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Tipologia: Provas
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Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-^1
Mecânica dos Fluidos
C-4^ PUCRS
1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Propriedades dos Fluidos (Cap.2)
[ 1 ] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg.
[ 2 ] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m^3 determine a massa específica, peso específico
e densidade do óleo.
[ 3 ] Se 6,0m^3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido.
[ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m^3. Determine a massa específica e o peso do
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no
tanque é 21^0 C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K)
[ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3^ N.s/m^2 e uma massa específica de 0,85 kg/dm^3. Determinar a
sua viscosidade cinemática.
[ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2 K N m − em termos da altura de coluna de água de
massa específica ρ = − 1000 3 kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica
ρ = × − 13 6 10 3 3
. kg m. Utilizando p = ρ gh.
[ 7 ] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 10^0 C e profundidade
máxima do lago de 40m. Se a pressão barométrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região
de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54.
[ 8 ] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa.
[ 9 ] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manométrica. A pressão atmosférica local é de
101,0 kPa.
[ 10 ] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão
atmosférica local é igual a 100 kPa.
[ 11 ] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm^2. Determinar a pressão
absoluta em kgf/cm^2 , Pa, mH 2 0 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm^2 e a densidade do
mercúrio igual a 13,6.
[ 12 ] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m^2 e densidade igual a 0,91 escoando
num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o
valor do número de Reynolds.
[ 13 ] Em um reservatório contendo glicerina, com massa=1200 kg e volume=0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina;
b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina.
[ 14 ] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR =
1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou
incompressível? c) subsônico ou supersônico?
[ 15 ] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe
um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-^5
Solução dos Problemas - Propriedades dos Fluidos
[1] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg.
N kN s
m w kgx
w mg
= 825 9 , 81 2 = 8093 , 25 ou 8 , 093
[2] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m^3 determine a massa específica, peso
específico e densidade do óleo.
Massa específica
m
kg
m
kg
V
m ρ= = = ≅
Peso específico
m
s
m x m
kg γ= ρ g = =
Também poderia ser determinada como
m
m
w γ= = =
densidade
2 (^4 ) H 2 O ( a^4 c^ )
fluido
HOa c
fluido d o γ o
γ
ρ
ρ = =
2 (^4 )
HOa c
fluido d ρ o
ρ
[3] Se 6,0m^3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido.
Peso específico 3
m
x N
V
γ= = =
Massa específica 3
m
kg
g
γ ρ mm
xs s
kgm
mm
Ns
s
m
m
g 3
2 2 3
2
2
3
γ ρ
Densidade 0 , 80 1000
0 2 04
H a C
óleo d ρ
ρ
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-^7
[7] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 10^0 C e profundidade máxima do lago de 40m. Se a pressão baromêtrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do
lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. A pressão da água, em qualquer profundidade h, é dada pela equação:
p = p 0 +ρ gh
Onde po é a pressão na superfície do lago que representa a pressão atmosférica local (patm). Como patm foi dada em coluna de mercúrio devemos
kPa m
kg patm gh x 79 , 43 m
x0,598m 79430, s
m 13 , 541000 x9, 3 2 2 = ρ = = =
Desta forma para o fundo do rio (h=40m) para água a 10^0 C a qual corresponde uma massa especifica de 1000kg/m^3 podemos determinar a pressão absoluta como.
p = p atm +ρ gh = 79 , 43 kPa + 1000 x 9 , 81 x 40 = 79 , 43 kPa + 392 , 4 kPa ≈ 472 kPa
[8] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa.
p (^) abs = Pman + p atm= 155 kPa + 98 , 0 kPa = 253 kPa
[9] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manomêtrica. A pressão atmosférica local é de 101,0 kPa.
