Baixe Cinemática: Conceitos, Deslocamento e Velocidade Média - Exercícios Resolvidos e Propostos e outras Exercícios em PDF para Física, somente na Docsity!
Complemento - 1
C omplemento de C inemátiCa – metRÔ/Sp
1. intRodução
Cinemática: É a parte da mecânica que estuda os movi- mentos dos corpos ou partículas sem se levar em conta o que os causou.
2. unidadeS de medidaS
Grandeza é a denominação dada a tudo que pode ser medido. Exemplo: comprimento, massa, tempo, velocidade.
Para comparar as medidas das grandezas da mesma es- pécie utilizamos as unidades de medidas.
Por exemplo: todos sabemos que 2kg expressa uma quan- tidade maior do que 500g de um mesmo produto, apesar do número 2 ser menor do que o número 500. É que as unidades de medida de massa (kg e g) são diferentes. Para compararmos as quantidades devemos utilizar unidades de medidas iguais.
Atualmente o sistema de unidades oficial adota como medi- da de comprimento, o metro (m), como unidade de medida de massa o quilograma (kg) e como unidade de medida de tempo o segundo(s) que fazem parte do Sistema Interna- cional de Unidades (SI).
3. C onCeito de R efeRenCial , movimento ,
R epouSo e tRajetóRia
Iremos estudar os movimentos dos corpos e para isso precisamos de alguns conceitos tais como:
1) Ponto Material
Um corpo é chamado de ponto material quando suas dimensões não interferem no estudo de um determinado fenômeno.
Exemplo: Quando estudamos o movimento de um caminhão trafegando em uma autoestrada, suas dimensões não são relevantes, podendo ser associado a um ponto. Todavia se formos estudar o movimento do mesmo caminhão atra- vessando uma ponte de tamanho pequeno, devemos levar em conta pelo menos uma das dimensões (comprimento).
2) Movimento e Repouso:
Chamamos de observador àquele que analisa o movimento de um determinado corpo e de referencial o local onde esse observador se encontra.
Para um observador o seu referencial se encontra em repouso.
Para saber se um veículo está em movimento ou repouso são usados referenciais ligados à Terra (um poste, uma edi- ficação, por exemplo), mas, podemos adotar um referencial que esteja em movimento com relação à Terra (interior de um veículo percorrendo uma via).
Um ponto material está em movimento em relação a um referencial quando sua posição em relação a esse referen- cial se altera ao longo do tempo.
Quando a posição do ponto material não se altera ao longo do tempo com relação ao referencial adotado dizemos que está em repouso com relação a esse referencial.
Por exemplo: Uma pessoa sentada na beira da estrada observa o passa- geiro de um ônibus que trafega pela via. Para essa pessoa o passageiro se encontra em movimento enquanto que para um outro passageiro do mesmo ônibus se encontra em repouso.
Movimento e repouso são conceitos relativos pois depen- dem do referencial adotado.
3) Trajetória:
São as posições sucessivas ocupadas por um ponto ma- terial durante o movimento.
Dependendo do formato da trajetória o movimento é classi- ficado em: retilíneo, curvilíneo, circular, elíptico etc.
O formato da trajetória de um corpo em movimento depende do referencial adotado.
Exemplo: Considere um corpo abandonado de um avião voando a uma certa altura. Despreze a resistência do ar.
Para um observador no interior do avião a trajetória do corpo é retilíneo (queda livre). Para um observador na Terra a trajetória é um arco de parábola.
4) Espaço ou Posição:
Para localizarmos um ponto material em uma trajetória definimos uma origem, chamada origem das posições ou origem dos espaços. A posição ou espaço ocupado por um corpo em uma trajetória é a medida da distância do ponto ocupado pelo ponto material até a origem, obedecendo o sentido da trajetória.
Representaremos a posição, usando a letra S ou x.
Espaço 1 igual 10km (S 1 = 10km) Espaço 2 igual 35km (S 2 = 35km)
Atenção!
O espaço apenas indica a posição de um ponto material. Não indica quanto ele andou, nem de onde vem ou para onde vai.
2 - Complemento
5) Deslocamento S.
É a variação da posição do ponto material em um referido intervalo de tempo
S = S – S 0
Onde S é a posição final e S 0 a posição inicial.
