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Geometria (10.o^ ano)
Circunferˆencias, c´ırculos, superf´ıcies esf´ericas e esferas
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, um trap´ezio [P QRS], de bases [P Q] e [RS], em que o lado [P S] ´e perpendicular `as bases.
Tem-se P (1, − 1 ,2), Q(− 2 , 1 ,1) e R(− 5 , 5 , − 3)
P Q
R
S
x
y
z
O
Qual das condi¸c˜oes seguintes define a superf´ıcie esf´erica de centro no ponto R e que passa no ponto Q?
(A) (x − 5)^2 + (y + 5)^2 + (z − 3)^2 = 59 (B) (x − 5)^2 + (y + 5)^2 + (z − 3)^2 = 41
(C) (x + 5)^2 + (y − 5)^2 + (z + 3)^2 = 41 (D) (x + 5)^2 + (y − 5)^2 + (z + 3)^2 = 59 Exame – 2021, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [ABCDEF GH] (o ponto H n˜ao est´a representado na figura).
Sabe-se que:
- o ponto A tem coordenadas (7, 1 ,4)
- o ponto G tem coordenadas (5, 3 ,6)
Resolva o item seguinte sem recorrer `a calculadora.
Determine a equa¸c˜ao reduzida da superf´ıcie esf´erica que passa nos oito v´ertices do cubo. x
O y
z
A
G
F
C
B
E
D
Exame – 2020, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, o prisma quadrangular regular [OP QRST U V ]
Sabe-se que:
- a face [OP QR] est´a contida no plano xOy
- o v´ertice Q pertence ao eixo Oy e o v´ertice T pertence ao eixo Oz
- o plano ST U tem equa¸c˜ao z = 3 Seja T ′^ o sim´etrico do ponto T , relativamente `a origem do referencial.
Escreva uma equa¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica de diˆametro [T T ′] x
O y
z
V
U
Q
S
T
P
R
Exame – 2017, 1.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o.n. Oxyz, uma pirˆamide quadrangular regular ABCDV
Sabe-se que:
- a base [ABCD] da pirˆamide ´e paralela ao plano xOy
- o ponto A tem coordenadas (− 1 , 1 ,1)
- o ponto C tem coordenadas (− 3 , 3 ,1)
Escreva uma condi¸c˜ao que defina a superf´ıcie esf´erica de centro no ponto A e que ´e tangente ao plano xOy
x
O y
z
V
C
B
D
A
Exame – 2016, 1.a^ Fase
- Na figura ao lado, est˜ao representados, num referencial o.n. Oxyz, um prisma quadrangular regular e uma pirˆamide.
A base da pirˆamide, [OP QR], est´a contida no plano xOy e coincide com a base inferior do prisma.
O ponto W , v´ertice da pirˆamide, coincide com o centro da base superior, [ST U V ], do prisma.
O ponto P tem coordenadas (5, 0 ,0).
Defina, por uma condi¸c˜ao, a superf´ıcie esf´erica de centro no ponto Q e que passa no ponto O
x
y
z
O
T
S
Q
V
P
U
R
W
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 05.05.
- Considere, num referencial o.n. xOy, a circunferˆencia de equa¸c˜ao (x − 1)^2 + (y − 3)^2 = 16
Qual das equa¸c˜oes seguintes define uma recta tangente a esta circunferˆencia?
(A) x = − 3 (B) x = 1 (C) y = − 4 (D) y = 1
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 29.01.
- Na figura ao lado, est˜ao representados, num referencial o.n. Oxyz, a pirˆamide quadrangular regular [V OP QR] e o prisma quadrangular regular [ABCDEF GH]
Sabe-se que:
- os v´ertices P e R da pirˆamide pertencem aos eixos co- ordenados Ox e Oy, respetivamente;
- uma das bases do prisma est´a contida na base da pirˆamide e cada v´ertice da outra base pertence a uma aresta da pirˆamide.
Sabe-se que x^2 + y^2 + z^2 − 2 x − 2 y − 8 z = 0 ´e uma equa¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica que tem centro no ponto V e que cont´em os quatro v´ertices da base da pirˆamide [V OP QR]
Calcule o volume da pirˆamide [V OP QR]
y
x
O
z
R
P Q
V
E F
B
H
A
D C
G
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 29.01.
- Num referencial o.n. Oxyz, a condi¸c˜ao x^2 + y^2 + (z − 2)^2 ≤ 4 define uma esfera. Qual das equa¸c˜oes seguintes define um plano que divide essa esfera em dois s´olidos com o mesmo volume?
