Baixe Cônicas - Exercícios - Matemática e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Instituto de Matem´atica - UFBA Disciplina: Geometria Anal´ıtica - Mat A 01 1 a^ Lista - Cˆonicas
- Em cada um dos seguintes itens, determine uma equa¸c˜ao da par´abola a partir dos elementos dados:
(a) foco F (3, 4) e diretriz d : x − 1 = 0; (b) foco F(-1, 1) e v´ertice V (0, 0); (c) v´ertice V (1, 2), eixo focal paralelo a OX e P (-1, 6) ´e um ponto de seu gr´afico; (d) eixo focal paralelo a OY e os pontos P( 0, 0), Q(1, -3) e R(-4, -8) pertencem a seu gr´afico; (e) eixo focal e.f.: y − 5 = 0, diretriz d : x − 3 = 0 e v´ertices sobre a reta r : y = 2x + 3; (f) v´ertice V (1, 1) e foco F( 0, 2); (g) eixo focal OY e o ponto L(2, 2) ´e uma das extremidades do latus rectum.
- Dadas as equa¸c˜oes das par´abolas:
(a) 4y^2 − 48 x − 20 y − 71 = 0 (b) y^2 − 2 xy + x^2 + 16x + 16y = 0, Determine para cada uma delas os seguintes itens: i. as coordenadas do v´ertice e do foco; ii. as equa¸c˜oes da diretriz e do eixo focal; iii. o comprimento do latus rectum.
- Uma par´abola P tem equa¸c˜ao y′^2 = − 8 x′ em rela¸c˜ao ao sistema x′ O′ y′ indicado na figura 1. Determine: (a) o esbo¸co gr´afico de P; (b) as coordenadas do foco e a equa¸c˜ao da diretriz de P em rela¸c˜ao ao sistema x′ O′ y′ ; (c) uma equa¸c˜ao de P, em rela¸c˜ao ao sistema xOy.
− 3 − 2 − 1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
− 1
bcbc
x
y
y′
x′
Figura 1
1
- Identifique o lugar geom´etrico de um ponto que se desloca de modo que a sua distˆancia ao ponto P(-2, 3) ´e igual
a sua distˆanciaa reta r : x + 6 = 0. Em seguida determine uma equa¸c˜ao deste lugar geom´etrico. - Determine o comprimento da corda focal da par´abola x^2 + 8y = 0 que ´e paralela `a reta r : 3x + 4 y − 7 = 0.
- Um cometa se desloca numa ´orbita parab´olica tendo o Sol como o foco. Quando o cometa est´a a 4.10^7 km do sol (figura 2), a reta que os une forma um ˆangulo de 60o^ com o eixo da ´orbita. Determine a menor distˆancia que o cometa se encontra do Sol.
x
y 60 o
S
C
Figura 2
- Em cada um dos seguintes itens, determine uma equa¸c˜ao da elipse, a partir dos elementos dados;
(a) focos F 1 (3, 8) e F 2 (3, 2), e comprimento do eixo maior igual a 10; (b) v´ertices V 1 (5, −1) e V 2 (−3, −1), e excentricidade e = 34 ; (c) Centro C(−1, −1), v´ertice V (5, −1) e excentricidade e = 23 ; (d) Centro C(1, 2), foco F (6, 2) e P (4, 6) ´e um ponto da elipse; (e) F (−4, −2) e F (−4, −6), e med(LR) = 6; (f) v´ertice V (3, −3) e extremos do eixo menor B 1 (2, 2) e B 2 (−2, −2); (g) o centro sobre a reta r : y = 2, foco F (3, 4), excentrencidade e = 2
√ 5 5 e os seus eixos s˜ao paralelos aos eixos coordenados.
- Dadas as equa¸c˜oes das elipses:
(a) x^2 + 4y^2 + 2x − 24 y + 33 = 0 (b) 17x^2 + 12xy + 8y^2 − 100 = 0, determine para cada uma os seguintes itens: i. as coordenadas dos v´ertices e focos; ii. a excentricidade e o comprimento do latus rectum;
- Escreva uma equa¸c˜ao da hip´erbole conjugada da hip´erbole de equa¸c˜ao x 92 − y 162 = 1. Determine, para cada curva, as coordenadas dos focos e as equa¸c˜oes das ass´ıntotas.
- Determine uma equa¸c˜ao da hip´erbole equil´atera de focos nos pontos F 1 (1, 6) e F 2 (1, −2).
- Determine uma equa¸c˜ao da elipse com excentricidade e = 13 e cujos focos coicidem com os v´ertices da hip´erbole H:16x^2 − 9 y^2 − 64 x − 18 y + 199 = 0.
- Determine uma equa¸c˜ao da par´abola cujo v´ertice coincide com o centro da hip´erbole H: 2x^2 − 7 y^2 − 4 x + 14y − 19 = 0, e sua diretriz coincide com o eixo focal da elipse E: (x− 4 1) 2 + (y + 2)^2 = 1.
