Baixe Exercicios integrais - Exercícios - Matemática Parte1 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Integrais
Resolução dos Exercícios Propostos
Exercício 1: Encontre a integral indefinida das seguintes funções:
a)
5
f x ( ) = 7 x^2 + 4 ; b)
5
3
t g t t t
−
= − + ; c)
3 5 h u ( ) u ( 2 u u )
− = − + ;
d) 5
x f x x
= e)
− = − +
2 2 h v ( ) ( 2 v ) f) = 4
g s ( ) s
Solução:
a)
( )
5 2 (^) ( 7 2) 7 x + 4 dx = 2 x + 4 x + C
;
b)
5 6 4 2 3
t t dt t t t C t
−
−^ +^ =^ −^ +^ +
;
c)
u u u du u u du u C u
− − − + = − + = − − +
;
d)
4 5 3 4 5
x dx x x dx x x C x
;
e)
2 2 2 4 3
v dv v v dv v C v v
− − − − + = − + = + − +
;
f) 4 3
ds C s s
∫ = −^ +.
Exercício 2: Encontre a integral indefinida das seguintes funções:
a) 2
3cos ( ) 7sen
x f x x
= ; b)
2 2 cos tg ( ) cos
t t g t t
= ; c)
2 2
2 2
sen cos ( ) 7cos 7cos
x x f x x x
Solução:
a) 2
3cos (^3) cotg cossec 7sen 7
x dx x x dx x
, mas pela tabela de derivação dada no final do
Fundamentum nº 27, obtém-se que:
cossec cossec cotg
d x x x dx
Assim, 2
3cos 3 cossec 7sen^7
x dx x C x
∫ = −^ +.
b)
2
2 2
2 cos tg sen sen 2 cos 2 cos cos (^) cos cos
t t t t dt t dt t dt dt t (^) t t
+ ^
= 2sen t + tg t cotg t dt
, mas
novamente pela tabela de derivação dada no final do Fundamentum nº 27, obtém-se que:
sec sec tg
d x x x dx
assim,
2 2 cos tg 2sen sec. cos
t t dt t t C t
c)
2 2 2 2 2 2
sen cos 1 1 (1 tg ) sec 7cos 7cos^7
x x dx x dx x dx x x
, mas novamente pela tabela de derivação
dada no final do fundamentum nº 27, obtém-se que:
2 tg sec
d x x dx
assim,
2 2
2 2
sen cos (^1) tg. 7cos 7cos 7
x x dx x C x x
Exercício 3: Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
a) 2 2 − 3 xdx
; (^) b)
2 3 x 2 x − 4 dx
; c)^ 1
x dx
; d)
sen 2
x dx
e)
2 3 cos(3 t t ) dt
; f)
2 cos t dt
; (^) g)
2 sec ( x ) dx x
; h) 2
dx
Sugestão para resolver o item c: considere u = 1 + x.
Solução:
a) Fazemos u = 2 − 3 x , logo du = − 3 dx , e assim,
(^2) 1 2 4 3 2 4 3 2 2 2 3 (2 3 ) 3 9 9
− x dx = − u du = − u + C = − − x + C
.
b) Fazemos
2 u = x − 2 , logo du = 2 x dx , e assim,
∫^ x^ x^ −^ dx^ =^ ∫ u^ du^ =^ u^ +^ C =
2 3 2 2 ( x − 2) + C.
c) Fazemos, conforme sugestão u = 1 + x , logo du = dx , e assim,
1 2 1 2 1 2
x u u dx du du x (^) u u u
u du u du u u C x x C
−
d) Fazemos
u = x , logo
du = dx , e assim,
sen sen cos cos 2 3 3 3 2
x dx u du u C x C
=^ = −^ +^ = −^ +
e) Fazemos
2 u = 3 t , logo du = 6 t dt , e assim,
3 cos(3 ) cos sen sen 3 2 2 2
t t dt = u du = u + C = t + C
f) Fazemos
2 1 cos 2 cos 2
t t
= , e assim,
2 1 cos 2^1 cos cos 2 2 2 2
t t dt dt dt t dt
sen 2 2 4
t + t + C.