(A) x = 0 (B) x = 1 (C) x = 2 (D) x = 3 Teste Interm´edio 10.o^ ano – 28.01.
- Considere, num referencial o. n. Oxyz, a superf´ıcie esf´erica de equa¸c˜ao x^2 + y^2 + (z − 2)^2 = 4
A intersec¸c˜ao desta superf´ıcie com o plano xOy ´e
(A) o conjunto vazio (B) um ponto (C) uma circunferˆencia (D) um c´ırculo Teste Interm´edio 11.o^ ano – 29.01.
- Na figura est´a representado, em referencial o.n. Oxyz, um s´olido que pode ser decomposto num cubo e numa pirˆamide quadrangular regular.
A origem do referencial ´e um dos v´ertices do cubo, o v´ertice P pertence ao eixo Ox e o v´ertice R pertence ao eixo Oy.
Os v´ertices da base da pirˆamide s˜ao os pontos m´edios dos lados do quadrado [OP QR].
O ponto Q tem coordenadas (2, 2 ,0).
O volume do s´olido ´e igual a 10
Determine uma equa¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica que tem cen- tro no ponto T e que cont´em o ponto C.
y
x
O
z
Q
A
B
P
R
E
V
T
S
U
C
D
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 28.01.
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, as superf´ıcies esf´ericas definidas pelas equa¸c˜oes
x^2 + (y − 2)^2 + z^2 = 2 e x^2 + (y − 3)^2 + z^2 = 2
A intersec¸c˜ao destas superf´ıcies esf´ericas ´e ...
(A) um ponto. (B) uma circunferˆencia.
(C) o conjunto vazio. (D) um segmento de reta.
Exame – 2001, Prova de reserva (c´od. 135)
- Num referencial o.n. Oxyz, considere os planos definidos pelas equa¸c˜oes z = 1 e z = 5
Qual das equa¸c˜oes seguintes define uma superf´ıcie esf´erica tangente aos dois planos?
(A) x^2 + y^2 + (z − 3)^2 = 25 (B) x^2 + y^2 + (z − 4)^2 = 25
(C) x^2 + y^2 + (z − 3)^2 = 4 (D) x^2 + y^2 + (z − 4)^2 = 4
Exame – 2001, Prova Modelo (c´od. 135) Exame – 2000, 2.a^ Fase (c´od. 135)
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superf´ıcie esf´erica S, de equa¸c˜ao (x − 2)^2 + (y − 2)^2 + (z − 2)^2 = 2
Qual das equa¸c˜oes seguintes define um plano cuja intersec¸c˜ao com a superf´ıcie esf´erica n˜ao ´e vazia?
(A) x = − 1 (B) x = 0 (C) x = 3 (D) x = 4 Exame – 2000, Prova 2 para Militares (c´od. 135) Exame – 2000, Prova de reserva (c´od. 135)
- Num referencial o. n. Oxyz, qual das seguintes equa¸c˜oes define uma superf´ıcie esf´erica tangente ao plano yOz?
(A) (x − 2)^2 + y^2 + z^2 = 1 (B) (x − 2)^2 + y^2 + z^2 = 2
(C) (x − 2)^2 + y^2 + z^2 = 4 (D) (x − 2)^2 + y^2 + z^2 = 9
Exame – 2000, Epoca Especial (setembro) (c´´ od. 135) Exame – 1999, Prova de reserva (c´od. 135) (adaptado)
- Na figura ao lado est´a representado um poliedro num referencial o.n. Oxyz
Sabe-se que:
- o v´ertice O do poliedro ´e a origem do referencial;
- o v´ertice E do poliedro tem coordenadas (2, 2 ,2);
- a altura de cada uma das pirˆamides ´e igual ao comprimento da aresta do cubo. Justifique que o ponto F n˜ao pertence `a superf´ıcie esf´erica de diˆametro [P Q] x
O y
z
Q
D
F
P
A B
C
E
G
Exame – 2000, 1.a^ fase - 1.a^ chamada (c´od. 135)
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, as superf´ıcies esf´ericas de equa¸c˜oes
x^2 + y^2 + (z − 10)^2 = 9 e x^2 + y^2 + (z − 4)^2 = 9
A intersec¸c˜ao das duas superf´ıcies esf´ericas ´e
(A) um ponto. (B) uma circunferˆencia.