Pman = p abs − p atm= 225 , 0 kPa − 101 , 0 kPa = 124 , 0 kPa
[10] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é igual a 100 kPa.
p (^) abs = p atm− pvac = 100 kPa − 70 kPa = 30 kPa
[11] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm^2. Determinar a pressão absoluta em
kgf/cm^2 , Pa, mH 2 0 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm^2 e a densidade do mercúrio igual a 13,6.
p abs (^) = Pman + p atm
em kgf/cm^2
abs (^2)
cm
kgf p = + =
Sabemos que 1 kgf =9,81N, desta forma e que 1cm^2 = (1/100)^2 m^2. Desta forma.
x x kPa
m
kgf
x cm
kgf p 3 , 0 9 , 81100 294 , 3
2
2 2
abs = 2 = =
30 decolunade água 1000 9. 81
3
20
m g
p h H
ρ
2 , 2 decoluna mercúrio 13 , 61000 9 , 81
3 m g x
p h Hg
ρ
Mecânica dos Fluidos
C-8^ PUCRS
[12] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m^2 e densidade igual a 0,
escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,
m/s, determine o valor do número de Reynolds.
O número de Reynolds é definido como
μ
ρ
ν
Re= ou =
a massa específica do fluido é determina em função da densidade
m
kg
m
kg ρ= d ρ H = x =
Re = = ≅
VD x x
μ
ρ
Conferindo as unidades
( ) 1 - adimensional
...
Re
2 2
3
2
3
2
3 ^ =
s
m
kgm
s
m
kg m s
m
Ns
m x m
kg xmx s
m
m
Ns
m
kg xmx s
m VD
μ
ρ
variáveis utilizadas forem expressas num sistema de unidades consistente.
[13] Em um reservatório contendo glicerina, temos: massa = 1200 kg e volume = 0,952 m³. Determine: a) peso da
glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina.
a) W = F = m.a = mg W = 1200 kg x 9,81 m/s 2 ≅ 11,77 kN
b) ρ = m / V ρ = 1200 kg / 0,952 m³ ≅ 1261 kg / m³
c) γ = ρ g 3 1261 3 9 , 81 2 12 , 37 kN / m s
m x m
kg γ = ≅
d) d = ρfluido / ρágua a 4ºC 1 , 26
1000
3
3 = =
m
kg
m
kg
d
Mecânica dos Fluidos
C-10^ PUCRS
Poise e a massa especifica igual a 1,208 kg/m^3.
Utilize estes dados para construir uma equação empírica do tipo: ρ=c 1 + c 2 T + c 3 T^2 que forneça a massa especifica da água nesta faixa de temperatura. Comparar os valores fornecidos pela equação com os da tabela. Qual o valor da massa especifica da água quando a temperatura é igual a 42,1^0 C.
ρ (kg/m^3 ) 998,2^ 997,1^ 995,7^ 994,1^ 992,2^ 990,2^ 988, T (^0 C) 20 25 30 35 40 45 50
3 / 2 μ
As constantes para a Eq. Sutherland adequada para o ar a pressão atmosférica padrão são C=1,458x10-6 kg/(msK1/2) e S=110,4K. Utilize estes valores para estimar a viscosidade dinâmica do ar a 10^0 C e a 90^0 C. Compare os valores com os tabelados em textos
de mecânica dos fluidos
μ D exp
Determine as constantes D e B da Eq. de Andrade para água para as temperaturas de 0,20,40,60, 80 e 100^0 C. Determine a
viscosidade dinâmica para 50^0 C e compare com valores dados em tabelas. Método: Rescreva a equação na forma:
B ln
ln μ= +
Grafique em função de lnμ em função de 1/T. Os valores de D e B podem ser determinados a partir da inclinação e do ponto de
intercessão desta curva. Obs. Se você tem acesso a um programa de ajuste de curvas não linear poderá encontrar as constantes a partir da Eq. original.
do tanque. (V=1,52m^3 )
igual a 850kgf/m^3.
especifica do mercúrio igual a 13600 kg/m^3. A aceleração da gravidade na terra é igual a 9,81 m/s^2.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-^11
mostra na figura. Considere d=13,6 e a pressão atmosférica igual à pressão atmosférica normal (101,33kPa) com g=9,81m/s^2. Determine nestas circunstancias a altura de coluna de mercúrio. (h=760mmHg)
pressão atmosférica é igual a 14.5Psi. Determinar a pressão absoluta no reservatório.
40kPa. Qual é a pressão absoluta correspondente se a pressão atmosférica local é igual a 100kPa.
contém os seguintes fluidos: a) mercúrio b) água c)álcool etílico. Calcule as alturas levando em conta a pressão de vapor destes fluidos e compare com seus respectivos desconsiderando a pressão de vapor dos fluidos.
