Experiência 3, Notas de estudo de Física Experimental

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EXPERIˆENCIA 3

DETERMINAC¸ ˜AO DE ǫ 0

David W. C. Marcˆondes e Fernanda J. Dellajustina

Disciplina: F´ısica experimental 3 – FEX Turma: F

Abel A. C. Recco

Professor

13 de setembro de 2012, 19:09h

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao te´orica

1.1 O potencial el´etrico

O efeito de capacitˆancia foi observado num experimento conhecido como garrafa de Leiden. O fato curioso de que um potencial aplicado `a dois condutores isolados por um material n˜ao con- dutor (chamado diel´etrico) armazenava carga, levou a defini¸c˜ao de uma grandeza f´ısica chamada capacitˆancia, esta grandeza esta relacionada com o fato de que este ”reservat´orio”armazena cargas de forma proporcional ao potencial, ou seja, quanto mais tens˜ao aplic´avamos nas placas maior ´e a carga armazenada pelo capacitor (o limite f´ısico desse aumento de tens˜ao ´e dado pelo diel´etrico, como ser´a explicado adiante).

Imaginemos o capacitor mais simples poss´ıvel: o capacitor planar. Para isso, imaginemos duas chapas planas feitas de uma material condutor, poderia ser o fundo de uma forma de pizza, por exemplo. Agora vamos colocar essas chapas uma paralela `a outra, a uma distˆancia bem pequena, o m´aximo poss´ıvel sem que se toquem e deixem o ar circular entre esta fenda. Agora, apliquemos uma diferen¸ca de potencial nestas placas condutoras, usando uma pilha. O que acontece? Pela lei de distribui¸c˜ao de carga para condutores, temos que as cargas se acumulam na superf´ıcie da placa, at´e que atinjam um regime eletrost´atico, isso acontece quando todas as cargas ”encontram seus lugares”que ´e o mais longe poss´ıvel uma das outras, atingindo assim o estado de menor energia. Observamos que em cada placa se acumular´a uma carga de natureza diferente: uma placa ter´a cargas positivas e a outra negativas, conforme a polaridade da pilha que ligamos a cada placa (na que ligamos o terminal positivo teremos o ac´umulo de cargas positivas, e portanto na outra placa, ficaram as cargas negativas).

onde o que ”passamos”o V para o outro lado da equa¸c˜ao. O lado direito dessa igualdade chamados de capacitˆancia, ou seja: C = Aǫ d 0 (1.5)

onde a unidade de C ´e o Farad, que ´e C/V (coulomb por volt).

Observemos aqui todas nossas suposi¸c˜oes! elas nos ser˜ao importante para analisar o experimento.

1.2 Lineariza¸c˜ao do gr´afico

Veja na tabela 1.1 os dados obtidos experimentalmente da capacitˆancia em fun¸c˜ao de altera¸c˜oes na distˆancia (d) entre as placas. A partir da equa¸c˜ao (1.5) e comparando com a equa¸c˜ao da

C(nF ) d(mm) 1 /d(mm−^1 ) 0,66 0,60 1, 0,58 0,70 1, 0,51 0,80 1, 0,47 0,90 1, 0,43 1,00 1, 0,41 1,10 0, 0,39 1,20 0, 0,35 1,30 0, 0,33 1,40 0, 0,31 1,50 0, 0,30 1,60 0, 0,28 1,70 0, 0,27 1,80 0, 0,26 1,90 0, 0,25 2,00 0, 0,24 2,10 0, 0,23 2,20 0, 0,22 2,30 0, 0,21 2,40 0, 0,20 2,50 0,

Tabela 1.1: Tabela com os dados experimentais obtidos no laborat´orio de FEX

reta faremos a lineariza¸c˜ao desta equa¸c˜ao para que possamos plotar um gr´afico e determinar a constante ǫ 0.

Comparando a equa¸c˜ao da reta com a equa¸c˜ao (1.5) temos,

y′^ = C (1.6)

a′^ = Aǫ 0 (1.7) x′^ =^1 d (1.8) b′^ = 0 (1.9)

A partir dos dados experimentais listados na tabela 1.1 tra¸camos um gr´afico linearizado da equa¸c˜ao (1.5) que se encontra em anexo.

Escolhemos dois pontos do gr´afico, destacados com um triˆangulo, para determinar o coeficiente angular da reta. Sendo P 1 (0, 640 × 103 m−^1 ; 0, 300 × 10 −^9 F ) e P 2 (1, 630 × 103 m−^1 ; 0, 650 × 10 −^9 F ) o coeficiente angular ser´a; a′^ = ∆ ∆yx (1.10)

substituindo os pontos P 1 e P 2 na equa¸c˜ao (1.10) temos,

a′^ = (0,^650 ×^10

− 9 − 0 , 300 × 10 − 9 )F

(1, 630 × 103 − 0 , 640 × 103 )m−^1 = 0,^354 ×^10

− (^12) F · m (1.11)

sendo o coeficiente angular da reta dado pela equa¸c˜ao (1.7) e sendo o raio do disco, usado para medir experimentalmente a capacitˆancia, igual a R = 11, 8 × 10 −^2 m ent˜ao a ´area do disco ser´a,

A = πR^2 = π(11, 8 × 10 −^2 m)^2 = 4, 31 × 10 −^2 m^2 (1.12)

substituindo estes valores na equa¸c˜ao (1.7) temos,

0 , 354 × 10 −^12 F · m = (4, 31 × 10 −^2 m^2 )ǫ 0 (1.13)

de onde temos, ǫ 0 =^0 ,^354 ×^10

− (^12) F · m 4 , 31 × 10 −^2 m^2 = 8,^21 ×^10

− (^12) F/m (1.14)

O valor te´orico de ǫ 0 ´e 8, 854 × 10 −^12 F/m de forma que o erro percentual na medida ´e dado por,

E% = |x^ − ¯x x¯|× 100% (1.15)

ent˜ao o erro percentual ser´a,

E% = |^8 ,^21 ×^10

− 12 − 8 , 854 × 10 − 12 |

8 , 854 × 10 −^12 .100% = 7,^ 2%^ (1.16)

uso de uma lˆampada ligada `a rede el´etrica para ajudar a ler a escala do capacitor.

