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Resolução das atividades complementares
Física
F5 — Cinemática vetorial
p. 19
v^ → (^) B v^ →A^ x
y
1 (Unitau-SP) Dois objetos encontram-se em movimento em relação a um observador inercial O. As
trajetórias são retilíneas de mesma direção e as velocidades são constantes e valem vA 5 30 m/s e vB 5 35 m/s, nos sentidos indicados na figura abaixo. Pode-se, então, afirmar que o valor da velocidade do objeto A em relação ao objeto B é igual a:
a) 30 m/s c) zero e) 5 m/s
b) 35 m/s d) 65 m/s
2 Dois barcos idênticos, de comprimentos iguais a 100 m, viajam com velocidades próprias de 10 m/s
cada um, em águas paradas. Os barcos navegam num rio cuja velocidade da correnteza é de 3 m/s. Calcule o tempo de cruzamento dos barcos quando viajam em sentidos opostos.
2
Resolução: Consideremos A subindo e B descendo o rio. Dados: vA 5 10 2 3 5 7 m/s vB 5 10 1 3 5 13 m/s
Resolução: A velocidade relativa entre os objjetos e será dada por: v (^) R v (^) A vB
A B
→ → → 5 2 →v (^) R 5 vAA B A B R
v v v v
30 35 65 m/s
início do cruzamento
término do cruzamento
vA
vB
B
B
A
A
10 s
Funções: Após o cruzamento: B → s (^) B 5 s (^0) B^01 v tB s (^) B 5 sAA
B A A
s t A s s s
A
13t 200 7t v tA 20t 200
22 7t t 5 10 s
3 Num dia sem vento e com chuva, um carro desloca-se numa trajetória retilínea em uma estrada. Se a
velocidade da chuva em relação ao carro é o dobro da velocidade da chuva em relação à estrada, a velocidade do carro em relação à estrada é cerca de:
a) 25% maior que a velocidade da chuva em relação à estrada.
b) 50% maior que a velocidade da chuva em relação à estrada.
c) 70% maior que a velocidade da chuva em relação à estrada.
d) 80% maior que a velocidade da chuva em relação à estrada.
e) 100% maior que a velocidade da chuva em relação à estrada.
4 (Unoesc-SC) Uma pessoa está tendo dificuldades em um rio, mas observa que existem quatro bóias
flutuando livremente em torno de si. Todas elas estão a uma mesma distância dessa pessoa: a primeira à sua frente, a segunda à sua retaguarda, a terceira à sua direita e a quarta à sua esquerda. A pessoa deverá nadar para:
a) qualquer uma das bóias, pois as alcançará ao mesmo tempo.
b) a bóia da frente, pois a alcançará primeiro.
c) a bóia de trás, pois a alcançará primeiro.
d) a bóia da esquerda, pois a alcançará primeiro.
e) a bóia da direita, pois a alcançará primeiro.
Resolução: A velocidade da chuva em relação aao carro é a velocidade resultante, logo: v
→→ → → R 5 1 5 1
v v 2v v v
v
C, E CA, E C, E
2 ( ) (^) C, E CA, E 2 2
CCA, E C, E CA, E C, E C, E
3v v 1,73 73% v Al
2
v tternativa c.
Resolução: Pelo princípio da “Simultaneidade de Galileu” o tempo gasto é o mesmo para qualquer evento. Alternativa a.
B
6,0 m
8,0 m A
6 (UFMT) Um homem tem velocidade, relativa a uma esteira, de módulo 1,5 m/s e direção
perpendicular à da velocidade de arrastamento da esteira. A largura da esteira é de 30 m e sua velocidade de arrastamento, em relação ao solo, tem módulo igual a 2,0 m/s. Calcule:
a) o módulo da velocidade da pessoa em relação ao solo;
b) a distância percorrida pela pessoa, em relação ao solo, ao atravessar a esteira.
