Baixe Matemática Básica - Unidade 7: Resolvendo Equações de Grau 2 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática Elementar, somente na Docsity!
Questão 1: Baseado na figura abaixo, encontre x de modo que a área do quadrado seja igual à área do retângulo.
Questão 2: A equação h = 5 t^2 +30 t representa a relação entre a altura, h , em metros, de um corpo lançado e o tempo, t , em segundos, decorrido após o lançamento do corpo.
a) Determine quanto tempo o corpo gasta para atingir o solo após o lançamento. b) Levando em consideração que o tempo de subida do corpo é igual ao tempo de descida, determine a altura máxima atingida no lançamento.
Atividade 6: Podemos agora discutir a questão das soluções de uma equação do tipo x^2 = a , quando a > 0.
a) Manipule a expressão x^2 = a até chegar a ( x a )( x + a ) = 0.
b) Conclua que as únicas soluções da equação x^2 = a são a e a.
Fórmula de Báskara
Vamos nos focar agora na equação do 2º grau: ax^2 + bx + c = 0, com a 0. Você sabe por que pedimos a condição a 0? O que aconteceria se tivéssemos a = 0? Basta substituir o valor para verificar que a equação ficaria reduzida a uma equação do 1º grau.
Atividade 7: Transforme a equação dada para o formato normal de uma equação do 2º grau. Dê a resposta especificando os coeficientes, a , b e c , da equação encontrada. (1) 3 x^2 – 3 + x = 2 + 5 x – x^2 ; (2) x^2 + 3 x = 3 x + 2;
(3) x^2 – x^3 – 1 = x (2 – x^2 ); (4)^23
3 2 x xx x .
x
x
2
Nem toda expressão polinomial é passível de ser fatorada segundo as propriedades de fatoração vistas nesta unidade. Por exemplo, x^2 – 5 x + 6 pode ser fatorada como x^2 – 5 x + 6 = ( x – 2)( x – 3). Contudo, não é possível aplicar qualquer das propriedades de fatoração e obter imediatamente a expressão fatorada. (Verifique, leitor, usando a propriedade distributiva, que o desenvolvimento da expressão ( x – 2)( x – 3) leva à expressão x^2 – 5 x + 6.) Por que é importante se preocupar com a fatoração de uma expressão polinomial? Já vimos na atividade 4 que podemos usar a fatoração para resolver equações. Por exemplo, se quisermos resolver a equação x^2 – 5 x + 6 = 0, a técnica de tentar isolar a variável x , usada para equações do 1º grau, não funciona (experimente, leitor, tentar isolar x nesta equação). A melhor estratégia é tentar fatorar a expressão x^2 – 5 x + 6. Bom, neste caso, já sabemos que x^2 – 5 x + 6 = ( x – 2)( x – 3). Assim, resolver a equação x^2 – 5 x + 6 = 0 é equivalente a resolver a equação ( x – 2)( x – 3) = 0. Portanto, devemos ter x – 2 = 0 ou x – 3 = 0. Ou seja, as soluções da equação x^2 – 5 x + 6 = 0 são x = 2 e x = 3. É importante notar que nem toda equação do 2º grau pode ser resolvida no conjunto dos reais, ao contrário das equações do 1º grau que sempre têm solução real. Por exemplo, é evidente que a equação x^2 + 1 = 0 não tem solução real. Neste caso, não se analisa a fatoração da expressão. De fato, saber que uma expressão não pode ser fatorada de modo algum não é uma tarefa nada simples. O que torna evidente saber que esta equação não tem solução no conjunto dos reais é a análise dos valores da expressão. Devemos notar em primeiro lugar que x^2 ≥ 0, qualquer que seja o valor de x . Então, x^2 + 1 é sempre um valor estritamente positivo, maior do que zero. Assim, a equação x^2
- 1 = 0 não pode ser resolvida no conjunto dos reais. Pode-se notar também que x^2 + 1 = 0 é equivalente a x^2 = 1, que claramente não tem solução em , pois x^2 ≥ 0. Felizmente, existe uma fórmula geral que serve para se verificar imediatamente se uma equação do 2º grau tem solução real ou não e, mais ainda, também serve para a determinação da solução da equação dada, caso se verifique a sua existência.
