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O Paramagneto de Dois Níveis
Rafa
May 4, 2025
1 Introdução: O Modelo do Paramagneto de Dois Níveis
O paramagnetismo é um fenômeno magnético observado em materiais que, na ausência de um campo magnético externo, não possuem magnetização líquida, mas que desenvolvem uma magnetização na direção do campo quando este é aplicado. Um modelo fundamental para entender esse comportamento é o paramagneto de dois níveis, que considera um sistema de N partículas magnéticas (como átomos ou elétrons) localizadas em posições fixas, cada uma possuindo um momento de dipolo magnético intrínseco que pode se alinhar paralela ou antiparalelamente a um campo magnético externo uniforme B⃗ = H zˆ (usaremos H para a magnitude do campo, como no arquivo original, embora B seja mais comum). Assumimos que as partículas são distinguíveis (devido às suas posições fixas) e não interagem entre si, exceto através do campo externo. Cada partícula possui um spin s = 1/ 2 , o que leva a dois estados quânticos possíveis para seu momento magnético na direção z: alinhado com o campo (spin "para cima", σj = +1) ou antialinhado com o campo (spin "para baixo", σj = − 1 ). Associado a esses estados, temos um momento magnético ±μ. A energia de interação de um único dipolo magnéticoμ⃗ (^) j com o campo H⃗ é dada por Ej = −μ⃗ (^) j · H⃗. Para os dois estados possíveis:
- Spin para cima (σj = +1): Momentoμ⃗ (^) j = +μzˆ, Energia E↑ = −(+μˆz) · (H zˆ) = −μH.
- Spin para baixo (σj = − 1 ): Momentoμ⃗ (^) j = −μzˆ, Energia E↓ = −(−μzˆ) · (H zˆ) = +μH.
O Hamiltoniano para uma única partícula pode ser escrito de forma compacta como Hj = −μHσj. Como as N partículas são independentes, o Hamiltoniano total do sistema é a soma dos Hamiltonianos individuais:
H =
X^ N
j=
Hj = −μH
X^ N
j=
σj
Um microestado do sistema é especificado pela orientação de cada um dos N spins (ex: {σ 1 , σ 2 ,... , σN }). Para caracterizar um macroestado, frequentemente usamos a energia total E ou a magnetização total M. Seja n 1 o número de spins para cima (energia −μH) e n 2 o número de spins para baixo (energia +μH). O número total de spins é fixo: N = n 1 + n 2. A energia total do sistema é a soma das energias de todos os spins: E = n 1 E↑ + n 2 E↓ = n 1 (−μH) + n 2 (+μH) = −(n 1 − n 2 )μH
A magnetização total M é a soma vetorial dos momentos magnéticos individuais. Como todos estão na direção z, ela é simplesmente a soma algébrica dos momentos na direção z:
M = n 1 (+μ) + n 2 (−μ) = (n 1 − n 2 )μ
Comparando as expressões para E e M, vemos a relação direta E = −M H. Isso significa que especificar a energia E (para um dado H) é equivalente a especificar a magnetização M. Podemos também expressar n 1 e n 2 em termos de N e E (ou M). Usando n 1 + n 2 = N e n 1 − n 2 = −E/(μH): Somando as equações: 2 n 1 = N −E/(μH) =⇒ n 1 = N 2 − 2 EμH. Subtraindo as equações: 2 n 2 = N +E/(μH) =⇒ n 2 = N 2 + (^2) μHE. Note que a energia mínima ocorre quando todos os spins estão para cima (n 1 = N, n 2 = 0), Emin = −N μH, e a energia máxima ocorre quando todos estão para baixo (n 1 = 0, n 2 = N ), Emax = +N μH. A energia E só pode assumir valores discretos múltiplos de 2 μH entre esses limites.
2 Análise no Ensemble Microcanônico
No ensemble microcanônico, consideramos o sistema isolado com número de spins N e energia total E fixos. A tarefa fundamental é calcular a multiplicidade Ω(N, E), que é o número de microestados distintos que correspondem a essa energia E.
2.1 Contagem de Microestados (Ω)
Conforme derivado acima, uma energia total E corresponde a ter n 1 = N/ 2 − E/(2μH) spins para cima e n 2 = N/2 + E/(2μH) spins para baixo. A multiplicidade Ω(N, E) é, portanto, o número de maneiras de escolher quais dos N spins totais estarão no estado "para cima" (os restantes n 2 estarão automaticamente "para baixo"). Este é um problema combinatório simples, dado pelo coeficiente binomial:
Ω(N, E) =
N
n 1
N!
n 1 !n 2!
N!
N 2 −^
E 2 μH
N 2 +^
E 2 μH
Este resultado é formalmente idêntico à multiplicidade do passeio aleatório unidimensional, substituindo n 1 (passos à direita) por n 1 (spins para cima) e N (passos totais) por N (spins totais).