Quando o ponto material se movimentar no sentido positivo da trajetória o sinal do S será positivo, quando se deslocar no sentido contrário da trajetória o S será negativo.
Obs.: O deslocamento mede a variação da posição ou espaço. Se um móvel partir de uma determinada posição e retornar à posição de onde partiu em um certo intervalo de tempo, seu deslocamento será igual a zero.
Nesse caso, para determinarmos a “distância percorrida pelo ponto material” devemos somar o deslocamento em módulo (valor sem o sinal negativo) para ir e para retornar ao ponto de partida.
Exercícios resolvidos
01. Um homem, ao inclinar-se sobre uma janela do vagão de um trem que se move com velocidade cons- tante, deixa cair a chave do portão de sua casa. Qual a trajetória da chave vista pelo homem do trem?
Resolução: Para um referencial ligado ao homem o movimento é de queda vertical devido à força gravitacional. A cada instante o homem e a chave estão em uma mesma vertical. Portanto, para o referencial ligado ao homem, a trajetória da chave será retilínea e vertical. Todavia para um observador na terra a trajetória é um arco de parábola.
02. De um avião que voa de leste para oeste abandona- se uma bomba. Em relação a um observador fixo no solo, como será a trajetória da bomba?
Resolução: A bomba, para um observador preso ao solo, tem dois mo- vimentos simultâneos: queda livre (vertical) e horizontal (de leste para oeste) que sobrepostos dão origem a um arco de parábola.
- Calcular o deslocamento do veículo em uma rodovia conforme a figura abaixo, do instante t 0 (tempo inicial) ao instante t (tempo final).
S = S – S 0
S = 35 – 10 = 25km
- Calcular o deslocamento do veículo em uma rodovia conforme a figura abaixo, do instante t 0 (tempo inicial) ao instante t (tempo final).
S = S – S 0
S = 10 – 35 = -25 km
Exercícios Propostos
01. Desprezando a Resistência do ar, em relação a um avião que voa horizontalmente com velocidade cons- tante, a trajetória das bombas por ele abandonadas é: a) uma reta inclinada. b) uma parábola de concavidade para baixo. c) uma reta vertical. d) uma parábola de concavidade para cima. e) um arco de circunferência. 02. Considerando o enunciado anterior, em relação a um referencial preso ao solo, a trajetória das bombas será: a) uma reta inclinada. b) uma parábola de concavidade para baixo. c) uma reta vertical. d) uma parábola de concavidade para cima. e) um arco de circunferência. 03. Considere a seguinte situação: um ônibus mo- vendo-se numa estrada e duas pessoas: Uma (A) sentada no ônibus e outra (B) parada na estrada, ambas observando uma lâmpada instalada no teto do ônibus. “A” diz: A lâmpada não se move em relação a mim, uma vez que a distância que nos separa permanece constante. “B” diz: A lâmpada está em movimento uma vez que ela está se afastando de mim. a) “A” está errada e “B” está certa. b) “A” está certa e “B” está errada. c) Ambas estão erradas. d) Cada uma, dentro do seu ponto de observação, está certa.
4 - Complemento
5. veloCidade inStantânea
É velocidade marcada no velocímetro do carro, mostra a velocidade em cada instante (podemos pensar que é a velocidade medida para cada giro do pneu do veículo).
Conceitualmente a velocidade instantânea é aquela medida para um intervalo de tempo t extremamente pequeno, ou seja, quando tende a zero.
Representação matemática que diz: a velocidade instantâ- nea V é o valor limite para o qual tende a velocidade média quando o intervalo de tempo t tende a zero.
6. SinaiS da veloCidade inStantânea
a) Quanto ao sentido percorrido sobre a trajetória, temos dois tipos de movimentos.
i. Progressivo (s > 0) e (v > 0)
Num movimento progressivo o corpo se desloca a favor da orientação positiva.
Num movimento retrógrado o corpo se desloca contrário ao da orientação positiva.
7. movimento R etilíneo unifoRme (mRu) –
função H oRáRia
É o movimento onde o ponto material percorre uma trajetória retilínea efetuando deslocamentos iguais em intervalos de tempos iguais, ou seja a velocidade escalar instantânea é constante e diferente de zero.
Chamamos de velocidade escalar ao valor numérico da velocidade (módulo ou intensidade), sem nos preocuparmos com a sua direção e o seu sentido.
