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VISCOSÍMETRO DE STOKES
Ao realizar o estudo de fluidos, características como temperatura e pressão, devem ser levadas em conta para compreender o comportamento mecânico desse fluido. Outra propriedade importante para o entendimento da mecânica dos fluidos é a viscosidade. A viscosidade pode ser considerada uma grandeza que define o quanto um fluido resiste ao escoamento. Em outras palavras, ela determina o quanto um determinado fluido é deformado quando sobre ele é aplicada uma tensão de cisalhamento. Quando a viscosidade de um fluido é constante para diferentes tensões de cisalhamento e seu valor não varia durante o tempo, o material em questão pode ser chamado de fluido newtoniano. Esta nomenclatura é devida a lei de Newton da viscosidade, que pode ser observada na equação 1. 𝜏 = 𝜇
Onde: 𝜏 é a tensão de cisalhamento, dada em 𝑁 ⁄𝑚^2. 𝜇 é o coeficiente de viscosidade, também conhecido como viscosidade dinâmica ou viscosidade absoluta. As principais unidades utilizadas para apresentar essa grandeza são: 𝑘𝑔 ⁄𝑚^ · 𝑠, 𝑁𝑠 ⁄𝑚^2 ou 𝑃𝑎 · 𝑠. 𝛿𝑢 𝛿𝑦 é o gradiente da velocidade, encontrado ao derivar o perfil da velocidade em função de y. A viscosidade absoluta dos fluidos (líquidos ou gasosos) pode ser observada ao consideramos que andar através do ar é uma tarefa fácil quando comparada com a tarefa de andar imerso na água por exemplo. Isso é devido a viscosidade da água ser 55 vezes maior do que a do ar. Quando um óleo do tipo SAE 30 é analisado, que é 300 vezes mais
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CEP: 40260- 215 Fone: 71 3272- 3504 VISCOSÍMETRO DE STOKES viscoso que a água, e a glicerina que é 5 vezes mais viscosa que o óleo SAE 30, é possível começar a observar a ampla gama de viscosidades que os fluidos podem possuir. Existem algumas grandezas que influenciam a viscosidade de um componente, como a pressão e a temperatura. A pressão possui uma influência que, na maioria dos casos, pode ser desprezada. Utilizando a viscosidade do ar como exemplo, um aumento de 1 para 50 atm na pressão do ar vai ocasionar um aumento na viscosidade do ar em apenas 10%. Já a temperatura possui uma influência considerável na viscosidade de um fluido, de forma geral, como pode ser observado na figura 1, com o aumento da temperatura os líquidos possuem a tendência de reduzir sua viscosidade, aumentando sua fluidez, como pode ser observado no comportamento da água, glicerina e outros líquidos. Em relação aos gases é possível observar que ocorre um aumento discreto na viscosidade absoluta com o aumento da temperatura. Figura 1 – Relação entre viscosidade absoluta e temperatura para diversos fluidos
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CEP: 40260- 215 Fone: 71 3272- 3504 VISCOSÍMETRO DE STOKES O comportamento referido anteriormente pode ser observado na figura 2. Figura 2 – Comportamento das linhas de corrente em torno de um objeto. O número de Reynolds (𝑅𝑒) é um valor adimensional que pode ser utilizado para estimar o tipo de escoamento em determinadas condições. Ele pode ser encontrado através da equação 3. 𝑅𝑒 = 𝑉.𝑑 𝜐
Onde: 𝑉 é a velocidade do escoamento (m/s); 𝑑 é o diâmetro da esfera (m); 𝜐 é a viscosidade cinemática do fluido (m²/s); Para Número de Reynolds acima do valor crítico 𝑅𝑒 ≌ 2300 , o escoamento passa a ser turbulento e abaixo dele, o escoamento é laminar.
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2. FORÇA DE ARRASTO
Quando um objetivo entra em queda livre através de um fluido, uma força de arrasto (𝐹𝑑) atua no objeto, devido à viscosidade do meio. O sentido da força é sempre oposto à do escoamento e seu módulo pode ser obtido pela equação 4. 𝐹𝑑 = 𝜌 2
. 𝑉^2. 𝐴. 𝑐𝑑 (4)
Onde: 𝜌 é a densidade do fluido (kg/m^3 ); 𝑉é a velocidade do escoamento(m/s); 𝐴 é a máxima seção transversal do objeto (m²); 𝑐𝑑 é o coeficiente de atrito, relacionado à forma do objeto. O coeficiente de atrito é adimensional. Para uma esfera, seu valor é de aproximadamente 0,4. A equação 4 só se aplica para escoamentos laminares. No entanto, ela pode ser usada com boa aproximação para escoamentos pouco turbulentos.
3. LEI DE STOKES
Figura 3 – Forças atuantes na esfera.
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CEP: 40260- 215 Fone: 71 3272- 3504 VISCOSÍMETRO DE STOKES A equação (5) pode ser substituída na equação (4) obtendo a seguinte expressão, onde 𝑔 é a gravidade, 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 é a densidade do fluido e 𝜌𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 é a densidade da esfera, ambos em 𝑘𝑔 ⁄𝑚^3. 𝑃 = 𝐹𝑑 + 𝐸 ∴ 𝜌𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝜋𝑟^3 𝑔 = 6 𝜋𝜇𝑉𝑟 + 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝜋𝑟^3 𝑔
𝜋𝑅^3 𝑔 − 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝜋𝑅^3 𝑔 = 6 𝜋𝜇𝑉𝑟
𝜋𝑟^3 𝑔(𝜌𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 − 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜) = 6 𝜋𝜇𝑉𝑟
𝜋𝑟^3 𝑔(𝜌𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 − 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜)
2 𝑟^2 𝑔(𝜌𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 − 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜)
Em relação a velocidade do escoamento (V), são necessárias que algumas considerações sejam realizadas. Devido ao fato das dimensões transversais do tubo que contém o fluido não serem infinitas, a velocidade será afetada. Para que seja aplicada uma correção adequada, deve ser utilizada a correção de Ladenburg, que apresenta resultados satisfatórios quando r/R < 0,2 e r<<H onde: H é a altura da coluna do fluido, r é o raio da esfera utilizada e R é o raio interno do tubo de acrílico em metros. 𝜆 1 = 1 + 2 , 4 × (𝑟 ⁄𝑅^ ) (7) Esta correção deve ser multiplicada pela velocidade V, obtendo a velocidade corrigida. 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑟 = [ 1 + 2 , 4 × (𝑟 ⁄𝑅^ )] × 𝑉 (8)
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CEP: 40260- 215 Fone: 71 3272- 3504 VISCOSÍMETRO DE STOKES Substituindo a velocidade corrigida exibida na equação 8, na equação 6, obtemos: 𝜇 =
2 𝑟^2 𝑔(𝜌𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 − 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜)
9 [ 1 + 2 , 4 (𝑟 ⁄𝑅 )]𝑉
Com isso, para sistemas que atendem as condições anteriormente apresentadas, é possível encontrar a viscosidade dinâmica.
