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FABES – FACULDADE BETHENCOURT DA SILVA 4 O^ PERÍODO – ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE ESTATISTICA II – PROF. SAVIO NASCIMENTO ANÁLISE COMBINATÓRIA PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Se um evento pode acontecer de qualquer um de n 1 modos e se, quando ele ocorrer, um outro evento pode realizar-se de qualquer de n 2 modos, então o número de maneiras segundo as quais ambos os eventos podem ocorrer numa determinada ordem será n 1. n 2 maneiras. FATORIAL DE n O fatorial de n, representado por n!, é dado por: n! = n. ( n - 1). ( n - 2). ... .3. 2. 1 e para 0! = 1 Exemplo: 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 ARRANJOS E PERMUTAÇÕES Dado um conjunto de n elementos, o número de disposições desses elementos tomados k de cada vez constitui o que chamamos arranjos de n elementos k a k , representado por A nk. Os arranjos distinguem-se entre si não só pelos elementos que os compõem, mas também pela ORDEM destes elementos. Pode-se mostrar que o número de arranjos de n elementos tomados k de cada vez é k A n = ( )!
n k n Exemplo: Quantos número distintos de 3 algarismos podemos formar com os dígitos 0,1,2 e 3? Solução: Como neste caso a ordem dos dígitos fornece números diferentes, temos um arranjo de 4 dígitos tomados 3 a 3, ou seja, 3 A 4 = (^) ( 4 3 )!
=24 números Quando k = n , isto é, quando os arranjos abrangem a totalidade dos elementos, temos o que se chama permutação de n elementos, cuja representação simbólica é Pn. Pn = n! Exemplo: Considere uma urna com 5 bolas numeradas de 1 a 5. De quantas maneiras diferentes podemos retirar, sem reposição, as 5 bolas. Solução: Aqui teremos uma seqüência de 5 bolas numeradas onde cada seqüência nos fornece um número diferente e o quantitativo de bolas selecionada é o quantitativo que se encontra na urna. Logo temos uma permutação de 5 bolas ou um arranjo de 5 bolas tomadas 4 a 4: P 5 = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 maneiras diferentes
FABES – FACULDADE BETHENCOURT DA SILVA 4 O^ PERÍODO – ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE ESTATISTICA II – PROF. SAVIO NASCIMENTO COMBINAÇÕES Quando necessitamos formar conjuntos de k elementos não importando a ordem dos elementos, não podemos utilizar a definição de arranjo onde a ordem é relevante. Temos então a definição de combinação de n elementos tomados k a k, cuja definição é: k C n = (^)
k n = !( )!
k n k n Exemplo: Considere o lançamento de 6 moedas. De quantas maneiras diferentes podemos obter 4 caras? Solução: Este experimento leva em consideração somente o total de caras e coroas, não importando a ordem com que os resultados aparecem. Assim, estamos no âmbito das combinações, ou seja, 4 C (^) 6 = (^)
=15 maneiras diferentes
PROBABILIDADE
EXPERIMENTO ALEATÓRIO, ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO
Um experimento aleatório é o processo de coleta de dados relativos a um mesmo fenômeno que, quando repetido, apresenta alguma variabilidade em seus resultados e atende às seguintes exigências: (a) Pode ser repetido quantas vezes for necessário; (b) Conhecemos previamente todas as possíveis respostas, mas não podemos predizer, com certeza, qual ocorrerá; (c) Obedece a regularidade estatística. Se considerarmos séries de repetições do fenômeno, poderemos observar que a freqüência relativa se mantém muito próxima de um valor constante. Exemplo: Lance uma moeda honesta (chance de sair cara = chance de sair coroa) 100 vezes. Repita este experimento 10 vezes. Para cada uma das 10 séries de 100 lançamentos, conte o número de caras observados. (experimento aleatório) Um experimento é dito determinístico quando levanta uma única resposta. Sempre que um conjunto de condições se realiza temos uma determinada resposta. Exemplo: Tome 10 vasilhames com água, e aqueça-os a uma temperatura de 100o^ C, à pressão de 760 mm (experimento determinístico)
