Questões do capítulo 2 do livro do Boldrini, Exercícios de Matemática

Baixe Questões do capítulo 2 do livro do Boldrini e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity! 48 ÁLGEBRA LINEAR ou, na forma matricial x Px 2 1 t Observe que [- 5210] e [1- 10 1] são soluções do sistema ob- tidas da seguinte forma: a primeira, fazendo A = 1eM=0,€a segunda, M=0e A = 1. Elas são chamadas soluções básicas do sistema porque geram todas as outras. Todo sistema homogêneo tem solução que pode ser escrita desta forma. Basta reduzir o sistema, observar as variáveis livres e atribuir valores 1 para uma delas e zero para as outras, obtendo as soluções básicas (tantas quanto o grau de liberdade). A solução será uma soma destas soluções multiplicadas por constantes. Exemplo 2: Resolver o sistema xt3p+ z2=0 x +6y+22=0 -x-3y- 2=0 A matriz associada é 1.3 1 0 2 6 20 13 10 que reduzida torna-se [1 3 1 0 o 000 oo oo Reinterpretando, vemos que y e z são variáveis livres. Fazendo y = M ez = da, temos x=-3M-h v=M z=hM " As soluções básicas são então: x = -3,) = 1,2 = Oex=-1,)=0,7=1. Assim x -3 - yl=mnji th] z 0 1 Exemplo 3: Resolver o sistema x++tztt x+3p-2+2 na om Sistemas de Equações Lineares 49 A matriz associada é [ 3a 0 À 5-1 5) Reinterpretand ão li 0;1 a 1 a!" einterpretando, vemos que z e t são livres. Li Fazendo z = A e 1 = A, obtemos x=-5SM+th+3 y=M-h+2 z=hM t=h x -5 1 3 vo 2 -1 2 oulij-Misithlollo t 0 1 0 Compare com o exemplo 1. O que você nota? 2.6 EXERCICIOS . Resolva O sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas. " saco 2 - y+3 4x -3y+2z x+ y+ 2 3 + y+tz 2. Descreva todas as possíveis matrizes 2 X 2, que estão na forma escada redu- zida por linhas. 3. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas. gli 23 4 go 22 2123 1 13 3 123 3 42 231 bjo 1 3 72 21-43 23 2 4 50 ÁLGEBRA LINEAR 4. Calcule o posto e a nulidade das matrizes da questão 3. 1 3 0 5. Dado o sistema 3x +5y 2x +2 5x+ y-z " escreva a matriz ampliada, associada ao sistema e reduza-a à forma escada reduzida por linhas, para resolver O sistema original. 6. Determine k, para que o sistema admita solução. -dx+3p=2 5x - 4y=0 XX - y=k a - Encontre todas as soluções do sistema 14 -2 -1 x, + 3% + 2x3 + 3xg - Tx 2 t 6x + x3- 2x + Sxs x, + 3x - x3 + 2x5 » Explique por que a nulidade de uma matriz nunca é negativa. o + Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1 g) determinou-se que: à) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C. ii) O alimento II tem 2, 3 e 5 unidades respectivamente. das vitaminas A, B ec. iii) O alimento HI tem 3 unidades de vitaminas A, 3 unidades de vitamina C e não contém vitamina B. Se são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vita- mina C, a) Encontre todas as possíveis quantidades dos alimentos 1, II e II, que for- necem a quantidade de vitaminas desejada, b) Se o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10, existe uma solução custando exatamente Cr$ 1,00? Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Sistemas de Equações Lineares 51 10.x, +2x -Xx3+3x=1 U(x+ y+ z2=4 2x +5y-22=3 12. | xt y+t 2=4 2x +5Syp-2=3 x+7p-T=5 13.) x-2)+372=0 2x+5y+62=0 14. [mm +xm tax tx= O Mtxm txs-x,= 4 +x,- x) txg=-4 X-Mtxtx= 2 15. | x+2y+32=0 2x + y+372=0 Breve 2=0 16. [3x +2y- 42 = 1 » ' “e + n vo 17. O método de Gauss para resolução de sistemas é um dos mais adotados quando se faz uso do computador, devido ao menor número de operações que envolve. Ele consiste em se reduzir a matriz ampliada do sistema por linha-equivalência a uma matriz que só é diferente da linha reduzida à forma escada na condição b) de 2.4.1, que passa a ser: b') Cada coluna que con- tém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem todos os elementos abaixo desta linha iguais a zero. As outras condições a, c e d são idênticas. Uma vez reduzida a matriz ampliada a esta forma, a solução final do siste- ma é obtida por substituição. Exemplo: w + M= x, - 3X n a