Exercicios resolvidos, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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2. Seja u = (2,y,2,t) um vetor genérico do R4. Quais das aplicações abaixo definidas são aplicações lineares do R4? (a) F(u) =u+(1,0,1,0); (b) Flu) = (1,0,1,1); (e) Flu) =(m,y-2,y+22+); (d) F(u) = (cosz,y, 2,1). RESPOSTAS (a) F(u) = u+(1,0,1,0). Observe que tal função não poderia ser linear, pois P((0,0,0,0)) = (0,0,0,0) + (1,0,1,0) = (1,0,1,0) £ (0,0,0,0). Observe ainda que F, como definida acima, não satisfaz nenhuma. das duas condições para uma função, cujos domínios e contra-domínios são espaços vetoriais sobre o mesmo corpo de escalares, seja linear. (b) F(u) = (1,0,1,1). Observe que tal função não poderia ser linear, pois F((0,0,0,0)) = (1,0,1,1) (0,0,0,0). Observe ainda que F, como definida acima, é tal que F(ku) = (1,0,1,1) £ ku,Vk € (R—(1)) ou Vu e (Rt-(1,0,1,1)). () Fl) =(2,y-zy+2z2+?). Sjamu=u=(2,gyzt),ev=(r,ymn,2, un). F é linear pois, DF(u+v) = F((z,yz)+(m;mnati)=Plv+m,y+ymn,z+za,t+t), ou seja, Plataytuz+hzat+ to) = (2420, (+00) = (2420), (+01) + (2420); (0400) + (t+) = (my-2y+22+)+(2n a, +20 +th)=F(u) + F(o). 2F(ku) = F((2,y,2,t)) = (ke, k(y — 2), k(y+ 2), k(x +) = klx,y— 2,y + 2,0 +t) = kF(u). (d) F(u) = (cosz,y,z,t). F não é linear pois a função cosseno não é uma transformação linear de R em R. 3. É possível existir uma transformação linear injetora T : Rº — R?? Por quê?. CONCLUSÕES Não é possível existir uma transformação linear injetora T : Rº — R2. Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos que dim(Rº) = dim(Nuc(T)) + dim(Im(T)) < dim(Nuc(T)) + 2, portanto 3 < 2 + dim(Nuc(T)) & dim(Nuc(T)) > 1, ou seja, T não pode ser injetiva. Mais geralmente: Seja T : Rº*! — RP”, T transformação linear onde n > 1,n € N. T não pode ser injetora. Observe que estamos trabalhando com espaços vetoriais de dimensão finita. O Teorema do Núcleo e da Imagem NÃO É NECESSARIAMENTE VÁLIDO para transformações cujos domínios sejam espaços vetoriais de dimensão infinita. Ver Apêndice 1.