FABES – FACULDADE BETHENCOURT DA SILVA 4 O^ PERÍODO – ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE ESTATISTICA II – PROF. SAVIO NASCIMENTO A U A = EXEMPLO: Retornando ao exemplo anterior, temos A={sair par}. Logo A é
definido como não sair par. Ou seja, A ={sair ímpar}. Assim, A U A significa sair
par ou sair ímpar que corresponde ao espaço amostral
{sair par}={2,4,6} U {sair ímpar}={1,3,5} = = {1,2,3,4,5,6}
PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES
Se A, B e C são eventos associados a um espaço amostral , então as propriedades abaixo são válidas: Idempotentes: A U A = A e AA = A Comutativas: AB = BA e A U B = B U A Associativas: A(BC) = (AB)C e A U (B U C) = (A U B) U C Distributivas: A(BUC) = (AB) U (A C) e AU(BC)=(AUB)(A UC) Absorções: AU(AB) = A e A(AUB) = A Identidades: A = A , A U = , A= e A U = A Complementares: = , = , A A = e A U A = Leis de Morgan: ( A B )= A U B e ( AUB ) = A B PROBABILIDADE – Definições Básicas Historicamente, temos três abordagens para definir probabilidade e para determinar os valores de probabilidade: O enfoque clássico, o da freqüência relativa e o subjetivo. 1.1) Enfoque clássico: Se existe a resultados possíveis favoráveis a ocorrência de um evento A e b resultados possíveis não favoráveis à ocorrência de A, e sendo todos os resultados igualmente prováveis e mutuamente exclusivos, então a probabilidade de A ocorrer é. Número total de casos Número de casos favoráveis a b a
( ) P(A) Exemplo 1. Em um baralho que contém 4 ases e 48 outras cartas, a probabilidade de se obter um ás em uma única retirada, ao acaso, de uma carta é.
FABES – FACULDADE BETHENCOURT DA SILVA 4 O^ PERÍODO – ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE ESTATISTICA II – PROF. SAVIO NASCIMENTO evento A = retirar um às P(A) = (^) ( 4 48 )
=^ ( 52 )
1.2) Enfoque da Freqüência Relativa: A probabilidade é determinada com base na proporção de vezes que ocorre um resultado favorável em um certo número de observações ou experimentos. Não existe suposição prévia de equiprobabilidades. Uma vez que a determinação dos valores da probabilidade está baseada na observação e na coleta de dados, este enfoque é também chamado de enfoque empírico. Exemplo: Antes de incluir a cobertura para certos tipos de problemas dentais em apólices de seguro-saúde, uma companhia de seguros deseja determinar a probabilidade de ocorrer tais problemas, para estabelecer, de acordo com ela, a taxa de seguro. Portanto, o estatístico responsável coleta dados para 10.000 adultos nas faixas apropriadas de idade e observa que 100 pessoas tiveram o problema dental em questão durante o ano passado. A probabilidade de ocorrência é, portanto: Evento A = adultos com a doença P(A) = (^10000)
= 0,01 ou 1% Tanto o enfoque clássico como o enfoque da freqüência relativa geram valores objetivos de probabilidade. 1.3) Enfoque Subjetivo: Pela abordagem subjetiva, a probabilidade de um evento é o grau de crença de um indivíduo de que o evento irá ocorrer, baseado em toda evidência a ele disponível.
- Expressão da Probabilidade O símbolo P é usado para designar a probabilidade de um evento. Então P(A) denota a probabilidade o evento A ocorrer em uma só observação ou experimento. O menor valor que um enunciado de probabilidade pode ter é 0 (evento impossível) e o maior valor é 1 (evento certo). P() = 1 e P() = 0 Então, em geral: 0 <= P(A) <= 1
FABES – FACULDADE BETHENCOURT DA SILVA 4 O^ PERÍODO – ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE ESTATISTICA II – PROF. SAVIO NASCIMENTO P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