7 (UFPE) A escada rolante de uma galeria comercial liga os pontos A e B em pavimentos consecutivos,
com uma velocidade ascendente constante de módulo 0,50 m/s, conforme mostrado na figura. Se uma pessoa consegue descer contra o sentido de movimento da escada e leva 10 segundos para ir de B até A , pode-se afirmar que sua velocidade, em relação à escada, tem módulo, em m/s, igual a:
a) 0 d) 1, b) 0,50 e) 2, c) 1,
Resolução:
vH, E → velocidade do homem em relação à esteira vH, S → velocidade do homem em relação ao solo vE, S → velocidade da esteira em relação ao solo
a) v (^2) H, S 5 v^2 H, E 1 v^2 E, S v^2 H, S 5 1,5^2 1 2,0^2 →^ vH, S 5 2,5 m/s
b d t
t
) v (d largura da esteira)
1,
H, E 5
(^30) → tt
t
20 s
Portanto: d v d 2,5 20 50 m
H H, E H
v^ → E, S
v^ → H, E v^ → H, S
Resolução:
d^2 5 6,0^2 1 8,0^2 d 5 10,0 m
v (^) E, S → velocidade da escada em relação ao so llo 0,50 m/s Pessoa descendo v v
E, S
P, S P, E
v (^5)
v
v 0,
Como d 10 m 10 10
v
E, S
P, E
P, E
d 10
v (^) P, E 5 1,5 m/s
6,0 m
8,0 m
d
2,5 m/s 50 m
p. 24
8 (FEI-SP) Um bombeiro deseja apagar um incêndio em um edifício. O fogo está a 10 m do chão. A
velocidade da água é v 5 30 m/s, e o bombeiro segura a mangueira com um ângulo de 30° em relação ao solo. (Obs.: desprezar a altura da mangueira ao solo.)
a) Qual é a distância máxima entre o bombeiro e o edifício?
b) Qual é a altura máxima que a água atinge nessas condições?
9 Um foguete sobe inclinado, fazendo com a vertical um ângulo de 60°. Uma de suas partes se
desprende a uma altura de 1 000 m do solo, quando sua velocidade é 1 440 km/h. A aceleração da gravidade ao longo de toda a trajetória é constante e vale g 5 10 m/s^2. Determine a altura máxima, em relação ao solo, atingida pela parte que se desprendeu.
30° 0
v^ →
30 3 m 11,25 m
30°
vB � 30 m/s
0
10 m
Resolução: a)
Componentes retangulares do vetoor velocidade:
v v cos 30° 3 m/s
v
(^0) x^5 05 30?^5
(^00) y v 0 sen 30°^ 15 m/s Tempo que a água
leva para atingir 10 m de altura: s (^) y 5 s (^0) y 1 v 00
2
yt^ 15t
5t 15t
1 s ou
g t^2 t^2
t
t
55 2 s
De acordo com a proposta, devemos considerarr o maior intervalo de tempo, pois a água, jjá tendo passado pela altura máxima, terá o mmaior alcance. A v t 3
b) Na alt
(^5 0) x? → A 5 15? 2 530 3 m
uura máxima (v 0): 2g s
y 5 v (^) y^2 5 v (^02) y^2 → 0 5 152 2 20 ?Hmmáx →
H (^) máx 5 11,25 m
Resolução:
v v cos 60° 200 m/s
v v sen 60°
0 0
0 0
x
y
? 5 200 3 m/s
Na altura máxima, v
2g s
y 5 5 2 5
v (^) y vy → (( )
2 2 0 3 0
40 000 20 s 120 000 20 s s 6
s
0 000 m H (^) máx. 5 1 000 1 6 000 5 7 000 m
v 0 � 400 m/s
1 000 m
vy � 0
Hmáx
60° g^ →
7 000 m
12 (EsPCEx-SP) Uma bola é lançada do solo, com uma velocidade inicial de módulo v que faz um ângulo
com a superfície do terreno, que é plana e horizontal. Desprezando a resistência do ar, considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s^2 e 0° , , 90°, podemos afirmar, em relação à bola, que:
a) no ponto mais alto da trajetória, a sua aceleração é nula.
b) no ponto mais alto da trajetória, a sua velocidade é nula.
c) quanto maior o valor de , maior será o seu alcance.
d) ela descreve um movimento uniforme ao longo da direção vertical.
e) a direção e o sentido da sua aceleração são constantes.