água a uma temperatura de 35^0 C com uma vazão de 60m^3 /h. Especifique se o escoamento é laminar ou turbulento. Determine a perda de carga para a tubulação considerando um comprimento total de 50metros.
igual a 100kPa. (Obs: Considere o ar como um gás ideal) (ρ=1,07kg/m^3 )
no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Considere que a temperatura do ar no tanque é de 210 C e que a pressão atmosférica é igual a 101,30kPa. (5,23kg/m^3 , 1,22N).
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-^13
1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2)
[1] Duas grandes superfícies planas mantêm uma distância h entre elas esta escoando um determinado fluido.
[2] Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by^2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3^ kg/ms.
[3] Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25 mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica
de 850 kg/m^3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5^ m^2 /s. Uma placa muito fina de 0,4 m^2 de área move-se a uma velocidade de 0,15m/s eqüidistante entre ambas superfícies. Considere um perfil linear de velocidade. Determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento sobre a placa fina (c) força necessária para puxar a placa.
[4] Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. A separação das placas é igual a 0,3m. Considere um perfil de velocidade linear. A viscosidade do líquido é de 0,65 Centipoise A densidade relativa é igual a 0,88 Determinar:
y
x
V=2,5m/s
h=100mm
U=0,3m/s
Mecânica dos Fluidos
C-14^ PUCRS
[5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é
dada pela equação
2 1 2
h
V y u
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m^2. Considerando que V=0,6m/s e
h=5mm determinar: a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal
b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal.
[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) 2. 2 U y = y
Onde U ( y )é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de
2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida.
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o
diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320 mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m^2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade
(dv/dy=u/y).
[ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de
velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a
1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente de velocidades é dado por:
b
y
b
dy
du
2
cos 2
max
π π
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do resultado.
Mecânica dos Fluidos
C-16^ PUCRS
Solução – Problema 2
Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by^2 determinar
(a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em
y= -100mm.
Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3^ kg/ms.
Para y=0; V=Vmax=2,5m/s
como 2 V = a + by achamos que a=2,5m/s
Para y=-100 mm V=0 com V = a + by^2 achamos
( ) 2
2 2
V y
y
V a b
O gradiente de velocidade é dada por: y dy
du =− 500
Tensão de cisalhamento em y=0 :
8,0x10 x500x0 0
du τ μ
Tensão de cisalhamento em y=-0,1m
2
dy
du τ= μ = =−
Solução – Problema 3
Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de
850 kg/m^3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5m^2 /s. Determinar a força necessária para puxar uma placa muito fina de 0,4m^2 de área a uma velocidade de 0,15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies. Considere um perfil linear de
velocidade (dv/dy=u/y).
F = F 1 + F 2
2
2 5 = = 850 3 7 , 61510 = 0 , 06473 N.s/m − s
m x m
kg μ ρν
1
1 y
u A dy
du F = A τ = A μ ≡ μ 2
2 y
u F ≡ A μ como y 1 =y 2 temos que F 1 =F 2.
m
s
m
x m
Ns x mx y
u F A 0 , 62 0 , 0125
2
2 = =
= μ
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-^17
Solução – Problema 4
[4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. Para uma pequena
largura da camada d, supomos uma distribuição linear de velocidade no líquido. A viscosidade do líquido é de 0,65 centipoise A densidade relativa
é igual a 0,88 Determinar:
(a) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms)
(b) A viscosidade cinemática do líquido (c) A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa)
(d) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) (e) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d.
Hipóteses:
(a) 1 cP = Pa s /
6 , 510 s 1000
4 x Pa cP
Pa s cP − μ= =
1 cP = Pa s /
4 x kg ms cP
kg ms cP − μ= =
(b) A viscosidade dinâmica
s
m x
m
kg x
ms
kg x (^) 2 3
3
4
7 , 3910 0 , 881000
−
−
= = = ρ
μ ν
O perfil de velocidade é representado por a equação de uma reta:
u ( y )= my + b
Para y=0 u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de coord.)