g) Fazemos u = x , logo
du dx x
= , e assim,
2 sec ( ) (^2) 2sec 2 tg 2tg( )
x dx u du u C x C x
h) Fazemos u = 3 x , logo du = 3 dx , e assim,
Exercício 5 (resolução com o uso de calculadora ou microcomputador): Escreva a soma de Riemann das
seguintes funções nos intervalos indicados, usando a quantidade n de subintervalos na partição considerada. A
seguir utilize uma calculadora ou software para calcular o valor numérico da soma.
a)
2 f x ( ) = − x − 1 , [2,5], n = 7 , n = 14 , n = 100 , n = 1000 ;
b) f ( x ) = sen x , [0, π ], n = 6 , n = 10 , n = 100 , n = 1000 ;
c) f ( x ) = cos x , [0, π ], n = 6 , n = 10 , n = 100 , n = 1000 ;
d) f ( x ) = cos x − sen x , [0, π ], n = 6 , n = 10 , n = 100 , n = 1000.
Solução:
Exercício 6: Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais a seguir.
a) 0
cos x dx
π
; b) 0
(cos x sen x dx )
π −
; c)
(^0 )
1
( x +5) dx
.
d)
2
2
x sen x dx
π
; e)
(^1 2 )
0
x (2 x −1) dx
.
Solução:
a) (^0 )
cos x dx = sen x = sen − sen 0 = 0
π π π.
b) (^0 )
(cos x − sen x dx ) = sen x + cos x = sen + cos − sen 0 − cos0 = − 2
π π π π.
c)
0 (^0 3 )
1 1
x + dx = x + x = − − = −
.
d) No item d do exercício 4, vimos que x sen x dx = sen x − x cos x + C
, assim,
2 2
(^2 )
sen sen cos sen 2 2 cos 2 sen 2 cos 2 (1 2 ) 2
x x dx x x x
π^ π
π π
π
∫ =^ −^ =^ π^ −^ π^ π^ −^ π +^ π = −^ + π.
e) Fazendo
2 u = 2 x − 1 , segue que: se x = 0, u = − 1 , se x = 1, u = 1 e du = 4 x dx e, assim,
1 (^1 2 9 19 )
0 1 1
x x dx u du u − −
Exercício 7: Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de
duas maneiras, com integrações na variável x e com integrações na variável y. Escolha uma das
maneiras e calcule a área.
a) y = 0 ,^ y^ =^ x e^ y^ =^ − x^ +^5.
b) x + y = 3 ,
y = x e y = 2 x.
c)
2 y = x + 1 , y = x − 2 , x = 0 e x = 5.
Solução:
a)
P
x
y
y = 0
y = x y = − x + 5
Para se encontrar as coordenadas do ponto P devemos ter x = − x + 5 , ou seja
x = e assim,
y =.
Integração na variável x :
5 5 2 5 5 2 2 2
0 5 2 (^0) 5 2
( ) ( 5) 5 25 u.a. 2 2 8 2 8 2 4
A R x x dx x dx x x x
Integração na variável y :
5 2 5 2 5 2 2 (^0 0 )
( ) [(5 ) ] (5 2 ) 5 u.a. 2 4 4
A R y = ∫ − y − y dy = ∫ − y dy = y − y = − =
b)
y
x
P
Q
y = 3 − x
y = x
y = 2 x
Para se encontrar as coordenadas do ponto P devemos ter 2 x = 3 − x , ou seja x = 1 e assim, y = 2.
Para se encontrar as coordenadas do ponto Q devemos ter
x = − x , ou seja x = 2 e assim, y = 1.
Integração na variável x :
1 2 1 2 2 2
0 1 0 1
A R x = ∫ x − x dx + ∫ − x − x dx = x + x − x = u.a.
y
x
P
Q
S
R
2 y = x
3 y = x
x = 10
x = 2
O ponto P tem coordenada x = 10 e como
3 y = x , temos que y = 1000.
O ponto Q tem coordenada x = 10 e como
2 y = x , temos que y = 100.