O enunciado a seguir se refere aos testes 13 e 14.
(PUC-SP) Um atleta lança um dardo de tal maneira que o ângulo de lançamento determina que as componentes retangulares da velocidade tenham módulos iguais: vx 5 vy 5 10 m/s. Os gráficos vx x t e vy x t, mostrados na figura, consideram o tempo total de vôo do dardo, ou seja, desde o lançamento até atingir o plano horizontal que passa pelo ponto de lançamento. Despreze a resistência do ar e considere g 5 10 m/s^2.
13 O alcance horizontal do dardo, no lançamento, foi:
a) 5,0 m c) 40 m e) 20 m
b) 3,0 m d) 10 m
0
� 10
10
vy (m/s)
0,1 0,2 t (s)^0
10
vx (m/s)
0,2 t (s)
14 A altura máxima atingida pelo dardo foi:
a) 2,0 m c) 4,0 m e) 3,0 m
b) 1,0 m d) 5,0 m
Resolução: y
x
g^ →
Resolução: O tempo de queda é 2 s. x 5 10t → x 5 10? 2 5 20 m
Só existe a aceleração da gravidade; portanto, a direção e o sentido da aceleração são constantes. Alternativa e.
Resolução: y 5 10t 2 5t^2 → y 5 10? 1 2 5? 1 → y 5 5 m
15 (Unicamp-SP) Um menino, andando de skate com velocidade v 5 2,5 m/s num plano horizontal, lança
para cima uma bolinha de gude com velocidade v 5 4,0 m/s e a apanha de volta. (Considere g 5 10 m/s^2 .)
a) Esboce a trajetória descrita pela bolinha em relação à Terra.
b) Qual é a altura máxima que a bolinha atinge?
c) Que distância horizontal a bolinha percorre?
16 Um corpo é lançado obliquamente para cima, formando um ângulo de 30° com a horizontal.
Sabendo que o tempo de permanência no ar é 6 s, calcule o módulo da velocidade de lançamento desse corpo. (Adote g 5 10 m/s^2 .)
Resolução: a)
b) v (^) y 5 4 2 10t e y 5 4t 2 5t^2 Na altura máxima v (^) y 5 0. 0 5 4 2 10t → t 5 0,4 s y 5 4?^ 0,4^2 5?^ (0,4)^2 →^ y^5 1,6^2 5?^ 0,16^ →^ y^5 0,8 m c) O tempo para o menino pegar a bolinha é: 0 5 4t 2 5t^2 → 0 5 t(4 2 5t) → t 5 0 ou t 5 0,8 s (não serve) O alcance é: x 5 2,5t → x 5 2,5? 0,8 5 2 m
trajetória
x
y
4 m/s
2,5 m/s
30°
s (^0) y
v (^0) x
v 0
y
x
Resolução:
y 5 y 0 1 v t (^0) y 1 1 gt 2 y 5 v 0?? t 2 t 2
→ sen 30° 522
0
No solo, s 0 e t 6 s; logo:
0
5 v?? 2? →→ 3 0 180
0
v
v
5 60 m/s
0,8 m 2 m
60 m/s
0
18 (UEM-PR) Uma pedra é lançada com um ângulo de 45° em relação ao eixo horizontal x e na direção
positiva de x. Desprezando-se a resistência do ar, quais dos gráficos melhor representam a componente horizontal da velocidade (vx) versus tempo (t) e a componente vertical da velocidade (vy) versus tempo (t), respectivamente?
vx versus t vy versus t a) I IV b) II I c) II III d) II V e) IV V
v^ I
(^0) t
IV V
v II^ III
(^0) t
v
(^0) t
v
(^0) t
v (^0) t
p. 29
19 (Fuvest-SP) Um motociclista de motocross move-se com velocidade v 5 10 m/s, sobre uma
superfície plana, até atingir uma rampa (em A ), inclinada 45° com a horizontal, como indicado na figura.