- Eventos independentes, eventos dependentes e probabilidade condicional Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um evento não tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento. Uma outra definição para eventos independentes é que dois eventos A e B quaisquer são independentes se, e somente se, a probabilidade da interseção entre eles é o produto das probabilidades individuais: P(A B)= P(A). P(B) Exemplo: Os resultados associados com dois lançamentos sucessivos de uma moeda não viciada são considerados como eventos independentes, uma vez que o resultado do primeiro lançamento não tem efeito algum nas probabilidades respectivas de ocorrer uma cara ou uma coroa no segundo lançamento. Quando dois eventos são dependentes, o conceito de probabilidade condicional é empregado para indicar a probabilidade de ocorrência de um evento relacionado. A expressão P(B/A) indica a probabilidade de ocorrer o evento B , dado que tenha ocorrido o evento A. Note que “B/A” não é uma fração. P(B/A) = (^) P(A) P(BeA ) = (^) P(A) P(B A ) No caso da probabilidade condicional a ocorrência do evento relacionado A reduz o espaço amostral aos possíveis elementos de A. Exemplo: Jogar um dado observando o resultado da face superior e calcular a probabilidade de sair face 5, sabendo que o resultado obtido foi igual ou superior a quatro. Sabemos que o espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Temos os eventos: A = {sair face 5}={5} e B = {saiu face igual ou superior a quatro} = {4,5,6} Logo, podemos calcular pela definição: P(A/B) = (^) P(B)
P(A B )
= (^) P({4,5,6})
P({5} )
= 63 6 1 = (^3) 1 ou Pela redução do espaço amostral, temos: Se ocorreu o evento B, o espaço amostral fica reduzido a = {4, 5, 6}. Assim: P(A/B)=P({5})= (^3) 1 Obs.: Não confundir independência de eventos com eventos mutuamente exclusivos. Eventos mutuamente exclusivos: dois eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo P(A B)= 0
FABES – FACULDADE BETHENCOURT DA SILVA 4 O^ PERÍODO – ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE ESTATISTICA II – PROF. SAVIO NASCIMENTO Eventos independentes: a probabilidade de ocorrência de um evento não interfere na ocorrência do outro P(A/B) = P(B) P(A B ) = P(B) ; pois P(AB) = P(A)P(B)
- Regras de multiplicação Se os eventos são independentes, temos: P(A e B) = P(AB) = P(A)P(B) Exemplo: Uma moeda não viciada é lançada duas vezes, a probabilidade de que ambos os resultados sejam “cara” é: Evento Ai= sair cara no i-ésimo lançamento i=1, S= sair cara nos 2 lançamentos P(S) = P(A 1 A 2 ) = (1/2)x(1/2) Se os eventos não são independentes, ou seja, se os eventos são dependentes, temos: P(A e B) = P(AB)=P(A)P(B/A) ou P(B e A) = P(BA)=P(B)P(A/B) Exemplo 1: Suponha que um conjunto de 10 peças contenha oito em boas condições(B) e duas defeituosas (D). O experimento consiste em retirar-se duas peças aleatoriamente e sem reposição. Segundo a regra para a multiplicação de eventos dependentes, a probabilidade de que as duas peças selecionadas sejam boas é: eventos A= as duas peças sejam boas Bi= a i-ésima peça retirada é boa ; i=1, P(A) = P(B 1 B 2 )= P(B 1 )P(B 2 /B 1 )= (8/10)(7/9)=56/90=28/ Exemplo 2: Verificar se os seguintes eventos são independentes: Em um baralho de 52 cartas A= tirar uma carta de espadas B= tirar um ás Calculando as probabilidades dos eventos temos: P(A) = 52
P(B) =
P(AB) =
Como P(AB) P(A). P(B), pois 52
- Tabelas de Probabilidade Conjunta Tabela de contingência para clientes da loja X IDADE SEXO TOTAL M F
FABES – FACULDADE BETHENCOURT DA SILVA 4 O^ PERÍODO – ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE ESTATISTICA II – PROF. SAVIO NASCIMENTO Exercícios: MATÉRIA: EXPERIMENTO ALEATÓRIO – ESPAÇO AMOSTRAL NÃO EQUIPROVAVEL
- EVENTOS Descreva o Espaço Amostral (S) e os Eventos com seus elementos (caso necessário) dos seguintes Experimentos Aleatórios: ESPAÇOS AMOSTRAIS EQUIPROVÁVEIS
- O experimento consiste em lançar dois dados. Determine o espaço amostral. Considere os seguintes eventos: X – {saem dois números iguais} , Y-{a soma dos dois números é menor que 5}, X Y.
- O experimento consiste em lançar três moedas. Determine o espaço amostral. Considere os seguintes eventos: A – {SAIR DUAS CARAS} , B – {NÃO SAIR COROAS}, C – {SAIR NO MÁXIMO 1 COROA} e A C.