As duas placas est˜ao paralelas: esta ´e a condi¸c˜ao que talvez seja melhor satisfeita no experimento, pois as placas eram de boa constru¸c˜ao e apresentavam um paralelismo impec´avel (por´em n˜ao perfeito, certamente). Isso ´e importante pois nos garante que o campo el´etrico permanece constante em m´odulo no interior das placas.

Campo nas bordas: aqui fica evidente que pela geometria das placas e suas dimens˜oes, podemos dizer que uma fra¸c˜ao do campo no interior das placas sobre o campo das bordas (que seria ent˜ao a ´area onde a distor¸c˜ao das linhas de campo s˜ao apreci´aveis) nos indica uma margem de erro para tal suposi¸c˜ao; em nosso experimento estimamos que um pequeno anel delgado com uma ´area diminuta (em torno de 3%) contribua para essa incerteza, em compara¸c˜ao ao campo no interior das placas.

Supor que o diel´etrico, no nosso experimento ele ´e o ar, mantem suas carater´ısticas constantes: aqui encontramos talvez a segunda maior fonte de erros, pois a umi- dade relativa do ar pode variar sensivelmente, principalmente pela proximidade do ar expirado pelo nossos pulm˜oes entrarem em contato com o ar do diel´etrico.

Agora passamos a analisar as condi¸c˜oes de manuseio:

Capacitˆancias parasitas: Esta ´e a fonte maior de erros, pois os fios que conectam as placas ao mult´ımetro podem contribuir como um capacitor associado em paralelo, ou seja, aumentando a capacitˆancia (pois aumentamos a ´area e a quantidade de cargas armazenadas). Qualquer movimento nestes fios alteramos a distˆancia do seu ”diale trico”que por fim alteram o valor real da capacitˆancia das placas.

Imprecis˜ao dos eixos que alteram a distˆancia entre as placas: aqui os parafusos uti- lizados podem nos introduzir uma ”folga”, mesmo que diminuta contribuindo para tornar a medida da distˆancia entre as placas de leitura imprecisa.

Imprecis˜ao dos aparelhos de medida: aqui entram os erros provindos das escalas dos aparelhos de medidas, por´em o erro considerado por tais aparelhos s˜ao sempre pequenos, visto que a escolha dos aparelhos deve ser adequada para tal fim.

Suposi¸c˜ao auxiliar

Neste experimento supomos medir a constante de permissividade el´etrica no v´acuo, porem estamos medindo tal grandeza no ar, o que difere de maneira sutil da permis-

sividade no v´acuo.

1.4 Erro de medida

A partir da equa¸c˜ao (1.5) podemos obter a seguinte rela¸c˜ao,

ǫ 0 = C d A (1.17)

de froma que conseguimos relacionar para cada valor de d e C um valor para ǫ 0 , dado que A ´e constante e igual a 4, 37 × 10 −^2 m^2 que pode ser visto na tabela 1.2. cujo valor esperado ou

C(10−^9 F ) d(10−^3 m) ǫ 0 (10−^12 F/m) |xi − x¯|(10−^12 F/m) (∆xi)^2 (10−^24 F 2 /m^2 ) 0,66 0,60 9,1 1,6 2, 0,58 0,70 9,3 1,4 2, 0,51 0,80 9,3 1,4 2, 0,47 0,90 9,7 1,0 1, 0,43 1,00 9,8 0,9 0, 0,41 1,10 10 0 0 0,39 1,20 11 0 0 0,35 1,30 10 0 0 0,33 1,40 10 0 0 0,31 1,50 11 0 0 0,30 1,60 11 0 0 0,28 1,70 11 0 0 0,27 1,80 11 0 0 0,26 1,90 11 0 0 0,25 2,00 11 0 0 0,24 2,10 12 1 1 0,23 2,20 12 1 1 0,22 2,30 12 1 1 0,21 2,40 12 1 1 0,20 2,50 11 0 0 x ¯ = 10, 7 × 10 −^12 F/m Tabela 1.2: Tabela com os dados experimentais obtidos no laborat´orio de FEX

valor m´edio ´e ¯ǫ 0 = 10, 7 × 10 −^12 F/m o desvio padr˜ao na medida em rela¸c˜ao a m´edia dado pela

∣∣ ∣ (^) Ad

∣∣ ∣ ∆C(10−^4 F/m)

∣∣ ∣ C A

∣∣ ∣ ∆d(10−^10 F/m)

∣∣ ∣ C d A 2

∣∣ ∣ ∆A(10−^10 F/m) ∆ǫ 0 (10−^4 F/m) 1 2 2 12 2 1 2 16 2 1 2 18 2 1 2 20 2 0,9 2 23 2 0,9 2 25 3 0,9 2 27 3 0,8 2 30 3 0,8 2 32 3 0,7 2 34 4 0,7 2 37 4 0,6 2 39 4 0,6 2 41 4 0,6 2 43 4 0,6 2 46 5 0,5 2 48 5 0,5 0,1 50 5 0,5 0,2 53 5 0,5 0,3 55 6 0,4 0,4 57

Tabela 1.3: Tabela com os dados necess´ario para o c´alculo do erro propagado.