FEX3 bobinas de Helmholtz, Notas de estudo de Física

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EXPERIˆENCIA 10

BOBINAS DE HELMHOLTZ

Fernanda J. Dellajustina

Disciplina: F´ısica experimental 3 – FEX Turma: F

Abel A. C. Recco

Professor

8 de novembro de 2012, 21:28h

Sum´ario

1 Introdu¸c˜ao te´orica 2

2 Tratamento dos dados 5

3 Conclus˜ao 10

usados na ciˆencia de naves espaciais. Na ´area de ensino de f´ısica ela ´e usada principalmente em experimentos para a determina¸c˜ao da carga espec´ıfica do el´etron e para determina¸c˜ao da constante de permeabilidade magn´etica.

Demonstraremos agora a equa¸c˜ao para o campo magn´etico no centro das bobinas usando a lei de Biot-Savart, escrita na forma,

dB^ ~ = μ^0 I 4 π

d~l × ~r r^3 (1.1) Inicialmente calcularemos o campo gerado por uma ´unica espira conforme mostra a Figura 1.2 onde representamos o campo magn´etico d B~ gerado pelo elemento d~l da espira no ponto P. Analisando

r dB sen α

d B cos α

d B

d φ

dl

α z P

α R

I

Figura 1.2: Esquema representativo do campo magn´etico d B~ no ponto P sobre o eixo de simetria da espira circular

a Figura 1.2 temos que, ~r = −Rcosφ ~i − Rsenφ ~j + z~k (1.2)

cujo m´odulo ´e, r = √R^2 + z^2 (1.3)

e o elemento infinitesimal da espira ´e dado por,

dl^ ~ = −Rsenφ dφ ~i + Rcosφ dφ ~j (1.4)

resolvendo o produto vetorial entre dl~ e ~r temos,

dl^ ~ × ~r = R z cosφ dφ ~i + R z senφ dφ ~j + R^2 dφ~k (1.5)

substituindo o resultado do produto vetorial na equa¸c˜ao 1.1 temos,

dB^ ~ = μ^0 I 4 π (R^2 + z^2 )^3 /^2 (R z cosφ dφ ~i^ +^ R z senφ dφ ~j^ +^ R

(^2) dφ ~k) (1.6)

Para encontrarmos o campo magn´etico resultante em P integramos a equa¸c˜ao 1.6 em rela¸c˜ao a φ, ou seja,

B^ ~ = μ^0 I 4 π (R^2 + z^2 )^3 /^2

(∫ (^2) π 0 (R z cosφ dφ ~i^ +

∫ (^2) π 0 R z senφ dφ ~j^ +

∫ (^2) π 0 R

(^2) dφ ~k^ ) (1.7)

resolvendo a integral temos, B^ ~ = μ^0 I 2

R^2

(R^2 + z^2 )^3 /^2

~k (1.8)

Que ´e a equa¸c˜ao para o campo magn´etico gerado por uma ´unica espira sobre o eixo de simetria da espira. Se possuirmos N espiras ent˜ao a equa¸c˜ao para o campo magn´etico fica multiplicada pelo n´umero de espiras, ou seja, B^ ~ = N μ^0 I 2

R^2

(R^2 + z^2 )^3 /^2

~k (1.9)

O arranjo das bobinas Helmholtz consiste em duas espiras circulares de mesmo, com eixo comum, separadas por uma distˆancia escolhida de tal forma que a segunda derivada de B seja nula em um ponto sobre a meia distˆancia entre as bobinas, de forma que o campo magn´etico entre as duas espiras seja o mais uniforme poss´ıvel.

Partindo desta ideia vamos calcular o campo gerado pelo par de espiras, multiplicando a equa¸c˜ao 1.9 por dois, ou seja,

B^ ~ = 2N μ^0 I 2

R^2

(R^2 + z^2 )^3 /^2

~k = N μ 0 I R^2 (R^2 + z^2 )^3 /^2

~k (1.10)

e fazendo z = R/2, que ´e a condi¸c˜ao para que o campo magn´etico seja o mais uniforme poss´ıvel temos, B^ ~ = N μ 0 I (^) ( R^2 R^2 +

( (^) R 2

) 2 ) 3 / 2 ~k^ (1.11)

de onde temos, B^ ~ =

) 3 / (^2) N μ 0 I R

~k (1.12)

Na Figura 1.3 podemos ver o campo no centro das espiras [1].

