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Cap´ıtulo 9
Ferromagnetismo
15 de novembro de 2011
1 Introdu¸c˜ao
As substˆancias ferromagn´eticas s˜ao caracterizadas por possu´ırem uma mag- netiza¸cao que pode persistir mesmo na ausˆencia de um campo magn´etico, denominada magnetiza¸c˜ao espontˆanea. Esse comportamento ´e bem diferente daquilo que ocorre numa substˆancia paramagn´etica em que a magnetizac˜ao s´o aparece quando se aplica um campo magn´etico. Quando o camp se anula, a magnetiza˜ao desaparece. Se uma substˆancia ferromagn´etica for aquecida a temperaturas suficien- temente altas ela perder´a a magnetiza¸c˜ao espontˆanea e se comportar´a como uma substˆancia paramagn´etica. Ou seja, ocorre uma transi¸c˜ao da fase fer- romgn´etica para a fase paramagn´etica. Na figura 1 mostramos a magne- tiza¸c˜ao M como fun¸c˜ao do campo H para v´arias temperaturas. Para tem- peraturas baixas, M → M ∗^6 = 0 quando H → 0. Para temperaturas altas, M → 0 quando H → 0. Existe uma temperatura cr´ıtica Tc abaixo da qual a substˆancia ´e ferromagn´etica e acima da qual ela ´e paramagn´etica. Uma substˆancia magn´etica que a baixas temperaturas se pode ser en- contrada no estado ferromagn´etico pode ser entendido como uma cole¸c˜ao de dipolos microsc´opicos interagentes. A teoria que explica a origem dos dipo- los magn´eticos microsc´opicos e das intera¸c˜oes entre eles enconra-se na fisica atˆomica e envolve conceitos da mecˆanica quˆantica fora do escopo e prop´osito desse curso. Vamos considerar aqui apenas a origem do comportamento co- letivo dos dipolos, que conduz ao ordenamento ferromagn´etico.
M
H
Figura 1: Magnetiza¸c˜ao M versus campo magn´etico H para v´arias tempera- turas
2 Modelo de Ising
Vamos aqui utilizar um modelo muito simples, introduzido por Lenz e Ising em 1925 e conhecido como modelo de Ising, para descri¸c˜ao do ferromagne- tismo. Considere uma rede cristalina formada por N ´atomos magn´eticos. Cada ´atomo possui um momento de dipolo magn´etico que toma somente dois valores: +μ ou −μ. Se associarmos ao ´atomo i a vari´avel de spin σi que toma os valores +1 (spin para cima) e −1 (spin para baixo), ent˜ao o momento de dipolo magn´etico do ´atomo i ser´a igual a μσi. Assim, o estado microsc´opico total do sistema ser´a descrito pelo vetor σ = (σ 1 , σ 2 ,... , σN ). A magnetiza¸c˜ao total M de um estado microsc´opico σ ´e dada por
M (σ) = μ
∑
i
σi. (1)
Em seguida consideramos a energia de intera¸c˜ao entre ´atomos. Vamos supor que haja intera¸c˜ao somente entre ´atomos vizinhos. Suponha que i e j sejam dois ´atomo vizinhos. Adotaremos ent˜ao a seguinte energia de intera¸c˜ao entre eles −Jσiσj (2)
onde J > 0 , ou seja, se os momentos magn´eticos forem paralelos (os dois com spins para cima ou os dois com spins para baixo) a energia ser´a −J se forem antiparalelos (um com spin para cima e o outro com spin para baixo) a energia ser´a +J. Essa intera¸c˜ao favorece o alinhamento paralelo dos momentos de
3 Modelo unidimensional
Vamos analisar aqui o modelo de Ising para o caso unidimensional. Primeiro consideramos o caso de campo nulo. Considere uma cadeia de N ´atomos numerados de 1 a N. Temos
E (σ) = −J(σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 4 +... + σN − 1 σN ) (11)
onde a soma se estende sobre todos os pares de ´atomos vizinhos da rede. Utilizando a representa¸c˜ao grande canˆonica e para campo nulo, H = 0, temos
Ξ =
∑
σ 1 =± 1
∑
σ 2 =± 1
∑
σN − 1 =± 1
∑
σN =± 1
eβJ(σ^1 σ^2 +σ^2 σ^3 +σ^3 σ^4 +...+σN^ −^1 σN^ )^ (12)