45°
D
g H
A
v^ →
A trajetória do motociclista deverá atingir novamente a rampa a uma distância horizontal D (D 5 H), do ponto A , aproximadamente igual a: a) 20 m b) 15 m c) 10 m d) 7,5 m e) 5 m
Resolução: 5 45° → alcance máximo y
45° x
v^ → 0
Em relação ao eixo horizontal x , a velocidade é constante, (MU) – (gráfico II), e em relação ao eixo vertical y , a velocidade é variável (MUV), a aceleração é negativa e a função é decrescente (gráfico III). Alternativa c.
Resolução: v v t x D D D H y
y g t
10 m/s x 10t
0
22
10t (5) t 2t
2 s 10 20 m
2
t
t t D H
DD 5 20 m
20 (Fameca-SP) De um avião descrevendo uma trajetória paralela ao solo, com velocidade v , é
abandonada uma bomba de uma altura de 2 000 m do solo, exatamente na vertical que passa por um observador colocado no solo. O observador ouve o “estouro” da bomba no solo depois de 23 segundos do lançamento da mesma.
(Dados: aceleração da gravidade: g 5 10 m/s^2 ; velocidade do som no ar: 340 m/s.) A velocidade do avião no instante do lançamento da bomba era, em quilômetros por hora, um valor mais próximo de:
a) 200 c) 180 e) 150
b) 210 d) 300
Resolução:
Ao abandonar o avião, a bomba apresenta, na direção horizontal, movimento uniforme, com velocidade v. Assim: x 5 v t O observador ouve o “estouro” depois de 23 s do lançamento. Simultaneamente ao movimento horizontal, a bomba cai de uma altura y em queda livre.
y g t
t t
2
2
5t
20 s
2
O observador ouve o “estouro” 23 s depois do lançamento. Portanto, o som caminha por 3 s (23 s 2 20 s 5 3 s). x v t x x v v
1 020 m 1 020 51 m/s v 3
51 ,,6 183,6 km/h 180 km/h
v
y
x
2 000 m
x
24 (AFA-SP) O hodômetro de um automóvel é um aparelho que mede a distância percorrida. Na
realidade, esse aparelho é ajustado para fornecer a distância percorrida através do número de voltas e do diâmetro do pneu. Considere um automóvel cujos pneus, quando novos, têm diâmetro D. Suponha que os pneus tenham se desgastado e apresentem 98% do diâmetro original. Quando o velocímetro assinalar 100 km/h, a velocidade real do automóvel será:
a) 104 km/h c) 98 km/h
b) 102 km/h d) 96 km/h
25 Um satélite de comunicação fica parado em relação à Terra. Determine o período e a freqüência do
movimento desse satélite.
26 Faça a distinção entre período e freqüência de um movimento circular.
T 5 864 00 s 5 2 4 h; f 5 1 86 400
Hz
Resolução: A velocidade registrada é: v 5 2 πRf Isso significa que para a mesma freqüência, se houver uma redução do raio, a velocidade registrada será menor, ou seja: antes v 1 5 2 πR 1 f depois v 2 5 2 πR 2 f v v
R
R
v
v
2 1
2 1 2
2
0,98 R
R
98 km/h
1 1
Resolução:
f T
T f
1 min —— 60 s 1 h —— 60 minn 1 h —— 60 3 600 s 1 dia —— 24 h 1 dia ——
224 86 400 s 400 s 24 h
f 1 86 400
H
T
T
zz
Resolução: No movimento circular uniforme, o período significa o intervalo de tempo necessário para completar uma volta, e a freqüência significa a quantidade de voltas completadas em determinada unidade de tempo.
27 (PUC-SP) Uma partícula percorre uma trajetória circular de raio 20 cm, com velocidade constante de
40 cm/s. A velocidade e a aceleração angulares da partícula valem, respectivamente:
a) 2 rad/s e 0 c) 0 e 2 rad/s 2 e) 4 rad/s e 2 rad/s 2
b) 2 rad/s e 2 rad/s 2 d) 2 rad/s e 4 rad/s 2
p. 37
28 (Furg-RS) Um carro faz uma curva de 80 m de raio, com velocidade de módulo constante igual a
72 km/h. Podemos afirmar que sua aceleração é: a) zero m/s 2 c) 0,9 m/s 2 e) 5 m/s 2
b) 0,5 m/s 2 d) 4 m/s 2
29 (Vunesp-SP) O pneu de um automóvel tem aproximadamente 0,50 m de diâmetro. A freqüência de
rotação desse pneu, em hertz, quando o automóvel está a 108 km/h, é de:
(adote π 5 3,0 para facilitar os cálculos): a) 50 c) 15 e) 5
b) 20 d) 10
Resolução:
5 v 5 5 R
2 rad/s
Como a velocidade é constante, a aceleração é zero.
