Baixe Análise Matemática II: Derivadas de Funções Compostas e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Materiais, somente na Docsity!
ANÁLISE MATEMÁTICA II
Universidade do Minho - Azurém
Departamento de Matemática para a Ciência e Tecnologia
Ficha de trabalho no 4 Março/
Curso Mestrado Integrado em Engenharia Materiais
Derivadas De Funções Compostas
Seja z = f (x, y), onde cada variável, x, y, é uma função de t. Esquematizando:
% x → t z & y → t
Como calcular
dz dt
dz dt
∂z ∂x
dx dt
∂z ∂y
dy dt
- Sabendo que x = t^2 + sent e y = ln t + t^3 , determine
dz dt
, sendo : a) z = x^2 + 4y^3 b) z=
x + y 4 t
Seja z = f (x, y), onde cada variável, x, y, dependem das variáveis u e v, ou seja
z = f (x(u, v), y(u, v)). Esquematizando:
u % x % & z v & u y % & v
Como calcular
∂z ∂u
e
∂z ∂v
∂z ∂u
∂z ∂x
∂x ∂u
∂z ∂y
∂y ∂u
∂z ∂v
∂z ∂x
∂x ∂v
∂z ∂y
∂y ∂v
- Se z = cos (x^2 y), onde x = s^3 t^2 e y = s^2 +
t
, calcule
∂z ∂s
e
∂z ∂t
- Calcule
∂f ∂x
(y^2 , x^2 ) e
∂f ∂y
(y^2 , x^2 ) supondo que f admite derivadas parciais contínuas.
- Sendo z = txy^2 , em que x = t + ln (y + t^2 ) e y = et, calcule
∂z ∂t
e
dz dt
i
- Sabendo que: v = x + y^2 ; x =
Rt 0
cos w dw; y = arccos u + sent. Calcule
∂v ∂t
e
∂v ∂u
- Considere que a temperatura T num certo líquido depende da profundidade z e do tempo t, através da fórmula T = e−tz.
a) Determine a taxa de variação da temperatura relativamente ao tempo, num ponto que se move no líquido, de modo que no instante t se encontre ao nível de profundidade z = f(t).
b) Calcule a taxa de variação da temperatura considerada na alínea anterior quando f(t) = et.
- Considere que a força E de um corpo eléctrico no espaço varia com a posição (x, y, z) e com o tempo t, através da fórmula E = f(x, y, z, t). Determine a taxa de variação da força E, relativamente ao tempo, quando essa força é medida ao longo da hélice x = sen(t), y = cos(t), z = t.
- 8.1..Seja z = f (x, y), onde x = 2v + ln t e y =
t
8.2. Seja z = f(x, y), onde x = 4t^2 e y = t + senv.
Calcule:
a)
∂^2 z ∂v^2
b)
∂^2 z ∂v∂t
c)
∂^2 z ∂t^2
Funções Diferenciáveis
Definição: Diz-se que uma função f de duas variáveis é diferenciável em (a, b) quando
lim (h,k)→(0,0)
f (a + h, b + k) − f(a, b) − h
∂f ∂x
(a, b) − k
∂f ∂y
(a, b) √ h^2 + k^2
Teorema: Seja f uma função real de duas variáveis reais, x e y. Se
∂f ∂x e
∂f ∂y
forem funções contínuas numa vizinhança do ponto (a, b), então f é diferenciável em (a, b).
- Seja f a função real definida por f (x, y) =
⎧ ⎪⎨ ⎪⎩
5 xy^3 x^2 + y^2
se (x, y) 6 = (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) a) Mostre que f admite derivadas parciais no ponto (0, 0). b) Mostre que f é diferenciável no ponto (0, 0)?
- Considere a função f(x, y) =
⎧ ⎪⎨ ⎪⎩
5 xy^2 x^2 + y^2
se (x, y) 6 = (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)
ii
