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ANÁLISE MATEMÁTICA II
Universidade do Minho - Azurém
Departamento de Matemática para a Ciência e Tecnologia
Ficha de trabalho no 3 Março/
Curso Mestrado Integrado em Engenharia Materiais
Derivadas parciais
Definição: A derivada parcial de 1aordem da função Z = f(x, y)
relativamente à variável x no ponto (x 0 , y 0 ) é dada por
lim h→ 0
f(x 0 + h, y 0 ) − f(x 0 , y 0 ) h
e representa-se por
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) =
∂f
∂x
|(x 0 ,y 0 ) = fx^0 (x 0 , y 0 ).
Do mesmo modo, a derivada parcial de 1aordem da função Z = f(x, y)
relativamente à variável y no ponto (x 0 , y 0 ) é dada por
lim k→ 0
f (x 0 , y 0 + k) − f(x 0 , y 0 ) k
e representa-se por
∂f ∂y
(x 0 , y 0 ) =
∂f ∂y
|(x 0 ,y 0 ) = fy^0 (x 0 , y 0 )
- Usando a definição calcule
∂f ∂x
e
∂f ∂y
nos pontos indicados:
a) f (x, y) =
y^3 − 5 x^4 x^2 + y^2
se (x, y) 6 = (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
(0, 0) b) f (x, y) =
x^3 + 3y^3
x + y
c) f(x, y) =
2 x^3 − y^3 x^2 + 3y^2
se (x, y) 6 = (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
(0, 0) d)f (x, y) =
x − y x + y
se x 6 = −y
1 se x = −y
e) f(x, y) =
ex
(^2) +y 2 − 1 x + y
se x 6 = −y
0 se x = −y
(0, 0) f) f(x, y) =
ln(x^4 + y^4 + 1) x − y
se x 6 = y
0 se x = y
i
Questão - O que significa
∂f ∂x
(x 0 , y 0 ) em termos geométricos?
A superficie Z = f(x, y) intersecta o plano y = y 0 segundo uma curva γ.
A recta tangente à curva γ no ponto P = (x 0 , y 0 , f (x 0 , y 0 )) forma um ângulo α com
a recta paralela ao eixo dos XX e que passa em (0, y 0 , 0). Tem-se
∂f ∂x
(x 0 , y 0 ) = tgα.
∂f ∂x
(x 0 , y 0 ) é uma medida da taxa de ’’variação’’ de f em (x 0 , y 0 ) na direcção
do eixo dos XX.
Explora: Faz uma interpretação geométrica do significado de
∂f ∂y
(x 0 , y 0 ).
Considera Z = f (x, y) uma função real de duas variáveis. Se existir
∂f ∂x
(x 0 , y 0 )
em todos os pontos (x 0 , y 0 ) de um conjunto D ⊂ R^2 , então pode definir-se uma
nova função
∂f
∂x
em D :
∂f ∂x
: D ⊂ R^2 → R
(x, y) 7 −→
∂f
∂x
(x, y)
- Determine as derivadas parciais de 1aordem das seguintes funções e calcule-as
nos pontos indicados:
a) f(x, y) = x^3 y + 7x^2 y^3 + 5x + 3 P = (1, 1) b) g(x, y) =
y^2 + 3x
7 x + y
P = (1, 1)
c) h(x, y) = (cot gx)
tgy P = (π/ 4 , −π/4) d) i(x, y) = ex^ ln (y^2 + 3x) P = (0, 2)
e) j(x, y) = sen(1 + exy) P = (1, 2) f) f(x, y) =
2 x^3 x^2 + 3y^2
se (x, y) 6 = (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
g) f(x, y) =
2 xy
x^2 + y^2
se (x, y) 6 = (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
h) f(x, y) =
(4x^2 + 4y^2 ) cos
μ 2 x x^2 + y^2
se x^2 + y^2 6 = 0
0 se x^2 + y^2 = 0
Nota: Nas alíneas f) , g) e h) calcule nos pontos em que
∂f ∂x
e
∂f ∂y
tenham significado.
ii
Nota:
A equação diferencial
∂^2 z
∂x^2
∂^2 z
∂y^2
= 0 onde z = f (x, y), denomina-se por
equação de Laplace.
Uma função de duas variáveis que possua derivadas parciais de 2aordem
contínuas numa região do plano, e que aí satisfaça a equação de Laplace
diz-se uma função harmónica.
- Mostre que a função f(x, y) = 3x^2 y − y^3 é harmónica em R^2.
Indique outra função polinomial do 3ograu em x e y que também seja harmónica.
As funções harmónicas têm muitas propriedades interessantes:
- possuem derivadas de todas as ordens;
- são analíticas, isto é, admitem desenvolvimentos em série de Taylor;
- podem atingir o seu valor máximo e mínimo apenas em pontos pertencentes à fronteira do seu domínio.
- Sejam u e v funções de duas variáveis que possuem derivadas parciais de 2aordem
contínuas e que satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, isto é, tais que ∂u ∂x
∂v ∂y
e
∂v ∂x
∂u ∂y
Mostre que as funções u e v são harmónicas.
- Mostre que a função u(x, t) = t−^
1 (^2) e−^
x^2 4 t (^) satisfaz a equação diferencial
∂u ∂t
∂^2 u ∂x^2
A equação denomina-se por equação do calor e traduz o comportamento da difusão
do calor numa barra isolada (onde u(x, t) representa a temperatura na posição x no
instante t) e outros fenómenos semelhantes.
- Mostre que a função f definida por f(x, t) =
t
e
−
x^2 4 kt (^) , k ∈ R satisfaz a equação
de difusão
∂f
∂t
= k
∂^2 f
∂x^2
iv