(C) uma superf´ıcie esf´erica. (D) o conjunto vazio. Exame – 1999, Prova para Militares (c´od. 135)
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, a esfera ε definida pela condi¸c˜ao
x^2 + (y − 7)^2 + z^2 ≤ 9
Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e verdadeira?
(A) Na esfera ε existem pontos do eixo Ox (B) Na esfera ε existem pontos do eixo Oy
(C) O ponto (7, 7 ,0) pertence a esfera ε (D) O ponto (0, 0 ,7) pertencea esfera ε
Exame – 1999, ´Epoca Especial (c´od. 135)
- Na figura seguinte est˜ao representados trˆes pontos, em referencial o.n. Oxyz
Sabe-se que:
- o ponto A tem coordenadas (0, 5 ,2)
- o ponto B pertence ao plano xOz
- o ponto C pertence ao plano xOy
- a reta BC tem equa¸c˜ao vetorial (x,y,z) = (5, 4 , − 1) + k(1, 2 , − 1), k ∈ R (^) x
y
O
z
A
B
C
Considere a superf´ıcie esf´erica de centro em A, cuja intersec¸c˜ao com o plano xOy ´e uma circunferˆencia de raio 3 Determine uma equa¸c˜ao dessa superf´ıcie esf´erica.
Exame – 1999, 2.a^ fase (c´od. 135)
- Na figura ao lado est´a representado um cubo, em referencial o.n. Oxyz
Sabe-se que:
- a face [OP QR] est´a contida no plano xOy
- a face [OSV R] est´a contida no plano xOz
- a face [OST P ] est´a contida no plano yOz
- o volume do cubo ´e 27 Determine uma equa¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica tal que:
- o centro ´e o sim´etrico do ponto U , em rela¸c˜ao ao plano xOy
- o ponto Q pertence a essa superf´ıcie esf´erica (^) x
y
O
z
Q
S T
U
R
P
V
Exame – 1999, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 135)
- Na figura abaixo est´a representada, em referencial o.n. Oxyz, uma caixa cil´ındrica constru´ıda num material de espessura desprez´avel. A caixa cont´em duas bolas encostadas uma
a outra eas bases da caixa cil´ındrica. - O cilindro tem uma das bases no plano xOz
- O centro dessa base ´e o ponto de coordenadas (3, 0 ,3)
- A outra base est´a contida no plano de equa¸c˜ao y = 12
- As bolas s˜ao esferas de raio igual a 3
- Os diˆametros das esferas e das bases do cilindro s˜ao iguais x
y
z
Justifique que a superf´ıcie esf´erica correspondente `a bola mais afastada do plano tem centro no ponto (3, 9 ,3) e que o ponto (1, 8 ,1) pertence a essa superf´ıcie esf´erica. Exame – 1998, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 135)
- Na figura ao lado est´a representado um cubo, em referencial o.n. Oxyz
O v´ertice O coincide com a origem do referencial.
O v´ertice R pertence ao semieixo positivo Ox O v´ertice P pertence ao semieixo positivo Oy O v´ertice S pertence ao semieixo positivo Oz
A abcissa do ponto R ´e 2
Mostre que o raio da superf´ıcie esf´erica que cont´em os oito v´ertices do cubo ´e
3 e determine uma equa¸c˜ao dessa superf´ıcie esf´erica.
x
y
O
z
Q
S T
U
R
P
V
Exame – 1998, Prova Modelo (c´od. 135)
- Num referencial o.n. Oxyz uma esfera tem centro no ponto C(2, 3 ,4) e ´e tangente ao plano xOy Uma condi¸c˜ao que define a esfera ´e:
(A) x^2 + y^2 + z^2 ≤ 42 (B) (x − 2)^2 + (y − 3)^2 + (z − 4)^2 ≤ 22
(C) (x − 2)^2 + (y − 3)^2 + (z − 4)^2 ≤ 32 (D) (x − 2)^2 + (y − 3)^2 + (z − 4)^2 ≤ 42
Exame – 1997, Prova para militares (c´od. 135)
- Num referencial o.n. Oxyz, a intersec¸c˜ao das superf´ıcies esf´ericas definidas pelas equa¸c˜oes
x^2 + y^2 + z^2 = 4 e x^2 + y^2 + z^2 = 9 ´e
(A) um ponto. (B) uma superf´ıcie esf´erica.
(C) uma circunferˆencia. (D) o conjunto vazio.
Exame – 1997, 2.a^ fase (c´od. 135)
