Baixe Ficha Complementos Análise Matemática e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Complementos de Análise Matemática
MIEEICOM, MIECIV
Ficha 6: Separação de variáveis, séries de Fourier e aplicações
- Encontre uma solução em séries de Fourier formal dos problemas (a) x′′^ + 4x = t, x(0) = x(1) = 0, (b) x′′^ + 2x = 1, x(0) = x(π) = 0.
- Use séries de Fourier para encontrar uma solução periódica da equação diferencial 2 x′′^ + 32x = f (t) onde (a) f (t) = 10 se 0 < t < 1 e f (t) = − 10 se 1 < t < 2 , (b) f (t) é a função de período 4 com f (t) = 5t para − 2 < t < 2.
- (a) Encontre a série de Fourier da função f de período 2 com f (t) = t^2 para 0 < t < 2. (b) Mostre que a derivada termo a termo desta série não converge para f ′(t).
- Encontre a série de Fourier das funções (a) f (t) = sin^2 t, −π ≤ t ≤ π, (b) f (x) =
0 : −π < x ≤ 0 x : 0 < x ≤ π (c) Desenvolva f (x) = sin x, 0 ≤ x ≤ π, em série de Fourier de cosenos. (d) Desenvolva f (x) = 1, 0 ≤ x ≤ 1 , em série de Fourier de senos. (e) Desenvolva f (t) = exp(t), 0 < t < π, em série de Fourier de senos.
- Considere a seguinte problema de valor inicial e condições na fronteira:
u t = 9u xx + 9u, t > 0 , 0 < x < π, u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, t > 0 , u(x, 0) = π − x 0 < x < π.
(a) Desenvolva u(x, 0) numa série de senos em [0, π]. (b) Encontre uma solução em séries de Fourier formal do problema.
- Determine a solução do seguinte problema de valores de fronteira para a equação do calor.
w t = w xx , t > 0 , 0 < x < π, w(t, 0) = 0, w(t, π) = 0, t > 0 , w(0, x) =
n =
sen ((2 n +1) x ) 2 n +1.^0 < x < π.
- Determine a solução do seguinte problema de valores de fronteira para a equação do calor.
u t = u xx , t ≥ 0 , 0 ≤ x ≤ π, u(0, x) = sin (3x) − 12 sin (8x) , 0 ≤ x ≤ π, u(t, 0) = u(t, π) = 0, t ≥ 0.
- Determine a solução do seguinte problema de valores na fronteira e iniciais para a equação da onda.
u tt − 4 u xx = 0, t > 0 , 0 < x < π, u(t, 0) = 0, u(t, π) = 0, t > 0 , u(0, x) = 0, u t (0, x) = 3 sin(2x) − 4 sin(4x). 0 < x < π.
Soluções da Ficha 6
(1a) x(t) = (^) π^2
n =
(−1) n +1^ sin( nπt ) n (4− n^2 π^2 ) (1b) x(t) = − π^4
n impar
1 n ( n^2 −2) sen(nt) (2a) x(t) = (^20) π
n impar
sin( nπt ) n (16− n^2 π^2 )
(2b) x(t) = (^80) π
n =
(−1) n + n (40− n^2 π^2 ) sin(nπt/2) (3) f (t) = 43 + (^) π^42
n =
cos ( nπt ) n^2 −^
4 π
n =
sin( nπt ) n (4a) f (t) = 12 − 12 cos(2t)
(4b) f (t) = π 4 − (^2) π
n impar
cos ( nx ) n^2 +^
n impar
sen ( nx ) n (4c) f (x) = (^) π^2 − (^2) π
n =
1+ cos ( nπ ) n^2 − 1 cos(nx) (4d) 1 = (^4) π
n impar
sen ( nx ) n (4e) f (t) = (^2) n
n =
n n^2 +1 [(−1)
n +1 (^) exp(π) + 1]sen(nt)
(5a) u(x, 0) = (^2) n sen(nx)
(5b) u(x, t) =
n =
2 n e
9(1− n^2 ) t (^) sin(nx)
(6) w(t, x) =
n =
sin((2 n +1) x ) 2 n +1 e
−(2 n +1)^2 t
(7) u(t, x) = sin(3x) e−^9 t^ − 12 sin(8x) e−^64 t (8) u(t, x) = 34 sin(4t) sin(2x) − 12 sin(8t) sin(4x)
Nota: sin a sin b =
[cos(a − b) − cos(a + b)];
sin a cos b =
[sin(a + b) + sin(a − b)];
cos a cos b =
[cos(a + b) + cos(a − b)].