Atividade 8: Considere a equação ax^2 + bx + c = 0, com a 0. Verifique que tanto x 1 =
a
b b ac 2
^2 (^4) quanto x 2 = a
b b ac 2 ^2 ^4 satisfazem a equação dada. (Ou seja,
usadas não servem para qualquer tipo de expressão, nem diz quando uma expressão não pode ser fatorada. De fato, se ax^2 + bx + c é fatorável, a fatoração só pode ser do tipo ax^2 + bx + c = a ( x x 1 )( x x 2 ). Neste caso, a equação ax^2 + bx + c = 0 é equivalente à equação a ( x x 1 )( x x 2 ) = 0, o que significa que x 1 e x 2 são soluções da equação. Ou seja, ax^2 + bx + c pode ser fatorado se, e somente se, ax^2 + bx + c = 0 tem solução.
Atividade 10: a) Verifique que sempre vale a relação ax^2 + bx + c = a ( x x 1 )( x x 2 ), onde x 1 e x 2 são as raízes de ax^2 + bx + c = 0, com a 0 (use as expressões de x 1 e x 2 dadas por Baskara e desenvolva a expressão a ( x x 1 )( x x 2 )). b) As raízes de um polinômio do 2º grau podem ser usadas para fatorá-lo. Mais precisamente, se x 1 e x 2 são raízes da equação ax^2 + bx + c = 0, com a 0, então vale que ax^2 + bx + c = a ( x x 1 )( x x 2 ).
(i) Verifique que 1 e 31 são as raízes da equação 3 x^2 + 2 x 1 = 0 e que vale a
relação 3 x^2 + 2 x 1 = 3( x + 1)( x 31 ). (ii) Determine as raízes x 1 e x 2 de 2 x^2 14 x + 12 = 0 e verifique que vale a seguinte fatoração 2 x^2 14 x + 12 = 2( x x 1 )( x x 2 ). (iii)Obtenha uma fatoração para o polinômio x^2 + 11 x +28. (iv) Simplifique a expressão 2 912
2
x x x.
Sabemos que se x 1 e x 2 são as raízes de ax^2 + bx + c = 0, com a 0, vale a relação ax^2 + bx + c = a ( x x 1 )( x x 2 ). Além de ser uma fórmula de fatoração, esta pode nos dar outras informações importantes. Vamos desenvolver o segundo membro da equação: a ( x x 1 )( x x 2 ) = a ( x^2 ( x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 ) = ax^2 a ( x 1 + x 2 ) x + ax 1 x 2. Assim, temos ax^2 + bx + c = ax^2 a ( x 1 + x 2 ) x + ax 1 x 2 , donde b = a ( x 1 + x 2 ) e c = ax 1 x 2 , donde:
a x x b 1 2 e a x x c
Conhecer estas últimas relações pode ajudar em alguns problemas.
Atividade 11: a) Calcule a soma e o produto das raízes de x^2 34 x + 11 = 0. b) Calcule a soma dos inversos das raízes da equação x^2 + 4 x + 1 = 0, sem resolvê-la. c) Encontre dois números cuja soma seja 4 e o produto seja 1.
Resposta das atividades
Desafio: x^2 + x = x.x + x .1 = x ( x + 1) – o importante aqui é perceber que o termo x pode ser visto como um produto, x = x .1.
Atividade 1 – solução: a) ( a + b ) c = ac + bc – neste caso, deve-se imaginar a base do retângulo, que está dividida, como medindo a + b e a altura medindo c. ( a + b + c ) d = ad + bd + cd. b) A representação de um número como uma área pode ocorrer quando vemos este número como um produto, pois aí encontramos a base e a altura do retângulo. Por exemplo, podemos ver o 6 como um retângulo de base 2 e altura 3, pois 6 = 2.3. Também podemos ver o 6 como um retângulo de base 6 e altura 1, pois 6 = 6.1. Dado um valor a , sempre temos a = 1. a = a .1, donde a pode ser visto como um retângulo de base 1 e altura 6 ou como um retângulo de base 1 altura 6.
Atividade 2 solução:
a) x^2 2 x = x ( x 2)
b) x^2 x = x. x x .1 = x ( x 1) (muita gente se complica com esta expressão, esquece que é possível fazer a transformação x = x .1, o que permite realizar a fatoração)
c) x^4 x^2 x + 1 = ( ) ( ) ( )( 1) d) x^2 + x + 0,25 = ( x^2 + 2. x .0,5 + 0,25) = ( x + 0,5)^2
a
1^ a