No MRU o valor da velocidade escalar é igual à velocidade média em qualquer intervalo de tempo considerado.
A tabela seguinte mostra as posições de um ponto material em MRU em relação ao tempo:
Observe que para intervalos de tempo iguais a 2s ocorrem deslocamentos de 10m, como
Dada uma tabela do espaço pelo tempo, toda vez que pre- cisarmos calcular a velocidade de um ponto material em MRU basta calcularmos a velocidade média para qualquer intervalo de tempo considerado.
Função Horária do Movimento Retilíneo Uniforme
Considere um móvel em MRU, com velocidade V, que no instante t 0 = 0 ocupa a posição S 0 e num determinado instante t ocupa a posição S.
Podemos escrever que
que é chamada de função horária do MRU.
Exercício resolvido
04. Numa experiência sobre o movimento retilíneo e uniforme de um móvel obteve-se a seguinte tabela: t(s) 0 1 2 3 4 s(m) 5 9 13 17 21
A equação horária s(t) para os dados apresentados será: a) s(t) = 5 + 9t b) s(t) = 5 + 4t c) s(t) = 0,25t d) s(t) = 5 – 4t e) s(t) = 4 + 5t
Resolução: Para determinar a velocidade basta pegarmos dois instantes quaisquer e suas respectivas posições. Por exemplo: Para t = 0 s→ S = 5m e Para t = 4 s→ S = 21m
S 0 = 5m
Então S = 5 + 4t , alternativa b.
Complemento - 5
Exercícios Propostos
13. Um automóvel percorre uma estrada com função horária s = - 40 + 80t, onde s é dado em km e t em horas. O automóvel passa pelo km zero após: a) 1,0h. b) 1,5h. c) 0,5h. d) 2,0h. e) 2,5h. 14. A tabela fornece, em vários instantes, a posição s de um automóvel em relação ao km zero da estrada em que se movimenta. t(h) 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10, s(km) 200 170 140 110 80 50
A função horária que nos fornece a posição do automóvel, com as unidades fornecidas, é: a) s = 200 + 30t b) s = 200 – 30t c) s = 200 + 15t d) s = 200 – 15t e) s = 200 – 15t^2
15. Duas bolas de dimensões desprezíveis se apro- ximam uma da outra, executando movimentos retilíneos e uniformes (veja a figura). Sabendo-se que as bolas possuem velocidades de 2m/s e 3m/s e que, no instante t = 0, a distância entre elas é de 15m, podemos afirmar que o instante da colisão é: a) 1s b) 2s c) 3s d) 4s e) 5s
Texto para as questões 16 e 17:
Dois móveis A e B, ambos com movimento uniforme percorrem uma trajetória retilínea conforme mostra a figura. Em t = 0, estes se encontram, respectivamente, nos pontos A e B na trajetória. As velocidades dos móveis são v (^) A= 50m/s e v (^) B= 30m/s no mesmo sentido.
16. Em qual ponto da trajetória ocorrerá o encontro dos móveis? a) 200m b) 225m c) 250m d) 300m e) 350m 17. Em que instante a distância entre os dois móveis será 50m? a) 2,0s b) 2,5s c) 3,0s d) 3,5s e) 4,0s 8. GRáfiCoS do movimento Retilíneo unifoRme
Além da função horária, o MRU pode ser estudado por meio de tabelas e gráficos.
Façamos uma análise do MRU utilizando a tabela abaixo.
Tomamos os dados da tabela acima para podemos analisar o MRU lançando os valores em um diagrama cartesiano de S x t obtendo o gráfico seguinte.
onde podemos fazer as seguintes observações:
O conjunto dos pontos determinados pelos pares (t,S) é o gráfico da função S = f(t).
a função horária do espaço do MRU S = S 0 + vt, (v ≠ 0), é denominada função do 1º grau e o gráfico é uma reta.
na referida função, a velocidade é o coeficiente angular da reta;
o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo de inclinação da reta no gráfico S x t
Para determinarmos a velocidade num gráfico S x t basta calcular o coeficiente angular da reta ou seja:
Complemento - 7
9. aCeleRação média
Um movimento é chamado variado quando sua velocidade varia no decorrer do tempo.
Chamamos de aceleração à grandeza física que mede a rapidez com que a velocidade varia.
