 t^ ;

d dt

dy dx = −3 (2 t +1 ) e^3 t^ − 2 e^3 t^ = − (6 t + 5) e^3 t^ ;

d^2 y dx^2

d dx

dy dx

d ( dy /dx ) /dt dx/dt

− (6 t + 5) e^3 t − e −^ t = ( 6 t + 5) e^4 t^.

18. x = 1 + t^2 , y = t ln t. dy dx

dy/dt dx/dt

1 + ln t 2 t

d dt

dy dx

2 t (1/t ) − (1 + ln t) 2 (2t) 2

ln t 2 t^2

d 2 y dx 2

d (dy /dx ) /dt dx/dt

ln t 4 t^3

= tg− + π

− − O gráfico de x = sen t − 2 cos t , y = 1 + sen t cos t é simétrico em torno do eixo y. O gráfico intersecta o eixo y quando x = 0 ⇒ sen t − 2 cos t = 0 ⇒ sen t = 2 cos t ⇒ tg t = 2 ⇒ t = tg−^1 2 + n p. O ciclo esquerdo é traçado no sentido horário de t = tg−^1 2 − p para t = tg−^1 2, então a área do ciclo é dada (como no Exemplo 4) por

A = tg^

− (^1 ) tg −^1 2 − π y dx ≈ (^) −1,1071 2,0344 (1 + sen t cos t ) ( cos t + 2 sen t ) dt ≈ 0 , 8944 Esta integral pode ser avaliada exatamente, seu valor é (^25) 5.

20. L = 01 ( dx/dt ) 2 + ( dy /dt ) 2 dt e dx/dt = 3 t^2 , dy /dt = 4 t^3 ⇒ L = 01 9 t^4 + 16 t^6 dt = 01 t^2 9 + 16 t^2 dt 21. L^ =^02 ( dx/dt )^2 +^ ( dy /dt )^2 dt^ e^ dx/dt^ =^2 t , dy/dt = 4, então L = 02 4 t^2 + 16 dt = 2 02 t^2 + 4 dt.

dx dt = sen t + t cos t e dy dt = cos t − t sen t ⇒

L = 0 π /2 (sen t + t cos t ) 2 + (cos t − t sen t ) 2 dt

= 0 π /2 1 + t^2 dt

23. dx/dt = − e −^ t^ e dy/dt = e^2 t^ + 2 te^2 t^ = e^2 t^ (1 + 2 t ), então L = (^) −^11 e −^2 t^ + e^4 t^ (1 + 2 t ) 2 dt. 24. x = t^3 , y = t^2 , 0 ≤ t ≤ 4. ( dx/dt ) 2 + ( dy /dt ) 2 = 3 t^2 2 + (2 t ) 2 = 9 t^4 + 4 t^2. L = 04 ( dx/dt ) 2 + ( dy /dt ) 2 dt

= 04 9 t^4 + 4 t^2 dt = 04 t 9 t^2 + 4 dt = 181 4148 u du (onde u = 9 t^2 + 4)

= 181 23 u 3 /^

148 4

= 271 148 3 /2^ − 4 3 /

= 278 37 3 /2^ − 1

6  SEÇÃO 10.2 CÁLCULO COM CURVAS PARAMETRIZADAS

35. dx dθ

2

dy dθ

2

= (−2 sen θ + 2 sen 2 θ ) 2 + (2 cos θ − 2 cos 2 θ ) 2 = 4 sen 2 θ − 2 sen θ sen 2 θ + sen^2 2 θ

  • cos 2 θ − 2 cos θ cos 2 θ + cos 2 2 θ = 4 [1 + 1 − 2 (cos 2 θ cos θ + sen2 θ sen θ )] = 8 [1 − cos (2 θ − θ )] = 8 (1 − cos θ ) Observe que x (2 p − θ ) = x ( θ ) e y (2 p − θ ) = − y ( θ ), logo a parte da curva de θ = 0 a θ = p gera a mesma superfície que a parte de θ = p a θ = 2 p.

Além disto, y = 2 sen θ − sen 2 θ = 2 sen θ (1 − cos θ ). Logo S = 0 π 2 π · 2 sen θ (1 − cos θ ) 2 2 1 − cos θ dθ = 8 2 π (^) 0 π (1 − cos θ ) 3 /^2 sen θ dθ = 8 2 π (^) 02 u^3 du ( u = 1 − cos θ , du = sen θ dθ )

= 8 2 π^25 u^5 /^2

2 0 = 128 π 5