2.2 Entropia (S) e Temperatura (T)
A entropia do sistema é dada pela fórmula de Boltzmann, S = kB ln Ω. Para sistemas macroscópicos (N grande), podemos usar a aproximação de Stirling, ln x! ≈ x ln x − x:
ln Ω(N, E) = ln(N !) − ln(n 1 !) − ln(n 2 !)
ln Ω ≈ (N ln N − N ) − (n 1 ln n 1 − n 1 ) − (n 2 ln n 2 − n 2 )
Como N = n 1 + n 2 , os termos lineares −N , +n 1 , +n 2 se cancelam, resultando em:
ln Ω ≈ N ln N − n 1 ln n 1 − n 2 ln n 2
Substituindo n 1 = N/ 2 − E/(2μH) e n 2 = N/2 + E/(2μH):
ln Ω(E) ≈ N ln N −
N
E
2 μH
ln
N
E
2 μH
N
E
2 μH
ln
N
E
2 μH
(A aproximação ln Ω ≈ N ln 2 mencionada no arquivo original é válida apenas quando E ≈ 0 , ou seja, n 1 ≈ n 2 ≈ N/ 2. Neste caso, ln Ω ≈ N ln N − (N/2) ln(N/2) − (N/2) ln(N/2) = N ln N − N ln(N/2) = N (ln N − ln N + ln 2) = N ln 2. Isso corresponde a Ω ≈ 2 N^ , que é o número total de estados possíveis, indicando que a maioria dos estados tem energia próxima de zero). A temperatura T é obtida a partir da derivada da entropia em relação à energia:
1 T
= (SE)N,H = kB ((ln Ω)E)N,H
Derivando a expressão completa para ln Ω(E) em relação a E, usando a regra do produto e a regra da cadeia:
(ln Ω)E = −E [n 1 ln n 1 ] − E [n 2 ln n 2 ]
= −
n 1 E ln n 1 + n 1
n 1
n 1 E
n 2 E ln n 2 + n 2
n 2
n 2 E
= −n 1 E(ln n 1 + 1) − n 2 E(ln n 2 + 1)
Calculando as derivadas de n 1 e n 2 em relação a E:
n 1 E = E
N
E
2 μH
2 μH
n 2 E = E
N
E
2 μH
2 μH
3.1 Função de Partição (Z)
Como os spins são independentes, a função de partição total ZN é o produto das funções de partição individuais Z 1 : ZN = (Z 1 )N
A função de partição para um único spin Z 1 é a soma sobre seus dois estados possíveis, ponderada pelo fator de Boltzmann:
Z 1 =
X
estados
e−βEestado^ = e−βE↑^ + e−βE↓^ = e−β(−μH)^ + e−β(+μH)
Z 1 = eβμH^ + e−βμH^ = 2 cosh(βμH)
Portanto, a função de partição total é:
ZN = (2 cosh(βμH))N^ = 2N^ coshN^ (βμH)
3.2 Energia Livre de Helmholtz (F)
A energia livre de Helmholtz F está relacionada à função de partição por F = −kB T ln ZN :
F = −kB T ln[(2 cosh(βμH))N^ ] = −N kB T ln(2 cosh(βμH))
A energia livre por partícula é f = F/N = −kB T ln(Z 1 ) = −kB T ln(2 cosh(βμH)).
3.3 Magnetização (M)
A magnetização média M pode ser obtida a partir da energia livre F através da relação termodinâmica M = −(∂F/∂H)T : M = − (F H)T = −H [−N kB T ln(2 cosh(βμH))]T M = N kB T H [ln(2 cosh(βμH))]T
Como T é constante, β = 1/(kB T ) também é constante na derivada parcial em relação a H:
M = N kB T
2 cosh(βμH) H(2 cosh(βμH))
M = N kB T
2 cosh(βμH)
· 2 sinh(βμH) · H(βμH)
M = N kB T
sinh(βμH) cosh(βμH) · (βμ)
M = N kB T tanh(βμH) ·
μ kB T
M = N μ tanh(βμH) = N μ tanh
μH kB T
Este resultado para a magnetização é idêntico ao obtido no ensemble microcanônico, confirmando a equivalência dos ensembles para este sistema no limite termodinâmico.
3.4 Entropia (S)
A entropia S pode ser calculada a partir de F usando S = −(∂F/∂T )H :
S = − (F T )H = −T
−N kB T ln(2 cosh(
μH kB T
H
S = N kB T
T ln(2 cosh( μH kB T
H
Usando a regra do produto:
S = N kB
1 · ln(2 cosh( μH kB T
)) + T
2 cosh( (^) kμHB T )
2 sinh( μH kB T
)T (
μH kB T
S = N kB
ln(2 cosh( μH kB T
)) + T tanh( μH kB T
μH kB
T 2
S = N kB
ln(2 cosh( μH kB T
μH kB T
tanh( μH kB T
Esta expressão dá a entropia do paramagneto em função da temperatura e do campo.
4 Esquema Visual da Configuração de Spins
Para visualizar um microestado do sistema paramagnético, podemos representar os N spins em suas posições fixas, indicando a orientação de cada um (para cima ou para baixo) na presença de um campo magnético externo H.
H⃗
Campo Externo
+μ +μ +μ +μ +μ +μ +μ
−μ −μ −μ Exemplo: N = 10 spins n 1 = 7 (spins ↑, energia −μH) n 2 = 3 (spins ↓, energia +μH) Energia Total E = −(n 1 − n 2 )μH = − 4 μH Magnetização Total M = (n 1 − n 2 )μ = 4μ
Figure 1: Esquema ilustrativo de um microestado de um paramagneto com N = 10 spins em um campo magnético externo H⃗. Neste exemplo, n 1 = 7 spins estão alinhados com o campo (para cima, vermelho) e n 2 = 3 spins estão antialinhados (para baixo, verde). A multiplicidade Ω(N, n 1 ) conta o número total de arranjos como este com n 1 spins para cima.
Este diagrama representa uma das
7
= (^) 7!3!10! = 120 configurações possíveis para N = 10 e n 1 = 7. Cada configuração tem a mesma energia E = −(7 − 3)μH = − 4 μH e a mesma magnetização M = (7 − 3)μ = 4μ. A análise estatística considera a probabilidade de ocorrência de cada macroestado (definido por E ou M) somando sobre todos os microestados correspondentes.