Para um determinado intervalo de tempo a aceleração mé- dia mede a variação da velocidade na unidade de tempo, ou seja:
Exemplo: Um veículo percorre uma via e sua velocidade va- ria com relação ao tempo de acordo com a tabela seguinte:
t (s) 15 40 v (m/s) 40 85
Considerando t = 15s → v = 40m/s t = 30s → v = 85m/s
Verifique que na fórmula estamos dividindo m/s por s ou seja:
Daí a unidade de aceleração no Sistema Internacional ser m/s^2.
Exercício resolvido
05. Um automóvel percorrendo uma estrada a 90 km/h é freado e para em 5s. A aceleração média introduzida pelos freios, em módulo e em m/s^2 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 10
Resolução:
Como o valor da aceleração deve ser dado em módulo, então a resposta é a alternativa d.
10. movimento aCeleRado e movimento R etaRdado
Se você observar o velocímetro de um carro que está sendo acelerado verá que ele apresenta sucessivas leituras crescentes.
Esse veículo, nesta situação, está em movimento acelerado. Um movimento é acelerado quando o módulo da velocidade cresce num determinado intervalo de tempo.
Por outro lado, se você observar o velocímetro de um veículo que está sendo freado, verá que ele apresenta sucessivas leituras decrescentes.
Nessa situação, o veículo está em movimento retardado.
O movimento é retardado quando o módulo da velocidade decresce num dado intervalo de tempo.
Observe, agora, os quadros que apresentam situações onde o movimento é acelerado e retardado.
Quadro 1: Movimento acelerado
Movimento a favor da orientação da trajetória: t(s) 0 5 v(m/s) +40 +
Movimento contra a orientação da trajetória: t(s) 0 5 v(m/s) - 40 - 60
O sinal da velocidade só indica o sentido do movimento.
Movimento acelerado: velocidade e aceleração têm o mesmo sinal!
Quadro 1: Movimento retardado
Movimento a favor da orientação da trajetória: t(s) 0 5 v(m/s) +80 +
Movimento contra a orientação da trajetória: t(s) 0 5 v(m/s) - 40 - 80
O sinal da velocidade só indica o sentido do movimento.
Movimento retardado: velocidade e aceleração têm sinais opostos!
8 - Complemento
11. aCeleRação inStantânea
Assim como foi dito para a velocidade instantânea, a acelera- ção instantânea é aquela medida para um intervalo de tempo ∆t extremamente pequeno, ou seja, quando tende a zero.
Representação matemática que diz: a aceleração instantâ- nea a é o valor limite para o qual tende a aceleração média quando o intervalo de tempo ∆t tende a zero.
12. movimento Retilíneo unifoRmemente va-
Riado (mRuv) – função HoRáRia da veloCidade
O movimento é uniformemente variado quando sua acelera- ção instantânea é constante e não-nula em todos os instantes.
Se em todos os instantes a aceleração é constante, decorre que o valor da aceleração instantânea coincide com o da aceleração média.
13. função H oRáRia da veloCidade
Considere um móvel em MRUV, com velocidade V 0 no instante t 0 = 0 e velocidade V no instante t.
teremos então que:
(função horária da velocidade para o MRUV)
Observe que essa equação faz corresponder a cada instan- te t uma única velocidade v, com isso, dada a velocidade inicial e a aceleração de um móvel em MRUV é possível determinarmos a sua velocidade em cada instante.
Exercício resolvido
06. Um ponto material realiza um movimento unifor- memente variado cuja velocidade varia no decorrer do tempo de acordo com a função v = 10 – 4t, onde v é medido em metros por segundo e t é medido em segundos. Determine: a) A velocidade inicial e a aceleração do ponto material; b) velocidade nos instantes t = 2s e t= 7s; c) Se o movimento é acelerado ou retardado nos instantes do item anterior; d) O instante em que a velocidade se anula (instante em que ocorre mudança no sentido do movimento).