O ponto (^) R tem coordenada (^) x = 2 e como
2 y = x , temos que y = 4.
O ponto S tem coordenada x = 2 e como
3 y = x , temos que y = 8.
Integração na variável x :
(^10 3 )
2
A R ( (^) x ) = ( x − x ) dx
Integração na variável y :
8 100 1000 3 3 4 8 100
A R ( y ) = ∫ ( y − 2) dy + ∫ ( y − y ) dy + ∫ (10 − y ) dy.
b)
y
x
P
Q
R
S
y = x
y = − x
y = − x − 2
y = x − 10
Para se encontrar as coordenadas do ponto P devemos ter x = x − 10 , ou seja
x
= e
assim,
y
Para se encontrar as coordenadas do ponto Q devemos ter − x − 2 = x − 10 , ou seja
x
e assim,
y
Para se encontrar as coordenadas do ponto R devemos ter − x − 2 = − x , ou seja x = 4 e assim,
y = − 4.
O ponto S é a origem.
Assim, temos
Integração na variável x :
4 (17 33 ) 2 ( 21 41 ) 2
0 4 (17 33 ) 2
A R ( (^) x ) ( x ( x )) dx ( x ( x 2)) dx ( x ( x 10)) dx
− +
−
4 (17 33 ) 2 ( 21 41 ) 2
0 4 (17 33 ) 2
( x x dx ) (2 x 2)) dx ( x x 10) dx
− +
−
Integração na variável y :
( )
4 2 0 (1 41 ) 2 2
3 33 2 4 0
A R ( (^) y ) ( y 10 ( y 2) ) dy ( y 10 y dy ) ( y 10 y ) dy
− +
− + −
( )
4 2 0 (1 41 ) 2 2
3 33 2 4 0
( y 3 y 6) dy (2 y 10 ) dy ( y y 10 ) dy
− +
− + −
Exercício 9: Encontre o domínio e as derivadas de primeira e de segunda ordem das seguintes funções:
a)
2 f ( x ) = ln(3 x − 4 x ); b) g x ( ) = ln x ;
c)
2 h x ( ) = ln x − 2 ; d) j x ( ) = sen(ln x ).
Solução:
a)
Dom f
.
2
x f x x x
e
2 2
2 2
x x x f x x x
.
b)
( ) ln ln 2
g x = x = x , assim, Dom g = (0, + ∞ ).
g x x
= e 2
g x x
c) Dom h = \ − −{ 2, 2 }.
2
x h x x
e
2 2
2 2 2 2
x x x x h x x x
.
d) Dom j = (0, + ∞ ).
e) Temos que:
2 21 15 2 ln y = ln (2 x − 3 x − 7) (5 x − 4) = 21ln 2 x − 3 x − 7 + 15 ln 5 x − 4. Derivando em
relação a x , segue que: 2
y x
y (^) x x x
e, assim,
2 21 15 2
x y x x x x x x
.
Exercício 12: Calcule as derivadas das seguintes funções.
a) ( ) sen( )
x f x = e ; b) ( ) 2
x x g x = e + e ;
c) ( ) ln(cotg )
x h x = e ; d)
2 ( ) sen(2 )
x x j x = e e.
Solução:
a) '( ) cos( )
x x f x = e e.
b)
x x
x
e g x e x (^) e
c) Como (^) ( ) ( )
cos ( ) ln( ) ln cos ln sen sen
x x x x
e h x e e e
= = − , temos:
sen cos '( ) (tg cotg ) cos sen
x x x x x x x x x
e e h x e e e e e e e
d)
2 2 2 '( ) 2 sen(2 ) cos(2 ) 2 2 [sen(2 ) cos(2 )]
x x x x x x x x x j x = e ⋅ ⋅ e + e e ⋅ e = e e + e e.
Exercício 13: Dadas as equações a seguir, encontre y 'derivando-as implicitamente em relação a x.
a)
2 2 7
xy x + xy + e = ; b) sen
x xy e y = e.
