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Capítulo 1
Fluidos Estáticos
Começamos considerando fluidos estáticos em equilíbrio. Sobretudo fluidos incompressíveis, o que significa líquidos, mas aqui e ali algumas propriedades importantes dos gases serão abordadas. Muitos dos assuntos neste capítulo serão certamente uma revisão de conhecimentos, que não é uma má forma de começar.
1.1 Densidade e Pressão
Densidade
A densidade de uma porção qualquer de matéria é a razão entre a sua massa e o seu volume: ρ =
m V
A letra grega ρ (ró, que corresponde ao nosso r ), é frequentemente usada para representar a densidade. Muito importante é considerarmos as unida- des. É claro que no Sistema Internacional de unidades (a partir de agora SI) esta grandeza se exprime em kg/m^3. É muito comum usar também g/cm^3 , onde a densidade da água tem o valor de 1 g/cm^3. É muito importante notar que na maior parte das situações são as unidades SI que é conveniente usar. Em qualquer cálculo envolvendo outras grandezas expressas em unidades SI temos de usar o valor da densidade expressa em kg/m^3. Desde já recomendo que simplesmente decorem o facto elementar que 1 g/cm^3 = 1000 kg/m^3. Assim o valor normal a usar para a densidade da água neste texto é 1000. Prometo que evitarão cometer muitos erros graves se fixarem já isto. Resul- tados que diferem de um factor de mil da verdade são erros graves. Não se admirem se houver pessoas que fiquem verdadeiramente indignadas com a ideia de um elefante com 4 kg ou um ecrã de computador com 300 m. Dispa- rates equivalentes resultam de usar 1 para uma densidade que vale 1000, ou vice versa. É mesmo importante ser coerente nas unidades. Devemos usar o valor 1 apenas se tudo o mais está em cm e gramas. Outro conceito talvez já
conhecido e relacionado é a massa específica , que é na mesma a razão entre a massa e o volume duma determinada substância. Este conceito aplica-se correctamente apenas a porções homogéneas de matéria, mais comummente a uma substância específica. Por exemplo, uma esfera de ferro sólida tem uma densidade idêntica à massa específica do ferro, mas uma esfera oca de ferro tem uma densidade inferior à massa específica do ferro. Como densi- dade serve para todas as situações, só por distracção é que tornarei a falar de massa específica.
Pressão
Para considerar as forças e as suas consequências quando estamos a tratar de fluidos, é fundamental o conceito de pressão. Nos sólidos podemos considerar as forças aplicadas num ponto. Nos fluidos as forças estão distribuídas sobre superfícies. Por isso temos de pensar em termos de pressão, que como sabem, é “qualquer coisa como força por unidade de área”. Vamos ver isto com um pouco de cuidado. Imaginem um recipiente com água. Para tornar o exercício mais efi- caz, façam-no bonito. Pode ser um aquário, mas como ainda só estamos a considerar fluidos estáticos, tirem de lá os peixes e desliguem os filtros, etc. Agora imaginem um ponto onde a água encontra o vidro, pode ser a meia altura, mas só se quiserem. Agora imaginem uma pequena área da superfície vertical do vidro em contacto com a água em torno do ponto que ainda estão a imaginar. A água em contacto com esta pequena área está a exercer uma pequena força sobre a parede de vidro.^1 A pressão que a água exerce sobre o vidro na área em torno do ponto que ainda estão a imaginar é a razão entre a valor da força que a água exerce sobre esta área de vidro e o valor da própria área.
p =
| F~ |
A
A força de pressão é perpendicular à superfície de contacto. Sempre. Nesta altura pode ser útil olhar para a Figura 1.1. Agora vamos levar o argumento uns pontos mais adiante, pois todo este trabalho de imaginação não foi para ficar só por aqui. O vidro exerce uma força igual, mas oposta, sobre a água,^2 (por isso é que o aquário é um recipiente). Assim falamos também da pressão exer- cida pelo vidro sobre a água, que tem certamente o mesmo valor. Agora podemos deixar a superfície da água e mergulhar no interior. Apaguem da mente o ponto na superfície, para poderem imaginar um ponto no meio da água. Agora imaginem uma qualquer pequena superfície plana que contém
(^1) A palavra pequena aqui significa que podemos sempre considerar uma porção de área aproximadamente plana, mesmo para superfícies menos regulares que a parede dum aquário. (^2) Isto é a terceira lei de Newton em acção, mas isso agora não interessa.