Resolução:
a) No MRUV a função horária da velocidade é v = v 0 + at, como a função dada é v = 10 – 4t, por comparação temos que: v 0 = 10m/s e a = -4m/s^2
b) Para t = 2s temos: V = 10 – 4 x 2 = 10 – 8 = 2m/s
Para t = 7s temos: V = 10 – 4 x 7 = -18m/s
No instante t = 2s temos: V = 2m/s (velocidade positiva) a = -4m/s^2 (aceleração negativa)
Logo a velocidade e a aceleração têm sinais contrários e o movimento é retardado.
c) No instante t = 7s temos: V = -18m/s (velocidade negativa) a = -4m/s^2 (aceleração negativa)
Logo, a velocidade e a aceleração têm sinais iguais e o movimento é acelerado.
d) Instante em que v = 0 Substituindo na função horária da velocidade temos: 0 = 10 – 4t → 4t = 10→t = 2,5s (instante em que ocorre mudança no sentido do movimento)
Verifique que o móvel partiu com movimento retardado (velo- cidade diminuindo em módulo), parando no instante t = 2,5s (instante em que muda o sentido do movimento) para seguir, agora, em sentido contrário com movimento acelerado (mo- vimento aumentando em módulo indefinidamente).
A tendência do móvel é a de se movimentar no sentido da aceleração.
Toda vez que o movimento for retardado no início, o móvel irá parar e inverter o sentido do movimento.
Exercícios propostos
21. Um jovem, partindo do repouso, acelera em linha reta sua moto a 2,5m/s 2. Após 4s, a distância per- corrida e a velocidade do conjunto é de: a) 2m e 8m/s b) 5m e 10m/s c) 6,5m e 5m/s d) 20m e 10m/s e) 40m e 20m/s
O enunciado seguinte se refere aos exercícios números 22 e 23: A posição de um móvel em movimento retilíneo é dada pela função horária S = 4 + 2t – 2t^2 , onde S está em metros e t em segundos.
22. Podemos afirmar que a velocidade do corpo é igual a zero no instante: a) 0,5s b) 1,5s c) 2s d) 3s e) 5,5s. 23. O instante em que o móvel passará pela origem das posições será: a) 0,5s b) 1,5s c) 2 s d) 3s e) 5,5s.
10 - Complemento
Exercício resolvido
07. Um carro faz um trajeto realizando movimentos retilíneos como mostrado no gráfico da velocidade em função do tempo da figura abaixo.
A sua velocidade média entre os instantes t = 0h e t = 4h em km/h será: a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35
Resolver
Lembrar que a área do trapézio é dada pela fórmula:
Utilizando a propriedade do gráfico V x t:
A 2 = 1. -(60) = -60km ∆S = 120 + (-60) = 60 V = 60/4 = 15km/h
Portanto alternativa a.
Exercícios propostos
31. O gráfico seguinte mostra as velocidades de dois carros, A e B que trafegam no mesmo sentido ao longo de uma via plana e reta. No instante t = 0 os carros estão alinhados num mesmo semáforo. Após quanto tempo o carro B alcançará o carro A?
a) 1s b) 2s c) 3s d) 4s e) 5s
32. O gráfico a seguir representa um automóvel que parte do repouso, se desloca em um intervalo de tempo igual a 50s e para. Analise o gráfico ao lado e assinale a alternativa que indica a distância percorrida pelo automóvel no intervalo de tempo considerado.
a) 250m b) 300m c) 350m d) 400m e) 500m
33. O gráfico da velocidade e função do tempo, apresenta- do a seguir, representa o movimento de uma partícula.
O gráfico que representa a aceleração em função do tempo para esse mesmo movimento é:
Complemento - 11
15. função HoRáRia do eSpaço do movimento
Retilíneo unifoRmemente vaRiado
Como sabemos o gráfico v x t para o MRUV é uma reta inclinada em relação ao eixo t.
A área sob esse gráfico entre os instantes 0s e t nos dá, numericamente, o deslocamento ∆S efetuado pelo móvel.
que é a função horária do espaço para o MRUV
Esta expressão descreve o MRUV de um ponto material, pois cada instante de tempo t ela faz corresponder uma única posição indicada pelo espaço S.
Exercício resolvido
Um ponto material executa um MRUV. A função horária do espaço que descreve o movimento é S = 4 – 5t + t 2 (S medido em quilômetros e t, em horas). Determine:
a) o espaço inicial S 0 , a velocidade inicial v 0 e a acele- ração a do ponto material;
b) o espaço do ponto material no instante t = 2 h;
c) o instante em que o ponto material passa pelo espaço S = 10km;
d) o instante em que o ponto material atinge o marco zero, ou seja, S = 0km;
e) a função horária da velocidade do ponto material;
f) o instante e a posição em que o ponto material muda o sentido do movimento.