Solução:
a) 2 2 2 ' ( ') 0
xy x + y + xy + e y + xy = , logo, 2 ' ' ( 2 2 )
xy xy xy + xe y = − ye + x + y e, assim,
xy
xy
ye x y y x e
, quando x ≠ 0.
b) sen cos ' ( ' )
x x xy e y + e y ⋅ y = e xy + y , logo, '( cos ) sen
x xy xy x y e y − x e = y e − e y e, assim,
sen ' , quando cos 0 cos
xy x x xy x xy
y e e y y e y x e e y x e
Exercício 14: Calcular as seguintes integrais:
a)
5 x
∫ e^ dx ;^ b)^
2 (2 5 )
x
∫ x^ + e^ dx ;^ c)^2 sen(^ )
x x
∫ e^ e^ dx ;
d)
x x
x x
e e dx e e
−
−
∫ ;^ e)^
2 ln( x )
∫ e^ dx.
Solução:
a) Fazendo a substituição de variável
u x
du dx
^ =
, obtemos
x x u u x e dx = e dx = e du = e + C = e + C
.
b)
2 2 2 2
2 2 2 2
x x x
u u x
x e dx xdx e dx e dx
x e du x e C x e C
+ = + = x + =
c) Fazendo a substituição de variáveis
x
x
u e
du e dx
obtemos
2 sen( ) 2 sen( )( ) 2 sen 2 cos 2 cos( )
x x x x x
∫ e^ e^ dx^ =^ ∫ e^ e dx^ =^ ∫ udu^ = −^ u^ +^ C^ = −^ e^ + C
d)
x x
x x
e e dx e e
−
−
x x
x x
u e e
du e e dx
−
−
=^ −
ln| | ln| |
x x x x x x
e e dx du u C e e C e e u
− − −
.
Exercício 15: A magnitude R de um terremoto é medida em uma escala, chamada escala Richter, dada pela
fórmula
0
log
I
R
I
, onde I é a intensidade do terremoto e I (^) 0 é uma intensidade padrão mínima. Se um
terremoto atinge a magnitude de 6,1 na escala Richter, quantas vezes a intensidade do terremoto é maior que a
intensidade padrão?
Solução: Temos
0
log
I
R
I
= e, assim,
0
log 6,1 6, 0 0 0
6,1 log 10 10 10
I I (^) I I I I I I
Portanto, a intensidade do terremoto é de
6, 10 ≈ 1.258.925vezes maior que a intensidade padrão.
Exercício 16: Uma contagem inicial numa cultura de bactérias revela a existência de 600.000 indivíduos.
Após 3 horas o número de indivíduos passa para 1.800.000. Sabendo-se que a taxa de crescimento dessa
espécie de bactérias é proporcional ao número de indivíduos presentes, determine uma expressão que
forneça o número de indivíduos a cada instante t e calcule o número de bactérias depois de 5 horas.
Solução: Temos
t = 0 horas →600.
t = 3 horas →1.800.
A taxa de crescimento é proporcional ao número de indivíduos presentes. ( )
kt η t = Me.
.
.3.
(3) 600.000 1.800.000 3 3 ln 3
k
k k
Me M M
e e k
η
η
Então,
1 1 ( ln 3) ( ln 3) ( ) 600.000 3 (5) 600.000 3 3.744.
t η t = e ⇒ η = e ≈.
Exercício 17: Se acondicionarmos 50 mg de um material radioativo numa caixa de chumbo e soubermos que
a meia vida desse material é de 200 anos, após quanto tempo haverá 5 mg do material dentro da caixa?