contramos para a pressão. Outros conhecidos são a atmosfera (atm), o bar (bar), o torr (Torr), o milímetro de mercúrio (mmHg), e vou parar por aqui. Temos de saber o que são estas coisas, porque aparecem na vida real. Não quer isto dizer que temos de saber de cor todas as conversões entre estas unidades e o pascal, mas quer dizer que não é má ideia. Uma noção importante a reter é que o pascal é uma unidade pequena. Na realidade, uma atmosfera é pouco mais de 100 000 Pa. O bar é exactamente 100 000 Pa, pelo que os valores duma pressão expressa em bar e em atm diferem pouco mais de 1%. A lista seguinte resume a situação.
- 1 atm = 101 325 Pa
- 1 bar = 100 000 Pa ( 105 Pa)
- 1 atm = 760 mmHg
- 1 atm = 760 torr
O problema, por assim dizer, é que estas unidades são todas usadas na vida real, dia-a-dia. Se estiver a tratar da pressão dos pneus do carro, usará o bar, se referir o valor da tensão arterial, será em mmHg, e quantas vezes não usou já atmosferas? Os meteorologistas normalmente exprimem a pressão do ar em hPa, que antigamente chamavam de mbar... Veja-se o mapa meteorológico da Figura 1.3. Notemos também que torr e mmHg parecem também ser a mesma coisa.^4 Vale mesmo a pena pensar no que significa o pascal ser uma unidade pequena. Em comparação com o quê ao certo? Se a pressão atmosférica é da ordem de 105 Pa, então sobre 1 m^2 duma tampa de mesa o ar está a exercer uma força de 100 000 N. Será possível? E sobre uma pessoa? A área superficial de um ser humano varia muito de pessoa para pessoa claro, mas 1,75 m^2 é um bom valor indicativo. Então sobre uma imaginária pessoa média, o ar estaria exercendo uma força de pressão de 175 000 N. Isto é o peso de 12 automóveis relativamente grandes. Talvez é a pressão atmosférica que afinal é bastante grande, ou talvez estes números sejam absurdos e é melhor pensar mais no caso. Se fosse assim eu não seria esmagado? E de onde poderia vir uma força tão grande?
1.2 Lei de Stevin
A Lei de Stevin quantifica a trivial observação de que a pressão aumenta com a profundidade num líquido. O resultado é simples, importante, e fácil de deduzir, por isso vale a pena fazê-lo agora mesmo. No texto principal apenas
(^4) Apesar de serem coisas ligeiramente diferentes, poderão nesta fase da vida ignorar essa diferença. Também podem optar por investigar este assunto.
Figura 1.3: Mapa meteorológico com indicação da pressão do ar, em hPa (mbar)[? ].
