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Combinação Convexa de Filtros Adaptativos
IAF-PNLMS e NLMS com Desepenho Melhorado
para Sistemas Esparsos
R. N. M. Martins
Resumo—Este artigo tem como objetivo fazer uma breve análise sobre as taxas de convergência dos parâmetros de Mistura e Auxiliar do Métedo de Atração de Filtro. Para alcançar este objetivo uma combinação convexa convencional e uma combinação convexa do Método de Atração de Filtros foram realizadas. Os algoritmos combinados foram o NLMS e IAF- PNLMS.
Index Terms—algoritmo NLMS, algoritmo IAF-PNLMS, iden- tificação de plantas esparsas, parâmetro de mistura
I. INTRODUÇÃO
F
ILTROS adaptativos podem ser entendidos como sistemas que se auto ajustam para responder a um fenômeno que está inserido em seu ambiente [1]. Podem ser empregados em problemas que envolvem plantas esparsas, nas quais uma pequena parcela da resposta impulsiva é formada por coefici- entes não-nulos (ativos) [2]. Os algoritmos adaptativos LMS (least-mean- square) normalizados proporcionais (PNLMS) são alternativas eficientes para este tipo de problema [3]. Algoritmos de filtos adaptativos recentmente têm sido pes- quisados para sistemas esparsos, cuja resposta ao impulso consiste em alguns coeficientes diferentes de zero e muitos coeficientes próximos de zero (ou nulos). O NLMS apresenta uma degradação no desempenho, pois nao considera a espar- sidade do sistema. Então, o proporcionate NLMS (PNLMS) foi introduzido para explorar a característica de esparsidade presente em várias aplicações de filtragem adaptativa [4] A combinação convexa de filtros adaptativos pode melho- rar o desempenho de esquemas adaptativos [5]. Em outras palavras, abordagens de combinação fornecem uma maneira interessante de melhorar o desempenho do filtro adaptativo [6]. Recentemente, esquemas de combinação convexa foram propostos para melhorar o compromisso fundamental entre taxa de convergência e do erro quadrático médio em excessi ((EMSE) no estado estacionário em filtros adaptativos [7]
II. ALGORITMOS CONVECIONAIS
A. Algoritmo LMS Normalizado
A regra de atualização do NLMS (Normalized LMS) é dada por [8]
w(n + 1) = w(n) + μ
x(n)e(n) xT^ (n)x(n) + ε
onde e(n) = d(n) − y(n) é o erro a priori do NLMS e y(n) = xT^ (n)w(n), x(n) w(n) são o vetores de entrada e coeficientes do filtro, respectivamente. A constante ε > 0 é um fator de
regularização para evitar divisão por 0. O parâmetro μ é o fator de passo e para garantir deve-se escolher um valor no intervalo 0 < μ < 2.
B. PNLMS
Para o Proporcionate NLMS (PNLMS), a regrada de atua- lização dos coeficientes do filtro é dada por [9]
w(n + 1) = w(n) +
μG(n)e(n)x(n) xT^ (n)Gx(n) + ε
onde e(n) = d(n) − y(n) é o erro a priori do PNLMS e y(n) = xT^ (n)w(n), x(n) w(n) são o vetores de entrada e coeficientes do filtro, respectivamente. A constante ε > 0 é um fator de regularização para evitar divisão por 0 e parâmetro de passo 0 < μ < 2. A matriz
G(n) = diag [g 1 (n) g 1 (n) · · · gN (n)] , (3)
gi(n) =
φi(n ∑N j=1 φj^ (n)^
φi(n) = max [f (n), |wi(n)|] , (5)
e
f (n) = ρmax [δ, ‖w(n) V ert∞] (6)
C. IAF-PNLMS
O IAF-PNLMS (Individual Activation Factors PNLMS) foi proposto em 2010, o qual emprega fatores de ativação individuais para cada coeficiente do filtro adataptaivo [3]. A regra de atualização do IAF-PNLMS é dada por
w(n + 1) = w(n) + μG(n)e(n)x(n) xT^ (n)Gx(n) + ε
Os fatores de ativação individuais são determinados da se- guinte forma
fi(n) =
|wi(n)| +
φi(n − 1), n = mN fi(n − 1), caso contário
com i = 1, 2 , · · · , N e m = 1, 2 , 3 , · · ·. A variável fi(n) é o fator de ativação do i-ésimo coeficiente do filtro na n-ésima iteração do processo de adaptação. Dessa forma, as
funções de proporcionalidade para o algoritmo IAF-PNLMS são calculads a partir de