- Determine uma equa¸c˜ao da elipse de excentricidade igual a √ 3 2 e com eixo maior coincidindo com o latus rectum da par´abola de equa¸c˜ao y^2 − 4 y − 8 x + 28 = 0.
- Determine e identifique uma equa¸c˜ao do lugar geom´etrico dos pontos do plano cujas abcissas e coordenadas s˜ao respectivamente iguais as abcissas e `as metades das ordenadas dos pontos da circunferˆencia de equa¸c˜ao x^2 + y^2 = 25.
- Considere os pontos A(−1, 0) e B(2, 0). Determine uma equa¸c˜ao do lugar geom´etrico dos pontos M do plano n˜ao pertencentes `a reta AB e tais que o ˆangulo B do triˆangulo AMB seja sempre o dobro do ˆangulo A do mesmo triˆangulo. Esboce a curva.
- Dois v´ertices de um triˆangulo s˜ao os pontos A(1, 0) e B(5, 0). Determine uma equa¸c˜ao do terceiro v´ertice C, se este se move de tal forma que a diferen¸ca entre os comprimentos AC e BC ´e sempre igual `a metade do comprimento do lado AB.
- Um matem´atico aceitou um cargo numa nova Universidade situada a 6 km da margem retil´ınea de um rio. O professor deseja construir uma casa que esteja a uma distˆancia
a Universidade igual a metade da distˆancia at´e a margem do rio. Os poss´ıveis locais satisfazendo esta condi¸c˜ao pertencem a uma curva. Defina esta curva e determine sua equa¸c˜ao em rela¸c˜ao a algum sistemaa sua escolha. - Um segmento AB de 12 unidades de comprimento(u.c), desloca-se de modo que A pecorre o eixo OX e B percorre o eixo OY. O ponto P(x, y) ´e interior ao segmento AB e fica situado a 8 u.c. de A. Estabele¸ca uma equa¸c˜ao do lugar geom´etrico descrito pelo ponto P.
RESPOSTAS
a) 4(x − 2) = (y − 4)^2 b)x^2 + 2xy + y^2 + 8x − 8 y = 0 c) −8(x − 1) = (y − 2)^2 d)−(y − 1) = (x + 1)^2 e) −8(x − 1) = (y − 5)^2 f)x^2 + 2xy + y^2 + 4x − 12 y + 4 = 0 g) 4(y − 1) = x^2
- (a) i)^ V^ (−2,^
(^52) ) ; F (1, 52 ) ii) diretriz: x = −5; eixo focal :2y − 5 = 0 iii) med(LR) = 12 (b) (^) i) V (0, 0) ; F (−2, −2) ii) diretriz: y = −x + 4; eixo focal :y = x
- b) (−2, 0); diretriz:^ x
c) P: 4x^2 − 4 xy + y^2 + (4 + 8√5)x + (16√ 5 − 2)y + (1 − 56 √5) = 0
- par´abola, (y − 3)^2 = 8(x + 4)
- (^252)
- 10^7 km
a) (x− 16 3) 2 + (y− 25 5) 2 = 1 b) (x− 16 1) 2 + (y+1) 7 2 = 1 c) (x+1) 36 2 + (y+1) 20 2 = 1 d) (x− 45 1) 2 + (y− 20 2) 2 = 1 e) (x+4) 12 2 + (y+4) 16 2 = 1 13 x^2 + 10xy + 13y^2 − 144 = 0 g) (x− 1 3) 2 + (y− 5 2) 2 = 1
- (a)
i) V 1 (1, 3); V 2 (−3, 3); F 1 (−1 + √3, 3); F 2 (− 1 − √3, 3) ii) e = √ 3 2 ; med(LR) = 1 iii) eixo focal: y = 3; eixo normal: x = − 1 iv) med(eixo maior) = 4u.c.; med(eixo menor) = 2 u.c.
(b)
i) V 1 (−2, 4); V 2 (2, −4); F 1 (−√3, 2√3); F 2 (√3, − 2 √3) ii) e = √ 3 2 ; med(LR) =
iii) eixo focal: y = − 2 x; eixo normal: y = x 2 iv) med(eixo maior) = 4√5u.c.; med(eixo menor) = 2√5 u.c.
- elipse, (x+1) 25 2 + (y− 9 1) 2 = 1
- 74 e (^254)
- (x− 16 3) 2 + (y 12 )^2 = 1
a) (x+4) 4 2 − (y− 5 3) 2 = 1 b) (x− 4 3) 2 − (y− 5 4) 2 = 1 c) y 252 − (x 144 −2) 2 = 1 d) xy = 8 e) (y+1) 4 2 − (x− 14 3)^2 = 1 9 x^2 + 162xy + 9y^2 − 640 = 0 g) (y− 36 2) 2 − (x− 9 3) 2 = 1