Resolução:
72 km h
3,6 20 m/s
v co
km h
m s
5
5 nnstante a v R
5 m/s
t (^2 )
2 a (^) cp
Resolução: A velocidade linear de um ponto da periferia do pneu, em relação ao centro da roda, tem o mesmo módulo da velocidade do carro.
v s t f
2 R
T
2 fR
30 3,0 0, f 20 Hz
π (^) π
32 (UFMA) Um carro de Fórmula 1 desloca-se com velocidade constante de 306 km/h, num determinado
trecho reto do circuito. Considerando o diâmetro dos pneus igual a 60 cm e sem deslizamento, o número de rotações por minuto executado pelos pneus é, aproximadamente:
a) 2 900 c) 2 807 e) 3 107
b) 2 707 d) 3 000
33 (UMC-SP) Se apenas a direção da velocidade de um corpo variar, o módulo da sua aceleração será
constante quando se tratar de um movimento: a) retilíneo e uniforme. d) retilíneo e uniformemente retardado.
b) retilíneo e uniformemente acelerado. e) curvilíneo qualquer e acelerado.
c) circular e uniforme.
Resolução:
306 km h
3,6 85 m/s
Diâmetro 60 cm
→ D 5
RR D
30 cm 0,30 m
v 2 R T
85 3,14^0
5?^?
π (^) π
T
T s
f T
rps
f
60 2 707 rpm
Resolução: A componente centrípeta da aceleração vetorial é responsável pela variação da direção da velocidade. Portanto, o movimento que tem módulo da velocidade constante e direção variável é o movimento circular uniforme. Alternativa c.
34 (AFA-SP) A figura representa uma curva plana de um circuito de Fórmula 1.
Se, durante uma corrida, um piloto necessitar fazer tal curva com velocidade elevada, evitando o risco de derrapar, deverá optar pela trajetória representada em qual alternativa? a) c)
b) d)
35 (UFPE) Uma bicicleta, cujo raio da roda é de 0,50 m, desloca-se em linha reta com velocidade escalar
constante de 4,0 m/s.
Considere o ciclista como referencial e analise as proposições que se seguem: (1) Um ponto da periferia da roda tem aceleração centrípeta com módulo igual a 32 m/s^2.
(2) A velocidade angular de um ponto da periferia da roda tem módulo igual a 8,0 rad/s.
(3) A roda realiza duas voltas por segundo.
(4) A velocidade angular de um ponto a meia distância entre o eixo e o aro da roda tem módulo igual a 4,0 rad/s.
(5) A velocidade linear de um ponto situado a meia distância entre o eixo e o aro da roda tem módulo igual a 2,0 m/s.
Estão corretas apenas:
a) (1), (2) e (5) c) (1) e (5) e) (1), (4) e (5)
b) (1) e (2) d) (2), (3) e (5)
Resolução: Menor raio, maior aceleração centrípeta. Portanto, maior resultante centrípeta. Alternativa a.
Resolução:
- (C) a
v R
cp (m/s )^32
2 2 5 5 2 5 ,,0 m/s
- (C) v R
(rad/s) 8,0 rad/s
2
3 3) (F) 2 f
8,0 2 f 4,0 Hz
π
π → π
f
- (F) 5 5 8,0 rad/s, pois a velocidade angullar é a mesma para todos os pontos da roda qque estão girando.
