Descoberta do Momento Magnético Intrínseco do Elétron na Experiência de Stern-Gerlach, Notas de aula de Física Quântica

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A Experiˆencia de Stern-Gerlach e o Spin do El´etron

Bruno Felipe Venancio

UFPR

28 de Abril de 2014

A Experiˆencia de Stern-Gerlach e o Spin do El´etron

Figura: Placa Comemorativa.

A Experiˆencia de Stern-Gerlach e o Spin do El´etron

Figura: Comportamento de um dipolo magn´etico na presen¸ca de um

campo magn´etico n˜ao uniforme.

A Experiˆencia de Stern-Gerlach e o Spin do El´etron

A Experiˆencia de Stern-Gerlach e o Spin do El´etron

Momento magn´etico cl´assico em campo externo

Corp´usculo com momento de dipolo magn´etico ~μ imerso em um

campo magn´etico

B:

U = −~μ.

B energia potencial (1)

F = −∇U = ∇(~μ.

B) for¸ca (2)

Na regi˜ao central do ´ım˜a podemos escrever:

Fz =

∂z

(~μ.

B) = μz

∂B

z

∂z

A Experiˆencia de Stern-Gerlach e o Spin do El´etron

Momento magn´etico cl´assico

Modelo cl´assico simples para um ´atomo de Bohr de 1 el´etron em

uma ´orbita circular:

μ ~ = −

e

2 m

L (4)

onde

L ´e o momento angular

do ´atomo.

A Experiˆencia de Stern-Gerlach e o Spin do El´etron

Como μz = −

e

2 m

L cos θ, ent˜ao

F

z

e

2 m

L cos θ

∂B

z

∂z

Assim, segundo a teoria cl´assica, dever´ıamos observar uma mancha

cont´ınua na placa fotogr´afica, mas o resultado do experimento ´e:

A Experiˆencia de Stern-Gerlach e o Spin do El´etron

Esses resultados indicam que deve haver algum momento

magn´etico no ´atomo que n˜ao foi considerado. Se, como proposto

por Bohr e Sommerfeld, o el´etron possui um momento angular

intr´ınseco

S, denominado de Spin. Assim, o momento angular

total de um ´atomo ser´a:

J =

L +

S, (7)

com

~μ s

ge

2 m

S. (8)

Descri¸c˜ao Te´orica

O Observ´avel S z

A componente μz do momento magn´etico intr´ınseco do el´etron

associamos um observ´avel S z

, tal que

S

z

com

σ=±

|σ〉〈σ|, (10)

〈σ|σ

′ 〉 = δ σσ

Descri¸c˜ao Te´orica

O estado mais geral do el´etron associado a seu Spin pode ´e dado

por

|ψ〉 = α|+〉 + β|−〉, (12)

com

|α|

2

• |β|

2

= 1 (13)

Na base {|+〉, |−〉} S z

´e representado por

S

z

Descri¸c˜ao Te´orica

Caso Geral: S ~u

S

~u

S.~u = S x

sin θ cos ϕ + S y

sin θ sin ϕ + S z

cos θ (19)

S~

u

cos θ sin θe

−iϕ

sin θe

iϕ cos θ

~u

= cos(θ/2)e

−iϕ/ 2 |+〉 + sin(θ/2)e

iϕ/ 2 |−〉 (21)

~u

= − sin(θ/2)e

−iϕ/ 2 |+〉 + cos(θ/2)e

iϕ/ 2 |−〉 (22)

Aplica¸c˜ao dos Postulados no Caso de um Spin 1/

Preparando o Estado do Sistema

Aplica¸c˜ao dos Postulados no Caso de um Spin 1/

Valor M´edio 〈S i

〉, i = z, x, y

O estado mais geral para representar o sistema ´e dado por

|ψ〉 = α|+〉 + β|−〉,

com

|α|

2

• |β|

2

= 1.

Pode-se mostrar, que a menos de um fator de fase global, se

cos θ/2 = |α|, e sin θ/2 = |β|,

temos

|ψ〉 = |+〉 ~u

= e

−iξ/ 2

cos(θ/2)e

−iϕ/ 2 |+〉 + sin(θ/2)e

iϕ/ 2 |−〉

Aplica¸c˜ao dos Postulados no Caso de um Spin 1/

Assim, pode se mostrar que

~u

〈+|S

z

~u

cos θ, (25)

~u

〈+|Sx |+〉 ~u

sin θ cos ϕ, (26)

~u

〈+|S

y

~u

sin θ sin ϕ. (27)