que pode ser escrita como
Ξ =
∑
σ 1 =± 1
∑
σ 2 =± 1
∑
σN − 1 =± 1
eβJ(σ^1 σ^2 +...+σN^ −^2 σN^ −^1 )^
∑
σN =± 1
eβJσN^ −^1 σN^ (13)
Tendo em vista que ∑
σN =± 1
eβJσN^ −^1 σN^ = eβJσN^ −^1 + e−βJσN^ −^1 = 2 cosh βJσN − 1 (14)
e que esse resultado ´e independente de σN − 1 pois essa vari´avel toma os valores ±1 e a fun¸c˜ao cosseno hiperb´olico ´e par ent˜ao
Ξ = 2 cosh βJ
∑
σ 1 =± 1
∑
σ 2 =± 1
∑
σN − 1 =± 1
eβJ(σ^1 σ^2 +...+σN^ −^2 σN^ −^1 )^ (15)
Repetindo esse procedimento v´arias vezes obtemos
Ξ = (2 cosh βJ)N^ −^1
∑
σ 1 =± 1
e portanto Ξ = 2(2 cosh βJ)N^ −^1 (17)
Logo ln Ξ = (N − 1) ln(2 cosh βJ) + ln 2 (18)
ou, retendo apenas os termos proporcionais a N,
ln Ξ = N ln(2 cosh βJ) (19)
Da´ı obtemos a energia interna
U = −
∂β
ln Z = −N J tanh βJ (20)
e a capacidade t´ermica a campo nulo
C =
∂U
∂T
= N
( J
kT
) 2 ( sec h
J
kT
) 2 (21)
4 Matriz de transferˆencia
Na se¸c˜ao anterior determinamos as propriedades do modelo de Ising unidi- mensional a campo nulo. Nesta se¸c˜ao determinamos a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do modelo unidimensional para campos n˜ao nulos. Usamos o m´etodo da matriz de transferˆencia para que ´e bastante importante pois pode ser utilizado para modelo de mais estados e para outros problemas. Vamos considerar o modelo de Ising na presen¸ca de um campo externo cuja energia ´e dada por
E (σ) = −J(σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 +... + σN σ 1 ) (22)
e cuja magnetiza¸c˜ao vale
M (σ) = μ(σ 1 + σ 2... + σN ) (23)
A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao ser´a pois
Ξ = e−β[E^ −HM^ ]^ (24)
ou
Ξ =
∑ σ 1 =± 1
∑ σ 2 =± 1
∑ σN =± 1
eβJ(σ^1 σ^2 +σ^2 σ^3 +...+σN^ σ^1 )+βHμ(σ^1 +σ^2 +...+σN^ )^ (25)
Definindo a matriz T cujos elementos T (σ′, σ) s˜ao dados por
T (σ 1 , σ 2 ) = eβJσ^1 σ^2 +βHμ(σ^1 +σ^2 )/^2 (26)
ou seja
T =
( eβJ+βHμ^ e−βJ e−βJ^ eβJ−βHμ
) (27)
Quando H = 0 vemos λ 1 = 2 cos βJ e encontramos o resultado obtido na se¸c˜ao anterior para Ξ. A energia livre de Gibbs vale
G = −kT ln Ξ = −N kT ln λ 1 (38)
a partir da qual obtemos a magnetiza¸c˜ao
M = −
∂G
∂H
= N kT
∂H
ln λ 1 (39)
Efetuando a derivada encontramos
M = N μ
eβJ^ sinh βHμ √ e^2 βJ^ (sinh βHμ)^2 + e−^2 βJ^
Portanto a magnetiza¸c˜ao se anula quanto H → 0 e o sistema n˜ao apresenta magnetiza¸c˜ao espontˆanea. Para campos pequenos o comportamento da magnetiza¸c˜ao ´e linear com o campo e ´e dado por M = N μe^2 βJ^ βHμ (41)
A susceptibilidade X = ∂M/∂H a campo nulo ´e pois
X = N μ^2 e^2 βJ^ β = N
μ^2 kT
e^2 J/kT^ (42)
5 Aproxima¸c˜ao de campo m´edio
Considere a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao canˆonica Z dada por
Z =
∑
σ:M
e−βE^ (σ)^ (43)
em que a soma se estende sobre todas as configura¸c˜oes σ tais que M (σ) = M onde M (σ) = μ
∑
i
σi (44)
e a energia E (σ) ´e dada por
E (σ) = −J
∑
(ij)
σiσj (45)
onde a soma se estende sobre os vizinhos proximos de uma rede regular. A aproxima¸c˜ao de campo m´edio consiste ´e feita em duas etapas. Na primeira etapa aproximamos E (σ) que aparece no expoente pelo seu valor m´edio U , isto ´e, Z =
∑
σ:M
e−βU^ = e−βU^
∑
σ:M
Para determinar a soma do lado direito procedemos como segue. Denota- mos por n o numero de spin para cima que aparece na configura¸c˜ao σ = (σ 1 , σ 2 , ldots, σN ), Se M ´e o valo da magnetiza¸c˜ao ent˜ao n se relaciona com M por M = μ(2n − N ) (47)
de modo que fazer uma soma em σ fixando o valor de M como sendo M ´e equivalente a fazer a soma fixando o valor total dos spins para cima como sendo n = (N + M/μ)/2. Mas
∑ σ:n
N!