- (C) Como v 5 R, sendo oo mesmo para todos os pontos, então v e R sãão proporcionais. R 2
R 5 → v 5 v 5 (m/s) 5 2, 2
m/s
38 Um automóvel cujos pneus têm diâmetro externo de 52 cm percorre, com velocidade constante,
483,6 m em 1 minuto. Desprezando sua deformação, determine o período do movimento de rotação desses pneus. (Adote π 5 3,1.)
39 (Unicamp-SP) O gráfico representa, em função do tempo, a altura em relação ao chão de um ponto
localizado na borda de uma das rodas de um automóvel em movimento.
Aproxime π 3,1. Considere uma volta completa da roda e determine: a) a velocidade angular da roda;
b) a componente vertical da velocidade média do ponto em relação ao chão;
c) a componente horizontal da velocidade média do ponto em relação ao chão.
0,0 (^) 0,
0, 0, 0,
0,2 0,3 tempo (s)
altura (m)
Resolução: a) De acordo com o gráfico, a roda dá uma volta completa a cada 0,1 s e o raio da roda tem metade da altura máxima atingida, ou seja, R 5 0,3 m. Logo, como o período é 0,1 s, a freqüência é 10 Hz: 5 2 πf → 5 2? (3, 1)? (10) → 5 62 rad/s b) A velocidade vertical média leva em consideração o deslocamento no tempo. Como nos movimentos ascendente e descendente o deslocamento foi nulo, a velocidade vertical média é nula. c) Já o deslocamento horizontal existiu, valendo: 1 volta: 2πR 5 2? (3, 1)? (0,3) 5 1,86 m Portanto, a velocidade horizontal média será:
v s t m 5 vm
18,6 m/s
Resolução: Dados: D 0,52 m e R 0,26 m s 483,
5 6 6 m t 1 min 60 s 3,
v R 2 T
R
s vt 483
π
π
s 0 → ,,6 8,06 m/s
8,06 2(3,1)^ 0, T
5?^5
v v
T
5 0,2 s
0,2 s
62 rad/s zero 18,6 m/s
0
40 O ponteiro dos minutos de um relógio mede 50 cm.
a) Qual a velocidade angular do ponteiro?
b) Qual a velocidade linear da extremidade do ponteiro?
41 (Vunesp-SP) O comprimento da banda de rodagem (circunferência externa) do pneu de uma bicicleta
é de aproximadamente 2 m.
a) Determine o número N de voltas (rotações) dadas pela roda da bicicleta, quando o ciclista percorre uma distância de 6,0 km.
b) Supondo que essa distância tenha sido percorrida com velocidade constante de 18 km/h, determine, em hertz, a freqüência de rotação da roda durante o percurso.
42 (Unifei-SP) As pás de um ventilador possuem comprimento L 5 0,25 m. Sabendo-se que o ventilador
gira com freqüência constante de 600 rotações por minuto, qual é a aceleração de um ponto na extremidade da pá? a) 100 π^2 m/s^2 c) 50 π^2 m/s^2 e) 0 π^2 m/s^2
b) 80 π^2 m/s^2 d) 25 π^2 m/s^2
π 36
cm/s
π 1 800
rad/s
Resolução: a) Dados: R 50 cm T 1 h 60 min 3 600
5 5 5 s 2 T
rad/s
b) v R 1 00
π (^) → π
π
→ v π 8
v 36
π cm/s
Resolução: a) O comprimento da circunferência é dado por C 5 2 R, e a cada volta o ciclisπ tta percorre 2 m, ou seja: 1 volta —— 2 m x ——— 6 000 m
3 000 voltas
b) R, em que 2 f
v
x
v
5 5 π
55 5
5 5
5 5
18 km h
R
5 m/s
s 2 fR, em que C 2 R e
R 2 R
π π
π → 11
s 2 f 1 2,5 Hz
π π π
m
5? f 5
Resolução: Sendo L 5 0,25 m e f 5 600 rpm 5 10 rps,, temos:
a R
( R)
R
cp R^ (2 f) R^4
(^2 2 2 ) 5 v^5 ^ 5 a (^) cp 5 5
2 → π π ff R
4 10 0, 100 m/s
2
2 2 2 2
a a
cp cp
π π
3 000 voltas
2,5 Hz