Resolução: a) comparando a função dada com a função horária do espaço do MRUV, temos:
S = 4 – 5t +t^2 S = S 0 + v 0 t + a/2 t^2
S 0 = 4km v 0 = 5km/h a = 2km/h^2
b) Substituindo t = 2h na função horária do espaço, temos; S = 4 – 5. 2 +2^2 S = - 2km
c) Substituindo o valor S = 10 km na função horária do espaço, temos: 10 = 4 – 5t + t^2 → t^2 – 5t – 6 = 0
Trata-se de resolver uma equação do 2º grau em t. Para resolvê-la temos que aplicar a fórmula geral
onde a = 1; b = -5 ; c = -
logo,
que fornece os seguintes resultados: t = 6h e t = -1h
Somente a primeira solução (6h) é fisicamente adequada, pois t ≥ 0. Portanto o ponto material passará pela posição 10km no instante 6h.
d) substituindo o valor S = 0 km na função horária dos espaços, temos: 0 = 4 – 5t +t^2 → t^2 – 5t + 4 = 0 Onde a = 1; b - -5; c = 4
Logo
que fornece os seguintes resultados: t = 4h e t = 1h
As duas soluções são fisicamente adequadas. Isso significa que o ponto material passa pelo marco zero em dois ins- tantes diferentes, quando percorre a trajetória no sentido negativo e depois no sentido positivo.
Complemento - 13
Resolução: Nos problemas de queda livre orientamos o eixo de cima para baixo com a origem coincidindo com o ponto de queda (S 0 = 0) de tal forma que a velocidade de queda será positiva assim como g, pois o movimento é acelerado.
As equações que podemos utilizar são: Equação horária da velocidade, do espaço e a equação de Torricelli.
Para os casos em que o móvel é abandonado (v 0 = 0) tais equações ficam, respectivamente da seguinte forma: V = gt S = g/2 t^2 V^2 = 2.g.∆h
Onde S é o quanto foi percorrido na queda.
a) quando o nadador chega na superfície da água S = 5m, portanto S = g/2 t^2 → 5 = 10/2 t^2 → t^2 = 1 logo temos duas respos- tas: t = 1 e t = -1 ,como t > 0 temos que t = 1s.
b) a velocidade do nadador ao chegar na superfície da água pode ser calculada pela equação de Torricelli V^2 = 2.g.∆h substituindo os valores temos: V^2 = 2.10.5 = 100
Portanto v = 10m/s e v = -10m/s, sendo o resultado fisi- camente aceitável de 10m/s pois o corpo, na queda, se movimenta a favor da trajetória.
18. lançamento veRtiCal
No lançamento vertical o móvel sobe até parar, ao atingir a altura máxima, e depois volta em queda livre.
Para resolvermos problemas relacionados com lançamento vertical utilizamos as equações do MRUV, orientando o eixo de baixo para cima a partir do solo.
Exercícios resolvidos
10. Uma pessoa que se encontra sobre um edifício atira uma pedra verticalmente para cima, com velocidade de 20m/s. Considere que o ponto de lançamento da pedra se encon- tre a 60m do solo Despreze as influências do ar e admita que a aceleração da gravidade seja g = 10m/s^2. Determine:
a) as funções horárias do espaço e da velocidade; b) o tempo gasto para a pedra atingir sua altura máxima. c) a altura máxima atingida pela pedra; d) o tempo gasto para a pedra atingir o solo; e) a velocidade da pedra ao chegar ao solo; f) as velocidades e as posições da pedra nos instantes t = 1s e t = 3s; g) os gráficos S x t, V x t e A x t, correspondentes ao mo- vimento da pedra.
Resolução: Nos problemas de lançamento vertical orientamos o eixo de baixo para cima com a origem no solo (S0= 0) de tal forma que a velocidade do móvel será positiva na subida e negativa na queda. A aceleração da gravidade g será negativa todo o tempo e o movimento será retardado na subida e acelerado na descida.
As equações que podemos utilizar são:
Equação horária da velocidade, do espaço e a equação de Torricelli.