Para y=d u=U e por tanto m= U/d
Desta forma o perfil de velocidade é dado como:
y d
u y
O gradiente é dado por:
s cte
x
d
dy
du = = = = − 1 1000 0 , 3
(c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa)
Pa m
ms s
kg x d
dy
du
y
yx^0 ,^650 ,^65
2
4
0
−
=
τ μ μ
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-^19
Solução – Problema 6
[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) 2. 2 U y = y
Onde U ( y )é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de
2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida.
Como o perfil de velocidade é dado por ( ) 2.
2 U y = y Desta forma
( ) 4 y. dy
A tensão de cisalhamento é dada por: y
u
∂
τ = μ 2
3 210 4 ( 0 , 2 ) 0 , 0016
m
x x x dy
dU y = = =
− τ μ
Solução – Problema 7
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é
de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320mm. O espaço entre o embolo e
o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m^2. Determinar a velocidade na
descida considerando um perfil linear de velocidade ( du/dy=u/y ).
y
u DL dy
du F = A τ = A μ =π μ
( )
s
cm
s
m
x x x
x x
DL
Fy u 0 , 0287 2 , 87 0 , 2 0 , 32 8 , 5
π μ π
Solução – Problema 8
[ 8 ] Ar a 20^0 C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de
cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 1,23 kg/m^3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente
de velocidades é dado por:
b
y
b
dy
du
2
cos 2
max
π π
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do
resultado.
y mm
y mm
5
max 3 , 5
3 , 5
−
=
=
Mecânica dos Fluidos
C-20^ PUCRS
[1] A Fig. mostra duas placas planas paralelas a distância de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo de viscosidade 0,1x10-4^ m^2 /s e massa específica 830
kg/m^3 , Determine: (a) O gradiente de velocidade; (b) A tensão de cisalhamento (N/m^2 ) na superfície da placa móvel em contato com o fluido (c) A tensão de cisalhamento (N/m^2 ) na superfície da placa fixa em contato com o fluido. (d) A força que deve ser vencida
para puxar a placa superior com área de 0,5m^2. R: (a) 2000 s-1^ (b) 16,6 N/m^2 (c) 16,6 N/m^2 (d) 8,3 N
[2] um canal é formado por duas placas paralelas separadas h=6mm tendo entre elas glicerina a 20^0 C com massa específica é igual a 1260
kg/m^3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,5 Pa.s.
Determinar: (a) a tensão requerida para mover a placa superior com uma velocidade V=6,0m/s. (b) a força necessária para puxar a placa superior considerando esta com superfície igual a 1,0m^2.
R: (a) 1500 N/m^2 (b) 1500 N
[3] Uma placa deslocando-se sobre uma pequena lâmina de óleo sob a ação de uma força F, conforme a figura. O óleo tem
densidade 0,750 e viscosidade 3.10-3Pa.s. (a) Qual a tensão de cisalhamento produzida pelo fluido sobre a placa? (b) Qual a
velocidade da placa móvel? R: (a) 4,33 N/m^2 (b) 2,88 m/s
[4] A correia da Fig. move-se a uma velocidade constante V e desliza no topo de um tanque de óleo. A corria apresenta um
comprimento L e uma largura b. O óleo apresenta uma profundidade h. Considerando a distribuição linear do perfil de velocidade no
óleo, determine a potencia necessária para o acionamento da correia, considerando que esta a potencia é dada por W & = FV
onde F é a força tangencial na correia e V a velocidade da correia. Dados: L=2,0m h=3cm V=2,5m/s b=60cm. Fluido: óleo
ms
kg
.
μ 0 , 29 R: 72,5 W.
[ 5 ] O escoamento laminar entre duas placas paralelas fixas é dado por:
2
max
máxima no canal, e h a separação das placas. (a) Determinar o gradiente
de velocidades. (b) Determinar a expressão da tensão de cisalhamento. Considere a separação entre placas de 5mm, área superficial da placa
superior igual a 0,3m^2 e velocidade máxima umax=0,5 m/s Determine (c) A tensão de cisalhamento no centro do canal e na placa superior (d) A força
de atrito na placa inferior. R: (c) 0,46 N/m^2. (d) 0,138 N
Obs água massa especifica 1000 kg/m^3 e viscosidade dinâmica e 1,15x10-3^ Pa.s.