haverá lugar para algumas deduções simples, algumas outras deduções teóri- cas mais sofisticadas, ou menos importantes, serão relegadas para apêndice, onde podem seguramente ser ignoradas sem prejuízo para a continuidade da leitura. Ao mergulharmos alguns metros abaixo da superfície da água rapida- mente notamos os efeitos do aumento da pressão, nomeadamente nos nossos ouvidos. Suponham então que temos um líquido em equilíbrio estático. Pode ser a mesma água do mesmo aquário que já usamos antes. Conside- rem uma porção do interior desse líquido, que tem um formato cilíndrico, porque dá jeito e é fácil de desenhar, como na Figura 1.4. Sobre este cilindro de fluido actuam as forças devido à pressão da água circundante, e ainda o seu peso, a atracção gravitacional da Terra. As forças de pressão exercidas sobre os lados do cilindro anulam-se por simetria evidente, e por isso na água não surgem espontaneamente correntes horizontais ou remoinhos, que seriam contrárias à hipótese de equilíbrio estático. Podemos seguramente considerá-las interessantes por existirem, mas irrelevantes para o que preten- demos analisar, que é a variação da pressão com a profundidade. Realmente o que tem interesse são as forças verticais, portanto. O peso, F~g , e as forças de pressão exercidas sobre o topo, F~t e sobre a base, F~b , do cilindro. É claro que tendo em conta os sentidos destas forças verticais, o equilíbrio significa que Ft + Fg = Fb
Sendo A a área comum do topo e da base do cilindro, e designando por pt e por pb os valores da pressão da água no topo e na base do cilindro, os
F~b
F^ ~t
F^ ~g
h
A
Figura 1.4: Forças verticais sobre uma porção de fluido
da aplicação do cálculo infinitesimal, e fica relegada para apêndice. No final do semestre poderá constituir um interessante exercício de aplicação destes conceitos entretanto lecionados na matemática. Ou não. Seja lá como for, a equação escreve-se:
p = p 0 e −^
M g RT ( y − y^0 )^ (1.5)
Aqui p é a pressão do gás à altitude y , sendo p 0 a pressão à altitude y 0. M é a massa molar do gás, T é a temperatura absoluta (em kelvin), enquanto g é a aceleração gravítica e R é a constante dos gases ideais, bem conhecida da equação de estado do gás ideal
pV = nRT (1.6)
( R = 8,314 J/mol·K, em unidades SI). Uma consequência directa e assi- nalável da eq.(1.6) é que a densidade do gás com massa molar M (que se exprime em kg/mol no SI) à pressão p e à temperatura T vale
ρ =
M p RT
Devo fazer notar que a dedução da equação barométrica (apêndice A.1) supõe que a temperatura, constante, não varia com a altitude, o que com- promete pelo menos um pouco a precisão dos resultados, mas como primeira aproximação é certamente muito útil.
1.4 O Princípio de Pascal
O Princípio de Pascal afirma que:
Uma variação na pressão aplicada a um fluido incompressível confinado é transmitida de forma idêntica a todo o fluido e às paredes do recipiente.
m
a
A
M
Figura 1.5: Balança hidráulica. Uma pequena massa m assente sobre um êmbolo de pequena área a equilibra a grande massa M cujo peso é distribuído sobre uma grande área A do fluido.
Este princípio está na base da compreensão da prensa hidráulica , que eleva automóveis do chão em oficinas, e cadeiras em consultórios de dentistas. Considere a balança hidráulica da Figura 1.5. O fluido, e consequentemente as massas, estão em equilíbrio estático. Uma vez que a altura da superfície do líquido é igual dos dois lados, a lei de Stevin garante que a pressão é idêntica nos dois êmbolos. Essa pressão é a atmosférica, p 0 , acrescida do aumento devido ao peso das massas. Considerando o “braço” esquerdo temos:
p = p 0 +
mg a
e considerando o lado direito:
p = p 0 + M g A
Sendo iguais as pressões, concluimos que:
m a
M
A
Se a << A , então m << M na mesma razão. Uma pequena força distribuída sobre uma pequena área equilibra uma grande força distribuída sobre uma grande área - pois a igualdade é entre as pressões. Se a razão entre as áreas for suficiente, um rato pode equilibrar um elefante, e uma força pequena elevar um automóvel... Vemos com este exmplo que existe uma grande vantagem mecânica em termos da força aplicada, mas não podemos ganhar energia com isso. Com esta “alavanca” hidráulica, uma pequena força actuando ao longo de uma grande distância é transformada numa grande força que actua sobre uma pequena distância, tal como numa alavanca mecânica comum.
F^ ~g F~g
I^ ~
Figura 1.6: A resultante de todas as forças de pressão exercidas sobre um volume arbitrário no seio dum fluido é a impulsão , de valor igual ao peso do fluido deslocado, vertical para cima, e aplicado no centro de massa do fluido deslocado.
