Baixe Cálculo Diferencial e Integral I - Lista de Cálculo - Licenciatura em Química e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Minist´erio da Educa¸c˜ao Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a Campus Campo Mour˜ao Wellington Jos´e Corrˆea
2 a¯ Lista de C´alculo Diferencial e Integral I Curso: Licenciatura em Qu´ımica DAMAT, 2015 Nome:
1 Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de suas respectivas fun¸c˜oes e ache o limite indicado, se existir; caso n˜ao exista, justifique o porquˆe.
(a)
f (x) =
−3 ; x < 0 3 ; x ≥ 0
(i) lim x→ 0 +^
f (x) (ii) lim x→ 0 −^
f (x) (iii) lim x→ 0 f (x).
(b)
f (t) =
t + 5 ; t ≤ − 5 5 − t ; t > − 5
(i) lim t→− 5 +^
f (t) (ii) lim t→− 5 −^
f (t) (iii) lim t→− 5 f (t).
(c)
f (x) =
x^2 ; x ≤ 2 8 − 2 x ; x > 2
(i) lim x→ 2 +^
f (x) (ii) lim x→ 2 −^
f (x) (iii) lim x→ 2 f (x).
(d)
f (x) =
x^2 − 4 ; x < 2 4 ; x = 2 4 − x^2 ; x > 2
(i) lim x→ 2 +^
f (x) (ii) lim x→ 2 −^
f (x) (iii) lim x→ 2 f (x).
2 Determine o limite abaixo, caso exista.
(a) lim x→ 7
x^2 − 49 x − 7
(b) lim x→ (^32)
4 x^2 − 9 2 x + 3
(c) lim x→− 2
x^3 + 8 x + 2
(d) lim x→ 1
x − 1 x − 1
(e) lim x→ 0
x + 2 −
x
(f ) lim x→ 0
√ (^3) x + 1 − 1
x
(g) lim x→− 3
x^2 − 9 2 x^2 + 7x + 3
(h) lim x→− 1
2 x^2 − x − 3 x^3 + 2x^2 + 6x + 5
(i) lim x→ 4
3 x^2 − 8 x − 16 2 x^2 − 9 x + 4
(j) lim h→ 0
(3 + h)−^1 − 3 −^1 h (k) lim x→ 3 (2x + |x − 3 |)
3 Calcule, em cada situa¸c˜ao, o seguinte limite:
(a) lim x→ 3 −
x + 3 x^2 − 9
(b) lim x→0+
x^2 + 3 3 x
(c) lim x→ 0 +
x
x^2
(d) lim x→ 0 −
2 − 4 x^3 5 x^2 + 3x^3
(e) lim x→− 2 +
6 x^2 + x − 2 2 x^2 + 3x − 2
(f ) lim x→ 2 −
x − 2 2 −
4 x − x^2
4 Ache as ass´ıntotas verticais e horizontais do gr´afico das fun¸c˜oes abaixo e fa¸ca seu esbo¸co em cada caso.
(a) f (x) = 2 x + 1 x − 3 (b) g(x) = 1 +
x^2
(c) h(x) = 1 x^2 + 5 x − 6
(d) k(x) =
x^2 − 4
5 Encontre, em cada peculiaridade, o seguinte limite:
(a) lim x→+∞
3 x + 4 √ 2 x^2 − 5
(b) lim x→+∞
x √ x^2 + 1
(c) lim x→−∞
4 x^3 + 2x^2 − 9 8 x^3 + x + 2
(d) (^) x→−∞lim
3 x +
x^2
(e) lim x→+∞
x^2
− 15 x
(f ) lim x→−∞
x^2 + 4 x + 4 (g) (^) x→lim+∞(
x + 1 −
x)
6 Encontre os limites.
(a) lim x→ 0 +^
e^1 /x
(b) lim x→ 0 −^
e^1 /x
(c) (^) x→lim+∞
1 − ex 1 + ex
(d) lim x→+∞
ex^ + e−x ex^ − e−x (e) lim x→ 1 −^
ln(1 − x)
(f ) lim x→π/ 2 −^
ln(tg x)
(g) (^) x→lim+∞
ln(2 x) ln(3 x)
(h) lim x→+∞ ln(x^2 − 1) − ln(x − 1)
7 Dar em cada situa¸c˜ao, os pontos onde as seguintes fun¸c˜oes s˜ao descont´ınuas.
(a) f (x) = |x| x
(b) f (x) =
x
(c) f (x) =
x + 1 x^2 − 1
(d)
f (x) =
2 x + 1 se x ≤ − 2 x − 2 se − 2 < x ≤ 2 2 − x se 2 < x
8 Determine os valores de x, nos quais a fun¸c˜ao dada ´e cont´ınua.
(a)
f (x) =
3 x − 1 se x > 2 4 − x^2 se 2 ≤ x
(b)