- Num sorteio são selecionados aleatoriamente dois números, com reposição, de um conjunto de bolas numeradas que de vão de 1 até 5. Descreva o espaço amostral. ESPAÇOS AMOSTRAIS NÃO EQUIPROVÁVEIS
- Uma caixa contém 3 bolas azuis e 2 vermelhas, e outra caixa contém 2 bolas azuis e 3 vermelhas. O experimento consiste em extrair-se ao acaso uma bola de cada uma das caixas. Considere os eventos A1-{sair pelo menos uma bola azul} AB-{sair uma bola azul e uma bola vermelha}
- Num certo colégio 4% dos homens e 1% das mulheres tem mais do que 1,60m de altura. Além disso, 60% dos estudantes são mulheres. O experimento consiste em selecionar um estudante aleatoriamente. Considere o evento A-{não ser mulher}
- O experimento consiste em lançar uma moeda não viciada. Se aparecer cara, então seleciona-se aleatoriamente um número de 1 a 9; se aparecer coroa, seleciona-se aleatoriamente um número entre os de 1 a 5. Seja o evento A – {aparecer cara}
- Em uma joalheria, cada um de três armários idênticos tem duas gavetas. Em cada gaveta do primeiro armário há um relógio de ouro. Em cada gaveta do segundo armário há um relógio de prata. Em uma gaveta do terceiro armário há um relógio de ouro, enquanto que na outra gaveta há um relógio de prata. O experimento consiste em escolher ao acaso um armário, e aberta uma das gavetas (também aleatoriamente) e observar o que se encontra dentro da gaveta.
- Vinte peças, 12 das quais são defeituosas e 8 perfeitas, são inspecionadas por amostragem selecionando-se três peças aleatoriamente.
- O experimento consiste em lançar três moedas e observar a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos neste lançamento.
- O quadro abaixo representa a classificação por sexo e por estado civil, de um conjunto de 50 de deputados presentes em uma reunião. Estado Sexo total civil H^ M Casado 10 8 Solteiro 5 3 Desquitado 7 5 Divorciado 8 4 total
FABES – FACULDADE BETHENCOURT DA SILVA 4 O^ PERÍODO – ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE ESTATISTICA II – PROF. SAVIO NASCIMENTO Uma pessoa é sorteada ao acaso. Descreva o espaço amostral. MATÉRIA: PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - PROBABILIDADE DE EVENTOS PELA DEFINIÇÃO – INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS – EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM – COMBINAÇÃO - ARRANJO 11 - ) Deseja-se formar uma comissão de três pessoas de um grupo com 10 participantes. Quantas comissões diferentes podem ser formadas? 12 - ) Os cinco finalistas de um torneio de futebol são: Flamengo, Fluminense, Vasco, Botafogo e Olaria. De quantas maneiras distintas poderão ocorrer o primeiro, segundo e terceiro lugares neste torneio? (Não levar em consideração a possibilidade da ocorrência de empates). ESPAÇOS AMOSTRAIS EQUIPROVÁVEIS 13 - ) Um dado e uma moeda são lançados e observado as faces superiores.
- Descreva o espaço amostral do experimento. - Calcule a probabilidade de sair a face 5 no dado e cara na moeda. (a) Qual a probabilidade de num lançamento sair face 6 e a moeda sair cara? (b) Qual a probabilidade de sair face par no dado? 14 - ) O experimento consiste em lançar duas moedas. Calcule a probabilidade dos seguintes eventos: A – {SAIR DUAS CARAS} , B – {NÃO SAIR COROAS}, C – {SAIR NO MÁXIMO 1 COROA} e P(A C). ESPAÇOS AMOSTRAIS NÃO EQUIPROVÁVEIS 15 - ) Uma caixa contém 5 bolas azuis e 4 vermelhas, e outra caixa contém 3 bolas azuis e 6 vermelhas. O experimento consiste em extrair-se ao acaso uma bola de cada uma das caixas. Calcule a probabilidade dos eventos: A-{sair no máximo uma bola azul} B-{sair uma bola azul e uma bola vermelha}. 16 - ) O quadro abaixo representa a classificação por sexo e estado civil de um conjunto de cinquenta gerentes presente em uma reunião da companhia Azul em 2005. Quantidade de Gerentes por Sexo, segundo o estado civil – CIA AZUL - 2005 Nível de Sexo Gerência Homem Mulher Serviço 10 8 Divisão 8 5 Departamento 7 4 Executiva 5 3 Considere a seleção de um deputado ao acaso e calcule: a) A probabilidade do gerente ser do sexo masculino b) A probabilidade da gerente ser do sexo feminino c) A probabilidade da pessoa ser do sexo masculino ou casado