φi(n) = max [f (n), |wi(n)|] , i = 1, 2 , · · · , N (9) O IAF-PNLMS requer uma inicialização do vetor, f(n), dos fatores de ativação individuais dos coeficientes do filtro. Resul- tados experimentais mostram que , f(n) pode ser inicializado com [3]
fi(0) =
10 −^2
N
III. COMBINAÇÃO CONVEXA DE FILTROS ADAPTATIVOS
A combinação de filtros adaptativos explora o princípio de "dividir e conquistar"que também foi explorado pela comuni- dade de aprendizado de máquina [10]. O esquema de combinação mais simples é feita com apenas dois filtros adaptativos como mostrado na Figura 1, na qual temos o sinal desejado dado por
d(n) = xT^ (n)wo(n) + v(n) (11)
onde x(n), wo(n) e v(n) são o vetor de entrada, o vetor de pesos ótimos e um ruído de medição, respectivamente. A saída da combinação é dada por
y(n) = λ(n)y 1 (n) + [1 − λ(n)y 1 (n)] y 2 (n) (12)
onde yi(n) = xT^ (n)wi(n), com i = 1, 2 , são as saídas dos dois filtros adaptativos caracterizados por seus vetores de pesos wi(n), e λ(n) é parâmetro de mistura. Similarmente, o vetor de peso estimado, o erro e o erro a priori do esquema de combinação são dados por
w(n) = λ(n)w 1 (n) + [1 + λ(n)] w 2 (n) (13)
e(n) = λ(n)e 1 (n) + [1 + λ(n)] e 2 (n) (14)
ea(n) = λ(n)ea, 1 (n) + [1 + λ(n)] ea, 2 (n) (15)
onde ei(n) = d(n) − yi(n), com i = 1, 2. Parâmetro de mistura, λ(n) é restrito ao intervalo [0, 1] para combinações convexas, enquanto que para combinações afins pode ter qualquer valor real [10]. Cada filtro componente é adaptado usando suas próprias regras e erros, enquanto que o parâmetro λ(n) é escolhido para minimizar o erro quadrático geral da combinação.
A. Parâmetro de Mistura
Recorre-se a uma função de ativação para manter o parâ- metro de mistura dentro do intervalo de interesse. Usa-se uma função sigmoidal com adaptação de um parâmetro auxiliar a(n) dado por
λ(n) = sgm[a(n)] =
1 + e−a(n)^
Para adaptação do parâmetro de mistura λ(n) usa-se o método do gradiente estocástico para minimizar o erro a priori total da combinação, e(n). Logo, temos:
e^2 (n) = [d(n) − y(n)]^2 (17)
Figura 1: Combinação convexa de dois filtros adaptativos
a(n + 1) = a(n) − μa 2
e(n) ∂e^2 (n) ∂a(n) a(n + 1) = a(n) + μae(n)[y 1 (n) + y 2 (n)]λ(n)[1 − λ(n)] (18) Uma outra forma de adaptar o parâmetro auxiliar é recorrer a uma estimação da potência de [y 1 (n) − y 2 (n)] dado por
p(n + 1) = vp(n) + (1 − v)[y 1 (n) − y 2 (n)]^2 (19)
onde v funciona como um fator de esquecimento que pode ser facilmente ajustado, por exemplo, v = 0, 9 [11]. Logo a adaptação do parâmetro auxiliar fica
a(n + 1) = a(n) +
μa p(n)
e(n)[y 1 (n) + y 2 (n)]λ(n)[1 − λ(n)] (20)
IV. MÉTEDO PROPOSTO O método de combinação convencional restringi-se à ad- patação do parâmetro de mistura a um intervalo finito para evitar ser interrompido quando o parâmetro de mistura está muito próximo de 1. Além disso, a taxa de convergência inicial geral da combinação é mais ou menos degradada pelo filtro mais lento, embora os dois filtros sejam bem combinados [12]. Quando dois filtros são combinados, o filtro que apresenta desempenho lento no regime transitório degrada o desem- penho geral da combinação. Para contornar esse problema, foi proposto em [4] o Método de Atração de Filtro que consiste em comparar o MSE dos filtros, E[e^21 (n)] e E[e^21 (n)], para identificar o filtro mais lento. O método é derivado ao substituir o valor esperado pelo seu valor instantâneo, então
se e^21 (n) < e^22 (n) w 2 (n) = wc(n) e^22 (n) = e^2 c (n) se e^21 (n) > e^22 (n) (21) w 1 (n) = wc(n) e^21 (n) = e^2 c (n)
onde e 1 (n), e 2 (n) e ec(n) são os erros a priori dos filtros com- binados e da combinação convexa, respectivamente. Os vetores w 1 (n), w 2 (n) e wc(n) representam os vetores de coeficientes dos filtros e da combinação convexa, respectivamente.