n!(N − n)!
e portanto
Z = e−βU^
N!
n!(N − n)!
Tomando o logaritmo de Z,
ln Z = −βU + ln
N!
n!(N − n)!
e utilizando a f´ormula assint´otica de Stirling
ln Z = −βU + N ln N − n ln n − (N − n) ln(N − n) (51)
Devemos lembrar em seguida que U ´e a energia m´edia, isto ´e,
U = −J
∑
(ij)
〈σiσj 〉 (52)
como todas as m´edias s˜ao iguais ent˜ao
U = −J
N z 2
〈σiσj 〉 (53)
x
tanh x
T<T c
T>T c
Figura 2: As retas s˜ao dadas por y = (kT /Jz)x e a curva corresponde `a fun¸c˜ao y = tanh x .
Vamos resolver a equa¸c˜ao acima para o caso em que h se anula. Nesse caso temos a seguinte equa¸c˜ao
m = tanh βJzm (61)
Uma solu¸c˜ao trivial ´e m = 0. Entretanto, podem existir outras solu¸c˜oes. Definindo a vari´avel x = βJm temos
kT Jz
x = tanh x (62)
Colocando num gr´afico ambos os membros da equa¸c˜ao como fun¸c˜oes de x vemos que as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao acima s˜ao dadas pelo ponto de intersec¸c˜ao entre a reta kT x/Jz e a tangente hiperb´olica de x como se vˆe na figura 2 Al´em da origem a reta cruza a tangente hiperb´olica em outros dois pontos caso a inclina¸c˜ao da reta seja inferior `a inclina¸c˜ao da tangente hiperb´olica na origem, ou seja, quando kT Jz
Definindo a temperatura cr´ıtica Tc por
kTc Jz
vemos que haver´a magnetiza¸c˜ao espontˆanea quando T < Tc. Quando T > Tc s´o haver´a a solu¸c˜ao m = 0 e o sistema ser´a paramagn´etico. Para obter o comportamento de m pr´oximo ao ponto cr´ıtico expandimos o lado direito da equa¸c˜ao at´e termos de ordem m^3 pois m ´e pequeno ao redor de Tc Assim
m = βJzm −
(βJz)^3 m^3 (65)
Eliminando a solu¸c˜ao m = 0 e tendo em vista que T ≈ Tc, isto ´e, que βJz ≈ 1 , obtemos
m^2 = 3(1 −
T
Tc
Logo
m =
( 1 −
T
Tc
) 1 / 2 (67)
7 Susceptibilidade
Para obter a susceptibilidade χ = ∂m/∂h utilizamos a express˜ao
h = −Jzm +
kT 2
ln
1 + m 1 − m
e calculamos 1/χ = ∂h/∂m que ´e dada por
1 χ
= −Jz +
kT 1 − m^2
Vamos determinar a suceptibilidade a campo nulo, h = 0, acima e abaixo da temperatura cr´ıtica. Para isso consideramos os dois casos separadamente. Para h = 0 e T > Tc temos m = 0 e portanto 1/χ = kT − Jz ou seja
χ =
kT − Jz
k(T − Tc)
que ´e a lei de Curie-Weiss. Para T < Tc, substitu´ımos a express˜ao (66) para m^2 em (69) para obter o comportamento de χ logo abaixo de Tc que ´e dado por
χ =
2 k(Tc − T )
Vemos pois que a susceptibilidade diverge abaixo do ponto cr´ıtico de forma semelhante ao caso T > Tc. Ambos divergem de acordo com χ ∼ |T − Tc|−^1.