f (x) =
2 x − 3 se x ≤ 1 x^2 se 1 < x
(c) h(x) = x + 1 2 x + 5
9 Calcule os seguintes limites, quando eles existirem.
(a) lim x→ 0
sen 4x x
(b) lim x→ 0
sen^3 x x^2
(c) lim x→ 0
1 − cos x x
(d) lim x→ 0
1 − cos x 1 + sen x
(e) lim x→ π 2
1 − sen x π 2 −^ x
(f ) lim x→π+
sen x x − π
(g) lim x→ 0
sen(sen x) x
(h) lim x→ 0
x^2 + 3x sen x
(i) lim x→ 0
tg x 2 x
16 Um monge tibetano deixa o monast´erio as 7:00 horas da manh˜a e segue sua caminhada usual para o topo da montanha chegando l´aas 7:00 horas da noite. Ele medita no topo da montanha durante a noite. Na manh˜a seguinte, ele parte do topo da montanha as 7:00 horas da manh˜a, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monast´erioas 7:00 horas da noite. Use o Teorema do Valor Intermedi´ario para mostrar que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas.
17 Use o teorema do valor intermedi´ario para mostrar que existe uma raiz da equa¸c˜ao cos x = x^3.
18 Fa¸ca o que se pede:
(a) O que h´a de errado com a equa¸c˜ao
x^2 + x − 6 x − 2 = x + 3?
(b) Em vista de (a), explique por que a equa¸c˜ao lim x→ 2
x^2 + x − 6 x − 2 = lim x→ 2 (x + 3).
19 Analise com deleite os gr´aficos a seguir, para determinar lim x→c−
f (x), lim x→c+
f (x), lim x→c f (x) nos valores de c indicados, se tais valores existem. E ainda, diga para quais valores de c a fun¸c˜ao ´e cont´ınua.
(a)
0 2
c= 2
y = f (x)
(b)
x
y
(^0 )
c= 0; 2
− (^) y = f (x) (^12)
x
y
(^0 )
c = −
y = f (x)
− (^52)
− 2
− 1
1
(c)
x
y
0
1
2 3
y = f (x)
c = 0; 2; 3;
Respostas
1 (a) (i) 3; (ii) −3; (iii) @.
0 x
y
(b) (i) 10; (ii) 0; (iii) @.
0 x
y
(c) (i) 4; (ii) 4; (iii) 4.
y
x 2
(d) (i) 0; (ii) 0; (iii) 0
y
x 2
2 (a) 14
(b) 0
(c) 12
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) − 1
(i)
(j) −
(k) 6
3 (a) −∞
(b) +∞
(c) −∞
(d) +∞
(e) −∞
(f) −∞
9 (a) 4
(b) 0
(c) 0
(d) 0
(e) 0
(f) − 1
(g) 1
(h) 3
(i) (^12)
10 (a) 0 (b) − 4
11 a = 10 , b = − 23
12 100%. N˜ao, para p se aproximar 100% (como um limite) seriam necess´arios aumentos ilimitados de gastos, o que ´e imposs´ıvel.
13 5 bilh˜oes de d´olares.
14 O limite solicitado ´e a. A medida que a quantidade de substrato torna-se muito grande, a velocidade` inicial aproxima-se da constante a mole por litro por segundo.
15 (c) 3,82 dias.
16 Considere u(t) a distˆancia do monge ao monast´erio como uma fun¸c˜ao do tempo no primeiro dia e d(t) a distˆancia do monge ao monast´erio como uma fun¸c˜ao do tempo no segundo dia. Ainda denote D como sendo a distˆancia do monast´erio ao topo da montanha. Por fim, considere a fun¸c˜ao (u − d)(t) definida no intervalo [0, 12] a valores na sua imagem, a saber [0, D]. Disto, ´e s´o aplicar o teorema do valor intermedi´ario.
17 Sugest˜ao: Defina f (x) = cos x − x^3.
18 (a) A equa¸c˜ao s´o ´e v´alida se x 6 = 2. (b) Neste caso, note que x → 2 , logo, sendo admiss´ıvel a referida simplifica¸c˜ao.
19 (a) c = 2 : +∞, −∞, n˜ao existe; n˜ao ´e cont´ınua.
(b) c = 0 : −
; cont´ınua; c = 2 : − 2 , 0 , n˜ao existe; n˜ao ´e cont´ınua.
(c) c = −
: 0, 0 , 0; cont´ınua; c = 0 : − 1 , − 2 , n˜ao existe; n˜ao ´e cont´ınua. c = 1 : 0, 0 , 0; cont´ınua; c = 2 : 1, 0 , n˜ao existe; n˜ao ´e cont´ınua.
(d) c = 0 : 2, 2 , 2; cont´ınua; c = 2 : 2, 2 , 2; n˜ao ´e cont´ınua; c = 3 : −∞, +∞, n˜ao existe; n˜ao ´e cont´ınua.
Sucesso!!!
