Exercícios do livro álgebra linear Boldrini, Exercícios de Álgebra

Baixe Exercícios do livro álgebra linear Boldrini e outras Exercícios em PDF para Álgebra, somente na Docsity! ÁLGEBRA LINEAR 2◦· Semestre de 2012 MA327C Profa. Sandra Augusta Santos sala IM111 Lista 4: Transformações Lineares1 1. Dadas as transformações lineares T , S e H em F(IR2, IR2), definidas por T (x, y) = (x, 2y), S(x, y) = (y, x+ y) e H(x, y) = (0, x), prove que T , S e H são LI’s. 2. Para cada uma das funções do exerćıcio anterior, determine o conjunto imagem de E, onde E é a base canônica do domı́nio IR2. Cada conjunto imagem obtido é uma base do contradomı́nio IR2? 3. Dadas T e S em F(IR2, IR2), definidas por T (x, y) = (x, x− y) e S(x, y) = (x+ y, 2x), determine as funções T + S, T ◦ S, S ◦ T , T 2 e S2, se existirem, justificando. 4. Considere as funções T : IR2 → R e S : IR → R, definidas por T (x, y) = x + 2y e S(x) = 2x. Determine, se posśıvel, S ◦ T e T ◦ S. A função T + S pode ser definida? Justifique. 5. Se T : IR2 → R2 é dada por T (x, y) = (x,−y) e K é o triângulo de vértices (−1, 4), (3, 1) e (2, 6) dê a imagem de K pela transformação T e represente graficamente. Qual é a interpretação geométrica de T? 6. Encontre a transformação linear T : IR2 → IR2 que representa a reflexão em relação à reta y = −x. 7. Encontre a expressão da projeção P : IR3 → IR3 de um elemento do espaço IR3 sobre o plano xy. Identifique o núcleo Nu(P ) e determine se P transforma base do domı́nio em base do contradomı́nio. 8. Uma transformação linear T : IR2 → IR3 pode levar uma base do domı́nio em uma base do contradomı́nio? E se T : IRm → IRn, como devem se relacionar as dimensões m e n para que T transforme uma base do domı́nio em uma base do contradomı́nio? Justifique. 9. Seja T : P3 → P2 definida por T (p(t)) = 2p′(t) + p(0)(t− 1). (a) Determine o conjunto Im(T ). (b) Dê a expressão de T (p(t)) quando p(t) = a+ bt+ ct2 + dt3 e determine o núcleo de T . 10. Em cada caso, dê exemplos, se posśıvel, e justifique, caso contrário, de transformações lineares: (a) T : IR3 → IR2 sobrejetora; (b) T : IR3 → IR2 com Nu(T ) = {(0, 0, 0)}; (c) T : IR3 → P3 sobrejetora; (d) T : IR2 → P1 com Nu(T ) = {(x, y) | x = y}; (e) T : IR3 → IR2 com (0, 0) 6∈ Im(T ); (f) T : P2 → IR3 com Im(T ) = {(x, y, z) | z + x = 0}; (g) T :M3×1 → P2 com Im(T ) = [1 + t, t+ t2]; (h) T : P2 → IR3 com dim(Nu(T )) = 1 e (0, 2, 1) ∈ Im(T ); (i) T :M2×2 → IR3 com Nu(T ) =conjunto das matrizes diagonais. 11. Determine um operador linear de M2×2 cuja imagem tenha dimensão 2. 1Exerćıcios compilados pelo professor Ary O. Chiacchio 12. Determine um operador linear de IR4 tal que o núcleo e a imagem tenham a mesma dimensão. 13. Determine um operador linear de P3 cujo núcleo tenha dimensão 1. 14. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n e seja T : V → V linear tal que Im(T ) = Nu(T ). Mostre que n é par. Dê exemplo de uma transformação linear com estas caracteŕısticas. 15. Seja T : V →W uma transformação linear com dimV > dimW . (a) Se {v1, . . . , vn} é uma base de V então os vetores T (v1), . . . , T (vn) são LI’s ou LD’s? Justifique. (b) Prove que existe um vetor não nulo v ∈ V tal que T (v) = 0, isto é, T não é injetora. 16. Seja T : V →W linear injetora. Mostre que T transforma conjuntos LI’s em conjuntos LI’s. Dê exemplo mostrando que este resultado não é verdadeiro sem a hipótese T injetora. 17. Sejam V e W com dimV = dimW e T : V →W linear injetora. Mostre que T transforma uma base de V em uma base de W . Dê contra-exemplos quando pelo menos uma das hipóteses não se verifica. 18. Dê a matriz do operador linear T deM2×2 definido por T (A) = KA, em relação à base canônica, sendo K = [ 1 1 2 1 ] . 19. Dar exemplos, em cada caso, de operadores lineares em IR2 tais que (a) T ◦ T = 0 mas T 6= 0; (b) T ◦ T = T mas T 6= 0 e T 6= Id. 20. Sejam S = {B ∈M2×2 | B é diagonal} e L : P2 → S a transformação linear cuja matriz relativa às respectivas bases canônicas é A = [ 1 3 −1 2 0 5 ] . (a) Ache L(1), L(t) e L(t2). (b) Determine L(a+ bt+ ct2). 21. Mostre que a transformação linear T : P2 → IR3 definida por T (p) = (p(0), p(1), p(−1)) é injetora e sobrejetora. Dê a matriz de T em relação às bases canônicas dos respectivos espaços. 22. Seja β = {u, v, w} uma base ordenada de um espaço vetorial V e sejam T e L operadores lineares dados por T (u) = u − v, T (v) = u + w, T (w) = v, L(u) = 2u + w, L(v) = u e L(w) = v − 3u. Determine as matrizes de cada um dos operadores T e L em relação à base β. 23. Sejam V um espaço vetorial real de dimensão finita n e uma transformação linear T : V → V com a seguinte condição: (?) T (T (v)) = 0 implica que T (v) = 0. Mostre que Im(T )∩Nu(T ) = {0}. Interpete e reescreva a condição (?) em termos dos núcleos de T 2 e de T . 24. Seja T o operador de IR2 definido por T (x, y) = (x− y, x+ 2y). Dê a expressão do operador L de IR2 cuja matriz em relação à base canônica é a transposta da matriz de T , isto é, [L] = AT , em que A = [T ] 25. Seja S o operador de P2 definido por S(p) = p′ + 3p. Determine a expressão do operador L de P2 cuja matriz em relação à base canônica é a transposta da matriz de S, isto é, [L] = AT , em que A = [S]. 26. Sejam L um operador linear em V e v ∈ V com v 6= 0. Considere o subespaço vetorial W de V gerado por v, L(v),L2(v), L3(v), . . . Determine o subespaço W em cada caso: (a) V = IR3, L definido por L(x, y, z) = (x, 0, 0) e v = (1, 0, 1). (b) V = P3, L definido por L(p) = p′′ (segunda derivada) e v = t3. (c) V =M2×2, L definido por L(A) = AT e v = [ 0 1 −1 0 ] .