pois ρl^3 é a massa do cubo. Vemos aqui o resultado anunciado pelo princípio de Arquimedes, e mais, vemos que a origem desta força designada impulsão é o aumento da pressão com a profundidade no seio do líquido. Agora podemos confirmar rapidamente (e sem contas!) que o resultado terá de ser válido para objectos um pouco menos regulares do que cubos. Consideremos para esse fim um fluido em equilíbrio estático (de volta ao aquário). Imaginemos no interior desse fluido um volume com forma ar- bitrária (por exemplo semelhante a um amendoim). Estando o fluido em equilíbrio, não havendo correntes ou deslocamentos, a força total sobre o nosso volume arbitrário é nula. Isto significa muito claramente que a resul- tante de todas as forças de pressão exercidas pelo fluido circundante sobre o volume considerado equilibram, de forma exacta, o peso do fluido contido nesse mesmo volume. O fluido circundante exerce uma força vertical para cima, de valor igual ao peso do fluido do volume considerado. Mas é claro que quer esse volume esteja ocupado pelo próprio fluido, ou por outro objecto qualquer com a mesma forma, (por exemplo um amendoim de verdade), a pressão no fluido circundante em contacto com a superfície desse volume é a mesma, e a força resultante dessa pressão exercida é a mesma, e já concluímos que essa força é simétrica ao peso do fluido correspondente a esse volume. Eis o princípio de Arquimedes. Mais ainda, podemos concluir que o ponto de aplicação da impulsão é o centro de gravidade do fluido deslocado, que poderá ou não ser o centro de gravidade dum objecto que desloca o fluido, conforme esse objecto tenha ou não densidade uniforme.
Capítulo 2
Fluidos em Movimento
Até aqui o nosso fluido esteve sempre estático. Ora a propriedade determi- nante dum fluido é que pode fluir...
2.1 Equação de continuidade
Como estamos a considerar fluidos incompressíveis, a densidade é constante (para uma dada temperatura), a mesma massa ocupa sempre o mesmo vo- lume. Isto significa que fluxo de massa e fluxo de volume são equivalentes. Uma consequência importante é a equação de continuidade. Consideremos um cano horizontal com uma constrição na qual flui um líquido, como na Figura 2.1. Na secção mais larga, de área A 1 , o líquido flui com velocidade v 1 , en- quanto na secção de área A 2 flui com velocidade v 2. Num dado intervalo de tempo ∆ t , o mesmo volume de fluido deve passar em qualquer secção do cano: basta considerar as consequências de passar mais fluido pela área A 1 do que por A 2 - dado que o fluido é incompressível o cano terá de se defor- mar, ou rebentar, e teremos de pagar ao canalizador. Se durante um tempo ∆ t passou por A 1 o volume de líquido correspondente ao cilindro sombre-
1 2
∆ x 2 ∆ x
A 1
v v
A 2
1
V V
Figura 2.1: Um líquido flui com velocidade v 1 na secção de área A 1 e com velocidade v 2 na secção de área A 2.
Esta força F 1 corresponde à pressão p 1 exercida sobre a área A 1 , pelo que F 1 = p 1 A 1 , e o volume é V = A 1 ∆ x 1. Assim
W 1 = p 1 A 1 ∆ x 1 = p 1 V
Da mesma forma podemos concluir que o trabalho realizado pelo fluido ao “empurrar” no lado direito durante o mesmo ∆ t vale
W 2 = p 2 V
Assim a variação da energia mecânica do fluido foi de
∆ E = W 1 − W 2 = p 1 V − p 2 V.
Como referido acima, esta energia tem correspondência com as variações nas energias potencial e cinética do fluido, facilmente calculáveis (pois). A energia potencial gravítica dum peso mg a uma elevação y é simples- mente U = mgy.
Como apenas variações nesta energia potencial têm significado físico, a esco- lha do zero para a coordenada altura é indiferente. A energia cinética duma massa m com velocidade v é
K =
mv^2_._
O que mudou no nosso fluido durante o intervalo ∆ t correspondente aos deslocamentos ∆ x 1 e ∆ x 2 foi:
- Uma massa de fluido m , correspondente ao volume V , aumentou de altura de y 1 para y 2 , causando uma variaçõ na energia potencial:
∆ U = mgy 2 − mgy 1 = ρV gy 2 − ρV gy 1 ,
uma vez que m = ρV.