Solução: Temos 50 mg em t = 0 anos, média de vida = 200 anos e 5 mg em T anos. Assim,
2
2
2 2 2
2
sen 2 (sen tg ) 2sen cos tg 1 cos 2 2
sen 2sen 1 cos 2 cos
tg 2sen cos 1
tg
d x x x x x x x x dx
x x x x
x x x
x
b) Fazendo a substituição de variáveis
x
x
u e
du e dx
obtemos
ln| | ln|1 |
x I du u C e C u
c) Fazendo a substituição de variáveis
ln
u x
du dx x
^ =
obtemos
1 2 1 1 2 2 2 (^1 22 2) ln
ln^1 2
2 2 2
u u I dx u du C C u C x C x x
−
− = = = + = + = + = + −
.
d) Fazendo a substituição de variáveis
sen
cos
u x
du xdx
^ =
obtemos
sen 6 6
I = u du = u + C = x + C
.
e) Fazendo a substituição de variáveis
2 3 2
u x
du xdx
obtemos
3 5 3 1 5 5 5 2 2 3 2 1 2 1 1 1 2^2 1 2 3 2. (3 2 ) 4 4 3 4 5 4 5 10 10 1 2 2
u u I x x dx u du C C u C u C x C
f) Fazendo a substituição de variáveis
x
x
u e
du e dx
obtemos
3 1 3 1 1^4
x (^) x x I e dx u du u C e C
e
.
g) Fazendo a substituição de variáveis
ln
u x
du dx x
^ =
obtemos
sen(ln ) sen cos cos(ln )
x dx I udu u C x C x
h) Fazendo a substituição de variáveis
ln
u x
du dx x
^ =
obtemos
tg(ln ) tg ln|sec | ln|sec(ln )|
x I dx udu u C x C x
.
i) Fazendo a substituição de variáveis (^3)
2
ln
du dx u x (^) x
dv x v x
obtemos
3 3 3 1 2 2 2 2
3 3 3
2 2 2
ln ln ln 3 3 3 3
ln (ln ) 3 3 2 3 3
I x xdx uv vdu x x x dx x x x dx x
x x x C x x C
j) Fazendo a substituição de variáveis
2
tg 1
u arc x (^) du dx x dv dx v x
=^ =
⇒^ +
obtemos
2
2
tg tg tg 1 2
1 1 tg ln| | tg ln|1 | 2 2
I arc xdx xarc x x dx xarc x dw x w
xarc x w C xarc x x C
k) Fazendo a substituição de variáveis (^1)
u x
dx du x
obtemos
x e u u x I dx e du e C e C x
l) Fazendo a substituição de variáveis
3
2
u x
du x dx
obtemos
3 3 2 1 1 12
6 6 6
x u^ u x I = x e dx = e du = + C = e + C = e + C
.
Exercício 19: Prove a fórmula 14 da Tabela de Integrais, isto é, calcule ∫ sec x dx. S ugestão: multiplique e
divida sec x por (sec x + tg x ).
Solução: Temos
2 sec (sec tg ) sec sec tg ) sec sec tg sec tg
x x x x x x x dx dx dx x x x x
. Fazendo a substituição de
variáveis 2 2
sec tg
(sec tg sec ) (sec sec tg )
u x x
du x x x dx x x x dx
^ =^ +
=^ +^ =^ +
obtemos
Portanto,
2
3 2 2 2 2
x x x x I dx dx dx dx dx dx x x x x x x x x x x x
.
Como 2 2
tg( ) 3 1 3 1 11 3 11/6 11
x dx dx arc C x x (^) x
e fazendo a mudança de variáveis
2 3 1
u x x
du x dx
=^ +
, lembrando que
2 2 2
x x
x x x x x x
,
obtemos
2 2 2
2
tg( ) 6 6 3 (^) 11/6 11/
ln| | tg( ) 6 3 11 11/
ln|3 1| tg( ). (^6 3 11) 11/
x x dx dx dx x x x x x x
x du arc C u
x u arc C
x x x arc C
d) Temos
3 2
3 2 3
x x x A B C D
x x x x x x
.
Logo,
3 2 3 3
3 2
x x x A x B x x C x x D x
A B x A B C x A B C D x A B C D
A
A B
A B C B
A B C D
C
A B C D
D
+^ =
− −^ +^ =^ =
− −^ +^ −^ =
Portanto,
3 2
3 2 3
2
2
ln| 1| ln| 3| 4 4 4 3 2 ( 3)
ln| 1| ln| 3|. 4 4 2( 3) (^) ( 3)
x x x I dx dx dx dx x x x x x x
x x x (^) x
x x x (^) x
