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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA
Modelagem matemática em problemas de Engenharia
Exercícios - Unidade 01
Prof.: Carlos Estêvão R. Fernandes Disciplina: Probabilidade e Estatística para EEMA (CT007)
- Associe os conceitos apresentados nos retângulos às características ou de nições listadas abaixo (cada retângulo tem apenas uma de nição):
Modelo Probabilístico Modelo Determinístico Modelo Empírico Modelo Mecanicista
Baseado na experimentação (conhecimentos práticos) Resultados incertos quanti cados pela chance de ocorrência Baseado em leis físicas (conhecimento cientí co) Resultados rigorosos e exatos
- Leia o texto abaixo e responda ao que se pede: Num estudo sobre a pressão em sistemas de refrigeração, engenheiros se basearam na Lei Geral dos Gases Perfeitos para deduzir que, uma vez conhecida a temperatura T , a pressão P seria dada por: P =
nRT V
onde R é a constante universal dos gases perfeitos, V é o volume do sistema de refrigeração e n é o número de mols de gás introduzidos no sistema. Após alguns testes, os engenheiros perceberam que as pressões medidas na prática não coincidiam muito bem com o modelo acima, então realizaram experimentos em diversas circunstâncias e coletaram dados que os levaram à seguinte equação: P = nRT V − nb
a n^2 V 2
onde a e b são constantes Reais conhecidas. Os resultados obtidos com o modelo acima se aproximam muito mais dos valores medidos, mas ainda não coincidem perfeitamente com o valor e P dado pelo modelo (2). Os engenheiros voltaram a utilizar os dados coletados nos experimentos para deduzir que o erro entre o valor medido e o valor teórico obtido pela equação (2) varia aleatoriamente (para mais ou para menos) de acordo com o grá co
abaixo:
68,27% 95,45% 99,73%
-15 -10 -5 0 5 10 15 Unidade :^ k Pa
onde os valores do eixo horizontal correspondem aos erros observados (dados em kPa).
(a) Classi que os modelos citados no texto como Determinístico (D), Probabilístico (P), Mecanicista (M) ou Empírico (E). Mais de uma classi cação se aplica para cada modelo. Equação da pressão (1)
Equação da pressão (2)
Grá co do erro (3)
(b) Em relação à coleta de dados realizada neste estudo, associe a coluna da esquerda com a da direita:
( ) Estudo observacional longitudinal ( ) Experimento planejado ( ) Estudo observacional transversal ( ) Estudo observacional retrospec- tivo
(A) Após uma hora de funcionamento, os engenheiros me- dem a pressão em diversas réplicas do sistema, an- otando também a temperatura do gás naquele in- stante. (B) Os engenheiros se basearam em dados de pressão e temperatura registrados ao longo do último ano pelos inspetores de qualidade da fábrica. (C) Os engenheiros xaram alguns níveis especí cos de temperatura e deixaram algumas réplicas do sis- tema funcionando até atingir a temperatura desejada. Neste instante, a pressão era medida e a média da pressão das diferentes réplicas foi anotada para cada valor de temperatura utilizado. (D) Durante um período de 24h, os engenheiros medem a pressão em uma réplica do sistema a cada uma hora de funcionamento, anotando também a temperatura do gás naqueles instantes.
- A m de realizar estudo sobre doença que afeta os cascos de bovinos no Ceará, a Secretaria de Desenvolvimento Agrário do Estado investiga o número de cascos afetados pela doença em cada animal. Ao analisar as condições dos cascos, os técnicos registram o número de cascos afetados pela doença por animal.
(a) Com base nos dados obtidos, os técnicos concluem que o número X de cascos afetados por animal segue o seguinte modelo: p(k) = 151 (k + 1), com k ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }, onde p(k) é a probabilidade do número X ser igual a k. Sobre este modelo, pode-se dizer que é um:
(a) Ao realizar a pesquisa desta forma, os técnicos estão realizando um estudo (ou experimento) de que tipo? (marque as alternativas corretas)
( ) observacional ( ) transversal ( ) planejado ( ) longitudinal
(b) Os técnicos concluem que o número X de cascos afetados por animal segue o seguinte modelo: p(xi) = 2C(xi + 1), com xi ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }, onde C é uma constante e p(xi) = P (X = xi). Sobre este modelo, pode-se dizer que é um modelo: (marque as alternativas corretas): ( ) determinista ( ) mecanicista ( ) probabilístico ( ) empírico