- A mesma massa de fluido passou da velocidade v 1 para a velocidade v 2 , causando uma variação da energia cinética:
∆ K =
ρV v 22 −
ρV v 12_._
Devemos igualar a soma das variações das energias potencial e cinética com o balanço dos trabalhos:
W 1 − W 2 = ∆ U + ∆ K ⇐⇒ (2.2) p 1 V − p 2 V = ρV gy 2 − ρV gy 1 +
ρV v^22 −
ρV v^21 (2.3)
y 2
v 2
p 2
v 1
y 1
p 1
∆x 1
∆x 2
A 1
A 2
V
V
Figura 2.2: O líquido flui duma secção larga para outra, mais estreita, a uma elevação superior. A equação de Bernoulli relaciona as grandezas pertinentes em diferentes secções do fluir
O que nos leva à equação de Bernoulli :
p 1 + ρgy 1 +
ρv^21 = p 2 + ρgy 2 +
ρv 22 (2.4)
Concluindo que o raciocínio é válido para dois quaisquer pontos ao longo do fluido, vemos que também podemos escrever:
p + ρgy +
ρv^2 = cte (2.5)
ao longo dum líquido que flui. Uma primeira observação importante é que se o fluido é estático, i.e. v 1 = v 2 = 0, então a equação de Bernoulli reproduz a Lei de Stevin, como é necessário. Uma segunda observação importante é que, para alturas iguais, a pressão é mais alta nas secções largas, onde a velocidade é menor, e mais baixa nas secções estreitas onde o fluido corre mais depressa. É um exercício importante explicar de forma simples este facto.
2.3 Viscosidade
Os fluidos reais não são perfeitos. Têm atritos internos - viscosidade - e por isso oferecem resistência aos movimentos no seu interior, e também resistem
Figura 2.4: Inicialmente laminar, o fluir do fumo do cigarro torna-se clara- mente turbulento.
- A camada de fluido em contacto com a placa de cima move-se solidária com esta.
- As camadas intermédias do fluido têm velocidades que variam linear- mente de acordo com a sua posição entre as placas.
- A força é proporcional à área A das placas e à velocidade v 0 , e inver- samente proporcional à distância D entre as placas.
Ao coeficiente de proporcionalidade que entra na expressão matemática correspondente à observação 4 acima chamamos coeficiente de viscosidade. Concluímos então que: F = ηA v 0 D
sendo η (a letra grega “eta”) o coeficiente de viscosidade do fluido. É impor- tante sabermos em que unidades se exprime, e que género de valores toma para diferentes fluidos. É um exercício fácil (mas obrigatório) verificar que o coeficiente de viscosidade tem dimensões de pressão×tempo, e portanto no SI virá expresso em Pa·s. Para além desta unidade SI, é muito utilizado a unidade cgs correspondente, que se chama Poise. Outro exercício fácil (e obrigatório) é constatar que
1 Pa · s = 10 Poise_._
Na tabela 2.1 estão valores da viscosidade de alguns gases e líquidos para as temperaturas indicadas. Na realidade a viscosidade duma substância pode variar fortemente com a temperatura, conforme se constata na tabela 2.2. Não irei desenvolver este assunto da variação da viscosidade com a temperatura, mas é pertinente notar o comportamento oposto de gases e líquidos: Os gases tornam-se mais viscosos com o aumento da temperatura, enquanto os líquidos tornam-se mais fluidos.
y
v = 0
F
x
D v 0
Figura 2.5: A placa de cima é movida à velocidade constante v 0 sob acção da força F~. A placa de baixo está imóvel. As camadas de fluido entre as placas têm velocidades que crescem de 0 a v 0 à medida que y varia de 0 a D.
A
D
Figura 2.6: As placas da figura anterior têm área A e estão separadas por uma distância D.
gás η ( 10 −^4 Pa·s) ar 0. hélio 0. metano 0. azoto 0. oxigénio 0.
líquido η (mPa·s) acetona 0. gasolina 0. água 1. álcool etílico 1. sangue (37o^ C) 4 óleos 50 - 700 glicerina 1490 ketchup ≈ 50000
Tabela 2.1: Viscosidades de alguns gases e líquidos à temperatura de 20o^ C, excepto o sangue, para o qual apresenta-se o valor a 37o^ C.
v = 0
v = 0
v max
Figura 2.7: O perfil da distribuição da velocidade da corrente dum líquido viscoso num tubo em regime laminar é parabólico.
a mesma velocidade. Pela descrição do movimento do fluido entre as pla- cas acima considerada, poderemos esperar que no centro do cano flui mais depressa, e nas bordas, em contacto com as paredes do cano, está essencial- mente parado. É exactamente o que acontece. Assim para a equação (2.8) a velocidade que consideramos é uma velocidade efectiva , definida de forma a tornar a relação verdadeira. Na realidade é uma velocidade intermédia entre a do fluido mais veloz no centro e o fluido parado na borda, como veremos de seguida.
