Complementos de Análise Matemática B
MIEEIC, MIEC
2020/2021
Folha de Exercícios 5
Introdução às equações diferenciais parciais
Problemas com condições de fronteira: valores próprios e funções
próprias
1. Mostre que as funções sin(πx),sin(2πx),sin(3πx), ... são as funçõ es próprias
do problema de valores de fronteira
d2y
dx2+λy = 0, y(0) = y(1) = 0,
no intervalo [0,1].
2. Mostre que as funções 1,cos(πx),cos(2πx),cos(3πx), ... são as funções
próprias do problema de valores de fronteira
d2y
dx2+λy = 0, y′(0) = y′(1) = 0,
no intervalo de [0,1] .
3. Determine os valores próprios e as funções próprias dos seguintes proble-
mas de valores de fronteira.
(a) d2y
dx2+λy = 0, y(0) = 0, y′(l) = 0
(b) d2y
dx2−λy = 0, y′(0) = 0, y′(l) = 0
(c) d2y
dx2+λy = 0, y(0) −y′(0) = 0, y(π)−y′(π) = 0
(d) d2y
dx2+λy = 0, y(0) −y′(0) = 0, y(1) = 0
4. Para que valores de λé que o problema de valores de fronteira
d2y
dx2+λy = 0, y(0) = y(2π), y′(0) = y′(2π),
tem solução não-trivial?
5. Para que valores de λé que o PVF
d2y
dx2−2dy
dx + (1 + λ)y= 0, y(0) = 0, y(1) = 0,
tem solução não-trivial?
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