FABES – FACULDADE BETHENCOURT DA SILVA 4 O^ PERÍODO – ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE ESTATISTICA II – PROF. SAVIO NASCIMENTO b) Probabilidade desta pessoa ser homem e ter um tempo de compra igual ou superior a 30 min. 21 - ) O experimento consiste em lançar três moedas e observar a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos neste lançamento. Calcule a probabilidade da diferença ser igual a 3. EVENTOS INDEPENDENTES – EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS 22 - ) Dois eventos são independentes quando: ( ) A probabilidade da interseção é igual ao produto das probabilidades individuais ( ) A probabilidade da interseção é igual a zero ( ) A probabilidade da união é igual a zero ( ) A probabilidade da interseção é igual a um ( ) Quando ocorrem ambos simultaneamente 23 - ) Se P(A)=0,3, P(B)=0,5 e P(AB)=0,1, os eventos são independentes? 24 - ) Se P(AB)=0,8 e P(A)=0,5, determine P(B) sendo A e B independentes. 25 - ) Se P(AB)=0,8 e P(A)=0,6, e P(B)=0,5., os eventos A e B são independentes? 26 - ) Dado P(A) = 0,6 , P(B) = 0,3 e P(A B) = 0,18, responda, justificando: a. Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? b. Os eventos A e B são independentes? c. Calcule P(A U B) d. Calcule P(A B) 27 - ) A probabilidade de que um aluno A resolva um problema é P(A)=1/2, a de que outro aluno B resolva o problema é P(B)=1/3 e a de que um terceiro aluno C resolva é P(C)=1/4. Qual a probabilidade que: a) os três resolvam o problema? b) ao menos 1 resolva o problema? 28 - ) Em uma sala existem 4 homens e 6 mulheres. Uma mosca entra na sala e posa numa pessoa, ao acaso. a) Qual a probabilidade de que ela pouse em um homem (P(H))? b) Qual a probabilidade de que ela pouse em uma mulher (P(M))? c) Os eventos H e M são independentes? 29 - ) Seja o seguinte experimento: retirar 4 cartas de um baralho de 52 cartas. Determine a probabilidade de TODAS serem ases, se as cartas forem recolocadas (com reposição). 30 - ) Dois eventos são mutuamente exclusivos quando: ( ) A probabilidade da interseção é igual ao produto das probabilidades individuais ( ) A probabilidade da interseção é igual a zero ( ) A probabilidade da união é igual a zero ( ) A probabilidade da interseção é igual a um ( ) Quando ocorrem ambos simultaneamente 31 - ) O circuito abaixo apresenta 4 relés que podem estar ligado (L) ou desligado (D). Quando ele está ligado a corrente para de um ponto para o outro e quando desligado, ocorre o contrário. Considerando que os relés funcionem aleatoriamente e que o funcionamento de um relé não interfere no funcionamento de outro relé, responda:
FABES – FACULDADE BETHENCOURT DA SILVA 4 O^ PERÍODO – ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE ESTATISTICA II – PROF. SAVIO NASCIMENTO (A) Qual o espaço amostral do experimento? B) Calcule a probabilidade de que haja corrente entre os terminais L e R. 32 - ) Em uma urna existem 12 bolas das quais 7 são pretas e 5 brancas. Duas bolas são retiradas com reposição. Qual a probabilidade: (A) Sair duas bolas pretas (B) Sair duas bolas brancas (C) Sair uma bola preta e uma bola branca TEOREMA DE BAYES
- Um fazendeiro estima que, quando uma pessoa experimentada planta árvores, 90% sobrevivem, mas quando um novato as planta, apenas 50% sobrevivem. Se uma árvore plantada sobrevive, determine a probabilidade de ela ter sido plantada por um novato, sabendo-se que 2/3 das árvores são plantadas por novatos.
- Três máquinas fabricam moldes não-ferrosos. A máquina A produz 1% de defeituosos, a máquina B 2% ea máquina C 5%. Cada máquina é responsável por 1/ da produção total. Um inspetor examina um molde e constata que está perfeito. Calcule a probabilidade de ele ter sido produzido por cada uma das máquinas.
- A probabilidade de um indivíduo de Classe A comprar um carro é 3/4, de classe B é 1/6 e de classe C é 1/20. A probabilidade do indivíduo de classe A comprar um carro da V é 1/10, da classe B é 3/5 e da classe C é 3/10. Em certa loja comprou-se um carro da marca V. Qual a probabilidade de que um indivíduo da Classe B o tenha comprado?
- Num certo colégio 4% dos homens e 1% das mulheres tem mais do que 1,60m de altura. Além disso, 60% dos estudantes são mulheres. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,60m, qual é a probabilidade do estudante ser uma mulher? Excluído: ¶ ¶