Perfil da velocidade do fluido
Deixando a demonstração para apêndice, aqui apresento os resultados im- portantes referentes à velocidade de escoamento dum líquido viscoso num tubo em regime laminar. Sendo R o raio do tubo, e r a distância radial ao centro, a velocidade varia com essa distância de acordo com a lei:
v ( r ) = v max
( 1 − r^2 R^2
) , (2.9)
sendo v max a velocidade máxima a que corre o fluido, justamente o valor para r = 0, isto é, no centro do tubo. À medida que nos afastamos do centro em direcção à borda, a velocidade cai de forma quadrática, significa isto que o perfil das velocidades é parabólico, conforme a Figura 2.7. Na borda, r = R e v = 0. A velocidade efectiva que intervém na equação (2.8) tem uma relação muito simples com a velocidade máxima do fluido no centro do escoamento:
v ef =
v max (2.10)
conforme se demonstra também em apêndice. Por outro lado é imediato deduzir das equações (2.7), (2.8) e (2.10) que a velocidade máxima vale:
v max = ∆ p 4 ηL
R^2 (2.11)
2.5 Número de Reynolds
Uma vez que os resultados anteriores apenas são válidos quando o regime do escoamento é laminar, parece boa ideia termos um critério para deter- minar quando é que este é o caso. Este é obtido considerando o número de Reynolds :
NR =
2 Rρv ef η
Aqui ρ é a densidade do fluido, de viscosidade η , que flui num tubo de raio R com uma velocidade efectiva v ef. Outro exercício fácil e obrigatório: constatar que é um número adimensional, sem unidades portanto. Para a situação de escoamento num tubo que estamos a considerar se NR < 2000 o escoamento é seguramente laminar; se NR > 3000 o escoamento é seguramente turbulento. Se 2000 < NR < 3000 a situação não é bem determinada - está-se então num regime instável em que o escoamento pode ser laminar ou turbulento, e pode variar de forma regular ou irregular entre uma situação ou outra. Se o regime for turbulento, não podemos aplicar a Lei de Poiseuille, podemos sim concluir em geral que a diferença de pressão será superior àquela prevista pela Lei de Poiseuille. Para fluidos não Newtonianos, que se definem de seguida, este poderá não ser o caso, mas em quase todas as situações de turbulência o valor de ∆ p será maior do que na situação laminar.
2.6 Fluidos não Newtonianos
Fluidos para os quais a viscosidade é independente da pressão dizem-se flui- dos Newtonianos. O escoamento de fluidos Newtonianos em regime laminar é bem descrito pela Lei de Poiseuille. Para os fluidos não Newtonianos , a viscosidade pode variar com a pressão ou com a velocidade de escoamento, e os desvios da Lei de Poiseuille podem ser acentuados. O fluido sinovial em articulações como o joelho demonstra um decrés- cimo na viscosidade com um aumento da pressão, o que ajuda a lubrificar o movimentos das articulações. O sangue é um fluido complicado com muitos materiais diversos em sus- pensão, e desvia-se da Lei de Poiseuille em vasos sanguíneos estreitos. Uma explicação possível é que em vasos pequenos os glóbulos vermelhos - grandes
- tendem a acumular no centro e não nas bordas, diminuindo a resistência ao escoamento. Outra hipótese é que os glóbulos vermelhos - que têm a forma de discos - estão orientados de forma arbitrária a baixas velocidades, mas tendem a orientar-se quando a velocidade é maior, facilitando o escoamento. Na maioria dos vasos, sob pressões sanguíneas normais, o escoamento é bem descrito pela lei de Poiseuille.