Nesse caso v 0 ≠ 0, tais equações ficam, respectivamente da seguinte forma: V = vo - gt S = S 0 + v 0 t – g/2 t^2 V^2 = v 02 – 2.g.∆h
A partir do desenho podemos verificar que: S 0 = 60m v 0 = 20m/s g = -10m/s^2
a) as funções horárias do espaço e da velocidade ficaram: S = 60 + 20t – 10/2 t^2 S = 60 + 20 t – 5 t^2 V = 20 – 10t
b) quando a pedra atingir a altura máxima sua velocidade será igual a zero, instante em que irá parar para inverter o sentido do movimento.
Devemos fazer v = 0 na equação da velocidade: 0 = 20 – 10t → 10t = 20 → t = 2s
c) a altura máxima atingida pela pedra será o instante em que v = 0 podemos resolver o problema substituindo t = 2s na equação do espaço
fazendo t = 2 s na equação do espaço temos: S = 60 + 20. 2 - 5. 2^2 S = 60 + 40 – 20 = 80m
14 - Complemento
d) o instante em que a pedra chega ao solo é o instante em que a pedra se encontra na origem (S = 0).
Fazendo S = 0 na equação do espaço podemos determinar o instante t correspondente. 0 = 60 + 20t – 5t^2 5t 2 – 20t – 60 = 0 dividindo todos os termos por 5 fica: t2 –^ 4t – 12=
Trata-se de resolver uma equação do 2º grau em t. Para resolvê-la temos que aplicar a fórmula geral
onde a = 1; b = -4 ; c =-
logo,
que fornece os seguintes resultados: t = 6s e t = -2s
Somente a primeira solução (6s) é fisicamente adequada, pois t ≥0. Portanto o ponto material chegará ao solo no instante 6s.
e) para determinar a velocidade da pedra quando chega ao solo é só substituir o instante t = 6s na equação da velocidade:
V = 20 – 10.6 = - 40m/s (o sinal negativo indica que a pedra se move no sentido contrário ao da trajetória).
Para determinarmos as velocidades e posições nos instan- tes 1s e 3s baste substituirmos os valores dos tempos nas equações das posições e das velocidades.
Para t = 1s S = 60 + 20.1 - 5 .1^2 = 75m V = 20 – 10.1 = 10m/s
Para t = 3s V = 20 – 10.3 = -10m/s S = 60 + 20.3 – 5.3 2 = 75m
f) os gráficos solicitados se encontram representados abaixo.
Exercícios propostos
34. Uma pedra largada (velocidade inicial igual a zero) do alto de um penhasco demora 3 segundos para percorrer a primeira metade do percurso. Despre- zando a resistência do ar, pode-se afirmar que o tempo total da queda: a) depende da altura do penhasco b) depende da massa da pedra c) depende da forma da pedra d) é menor que 6 segundos e) é igual a 6 segundos 35. Um jarro de flores cai do alto de um edifício de 30m. A sua velocidade quando ele se encontra a 10m do solo é: (despreze a resistência do ar) a) 10m/s b) 20m/s c) 30m/s d) 40m/s e) 50m/s 36. Um gato consegue sair ileso de muitas quedas. Suponha que a maior velocidade com a qual ele possa atingir o solo sem se machucar seja de 8m/s. Então, desprezando a resistência do ar, a altura máxima de queda, para que o gato nada sofra, deve ser: a) 3,2m b) 6,4m c) 10m d) 8m e) 4m 37. A velocidade de um objeto em queda livre au- menta continuamente enquanto cai de pequenas alturas com relação ao solo. Segundo Galileu, a aceleração é igual para todos os objetos e tem in- tensidade aproximada de 9,8m/s^2 , desconsiderada a resistência do ar. Com base nessas afirmativas, assinale a opção correspondente ao valor da ve- locidade de um objeto, em m/s, após 5 segundos de queda livre. a) 59 b) 49 c) 39 d) 19 e) 20 38. Um corpo é abandonado de uma certa altura, atingindo o solo depois de 5 segundos. A altura de onde o corpo foi abandonado é: (g = 10m/s^2 ) a) 12m b) 125m c) 18m d) 90m e) 50m 39. De um aeromodelo voando horizontalmente a 30m/s e a 45m de altura em relação a um terreno piano e horizontal, escapa um parafuso. Qual o tempo de queda do parafuso, considerando g = 10m/s 2? a) 4,5s b) 3,5s c) 5,0s d) 3,0s