proposto em [4]. Observou-se que este método impõe uma ace- leração na covergência destes parâmetros, e consequentemente aumentando a taxa de convergência da combinação convexa.
VII. AGRADECIMENTOS
O autor agrade a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pesso-al de Nível Superior (CAPES) pelo apoio ao desen- volvimento do projeto de pesquisa.
REFERÊNCIAS
[1] B. Farhang-Boroujeny, Adaptive filters: theory and ap- plications. John Wiley & Sons, 2013. [2] G. Su, J. Jin, Y. Gu, and J. Wang, “Performance analysis of l 0 norm constraint least mean square algorithm,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 60, no. 5, pp. 2223–2235, May 2012. [3] F. d. C. de Souza, O. J. Tobias, R. Seara, and D. R. Morgan, “A pnlms algorithm with individual activa- tion factors,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 58, no. 4, pp. 2036–2047, 2010. [4] G. Koo, J. J. Jeong, S. H. Kim, and S. W. Kim, “Adaptive combination with improved performance for sparse system,” in Industrial Technology (ICIT), 2016 IEEE International Conference on. IEEE, 2016, pp. 732–736. [5] Y. Zhang and J. A. Chambers, “Convex combination of adaptive filters for a variable tap-length lms algorithm,” IEEE Signal Processing Letters, vol. 13, no. 10, pp. 628– 631, Oct 2006. [6] J. Arenas-Garcia, A. R. Figueiras-Vidal, and A. H. Sayed, “Mean-square performance of a convex combination of two adaptive filters,” IEEE Transactions on Signal Pro- cessing, vol. 54, no. 3, pp. 1078–1090, March 2006. [7] R. Candido, M. T. M. Silva, and V. H. Nascimento, “Transient and steady-state analysis of the affine com- bination of two adaptive filters,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 58, no. 8, pp. 4064–4078, Aug
[8] F. d. C. de Souza, R. Seara, and D. R. Morgan, “An enhanced iaf-pnlms adaptive algorithm for sparse im- pulse response identification,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 60, no. 6, pp. 3301–3307, 2012. [9] D. L. Duttweiler, “Proportionate normalized least-mean- squares adaptation in echo cancelers,” IEEE Transactions on Speech and Audio Processing, vol. 8, no. 5, pp. 508– 518, 2000. [10] J. Arenas-Garcia, L. A. Azpicueta-Ruiz, M. T. Silva, V. H. Nascimento, and S. A. H, “Combinations of adap- tive filters: performance and convergence properties,” IEEE Signal Processing Magazine, vol. 33, no. 1, pp. 120–140, 2016. [11] L. A. Azpicueta-Ruiz, A. R. Figueiras-Vidal, and J. Arenas-Garcia, “A normalized adaptation scheme for the convex combination of two adaptive filters,” in Acous- tics, Speech and Signal Processing, 2008. ICASSP 2008. IEEE International Conference on. IEEE, 2008, pp. 3301–3304.
[12] J. Ni and F. Li, “Adaptive combination of subband adaptive filters for acoustic echo cancellation,” IEEE Transactions on Consumer Electronics, vol. 56, no. 3, pp. 1549–1555, Aug 2010. [13] Y. Huang, J. Benesty, and J. Chen, Acoustic MIMO signal processing. Springer Science & Business Media, 2006.