Figura 1.3: Arranjo de Helmholtz, campo no centro das espiras.

do campo magn´etico, B, em fun¸c˜ao de varia¸c˜oes na corrente el´etrica, I, e tamb´em os erros relativos e o erro percentual de cada medida comparados com o valor te´orico de μ 0 = 1, 26 × 10 −^6 T · m/A.

I(A) B(mT ) μ 0 (10−^6 T · m/A) erro absoluto (10−^7 ) erro relativo (%) 0,10 0,08 1,42 1,66 13, 0,20 0,15 1,33 0,774 6, 0,30 0,22 1,30 0,477 3, 0,40 0,29 1,29 0,329 2, 0,50 0,36 1,28 0,240 1, 0,60 0,43 1,27 0,181 1, 0,70 0,50 1,27 0,139 1, 0,80 0,57 1,27 0,107 0, 0,90 0,64 1,26 0,0821 0, 1,00 0,71 1,26 0,0623 0, 1,10 0,78 1,26 0,0462 0, 1,20 0,85 1,26 0,0327 0, 1,30 0,92 1,26 0,0213 0, 1,40 0,99 1,26 0,0115 0, 1,50 1,06 1,26 0,00304 0, 1,60 1,13 1,26 0,00437 0, 1,70 1,20 1,26 0,0109 0, 1,80 1,27 1,25 0,0167 0, 1,90 1,34 1,25 0,0219 0, 2,00 1,41 1,25 0,0266 0,

Tabela 2.1: Tabela com os dados experimentais obtidos no laborat´orio de FEX

A partir dos dados da tabela 2.1 plotamos um gr´afico em papel milimetrado do campo magn´etico em fun¸c˜ao da corrente el´etrica, este gr´afico encontra-se em anexo. Este mesmo gr´afico foi feito tamb´em com o software gnuplot e pode ser visto na figura 2.2. Nesta Figura temos os pontos exper- imentais no papel milimetrado, bem como a reta que melhor se ajusta aos pontos experimentais, obtida pelo m´etodo dos m´ınimos quadrados. cujo coeficiente angular da reta ´e 7, 0 × 10 −^4 T /A e o valor obtido para μ 0 com este coeficiente angula ´e 1, 24 × 10 −^6 Kg · m/C^2 e cujo erro percentual ´e 2%.

B (mT)

I (A)

Figura 2.2: Gr´afico feito no gnuplot de B em fun¸c˜ao de I.

A partir da equa¸c˜ao (2.1) e por compara¸c˜ao com a equa¸c˜ao da reta temos,

y′^ = B (2.3)

Usando a f´ormula em anexo para o erro propagado no valor de μ 0 temos,

∆μ 0 = (1, 28 × 10 −^6 Kg · m/C^2 )

( (^0) , 1 × 10 − (^2) m 0 , 196 m +

6 , 78 × 10 −^6 T /A

7 , 18 × 10 −^4 T /A

) (2.15)

de onde temos que o erro ´e, ∆μ 0 = 1, 86 × 10 −^8 Kg · m/C^2 (2.16)

Cap´ıtulo 3

Conclus˜ao

Observamos uma grande concordˆancia entre os resultados te´oricos e experimentais sobre a rela¸c˜ao do campo magn´etico e da corrente nas espiras, os dados do modelo te´orico forneceram assertiva- mente a previs˜ao que dos valores de B, em rela¸c˜ao a I, sendo poss´ıvel determinar com precis˜ao o valor da constante μ 0. A reta obtida para modelar a dependˆencia do campo magn´etico pela cor- rente n˜ao apresenta pontos que fuja de forma discrepante do valor esperado. Observamos tamb´em que o erro percentual ´e relativamente baixo.