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Trabalho de Cinemática – Parte 1
- Um campo de velocidade (^) v= 2 xy i+ 4 t z
2
j− yz k, determine:
Quais são as componentes de velocidade?
Quais são as componentes de aceleração?
Qual a expressão da aceleração?
Qual a aceleração no ponto ( 2 ,− 1 , 1 ) para t= 2?
RESPOSTA :
As componentes de velocidade são:
v i
v x
= 2 xy
v y
= 4 t z
2
v z
=− yz
A aceleração é a variação da velocidade com o tempo. Logo:
a=u
∂V
∂ x
+v
∂V
∂ y
+w
∂ V
∂ z
∂ V
∂t
Substituindo:
a=(^2 xy )^ (^2 y i)^ +(^4 t z
2
) ( 2 x i−z k ) +(− yz ) ( 8 tz j− y k ) +( 4 z
2
j)^ (^3 )
Resolvendo:
a= 4 x y
2
i+ 8 t z
2
x i− 4 t z
3
k +[^ y
2
z k − 8 t z
2
y j]^ +(^4 z
2
j)^ (^4 )
Assim, tem-se que a aceleração é dada pela seguinte expressão:
a=[^4 x y
2
2
x ]^ i+[^4 z
2
− 8 t z
2
y ]^ j+[^ y
2
z− 4 t z
3
] (^) k ( 5 )
As componentes da aceleração:
a i
a x
= 4 x y
2
2
x
a y
= 4 z
2
− 8 t z
2
y
a z
= y
2
z− 4 t z
3
A aceleração no ponto ( 2 ,− 1 , 1 ) no instante t= 2 é:
a=[ 4 ( 2 ) (− 1 )
2
2
( 2 ) ] i+[ 4 ( 1 )
2
− 8 ( 2 ) ( 1 )
2
(− 1 ) ] j+[ (− 1 )
2
( 1 )− 4 ( 2 ) ( 1 )
3
] k ( 7 )
Assim:
a= 40 i+ 20 j− 7 k (^) ( 8 )
- Um campo de velocidade (metros/s) é dado em coordenadas cilíndricas como:
v r
r
2
cos θ
v θ
r
2
sin θ
Determine no ponto (3m e π/2):
a) As velocidades v r
e v θ
b) A aceleração local;
c) As componentes de aceleração convectiva;
d) A aceleração convectiva.
RESPOSTA :
A aceleração, em coordenadas cilíndricas, é dada por:
a=
Dv
Dt
=v r
∂ v
∂r
v θ
r
∂ v
∂θ
∂ v
∂ z
∂ v
∂ t
Em componentes, tem-se:
a r
=v r
∂ v r
∂ r
v θ
r
∂ v r
∂θ
∂ v r
∂ z
v θ
2
r
∂ v r
∂ t
a θ
=v r
∂ v θ
∂ r
v θ
r
∂ v θ
∂ θ
∂ v θ
∂ z
v θ
v r
r
∂ v θ
∂ t
a z
=v r
∂ v z
∂ r
v θ
r
∂ v z
∂θ
∂ v z
∂ z
∂ v z
∂ t
Primeiramente, calcula-se as velocidades
v r e^
v θ no ponto com^
r = 3 m (^) e θ=
π
v r
(
r
2 )
cos θ=
(
2 )
cos
(
π
)
∴ v r
v θ
(
r
2 )
sin θ=
(
2 )
sin (
π
)
∴ v θ
m
s
A aceleração pode ser dividida em aceleração local e aceleração convectiva:
a=
{
∂ v
∂ t
}
aceleração local
+{ v ∙ ∇ v }
aceleração convectiva
Logo, para coordenadas cilíndricas, tem-se a aceleração local:
∂ v r
∂ t
∂ v θ
∂ t
Para a aceleração convectiva, desenvolve-se baseado nas equações dispostas das componentes da
aceleração. Assim, faz-se as componentes:
a r
=v r
∂ v r
∂ r
v θ
r
∂ v r
∂θ
¿ 0
∂ v r
∂ z
¿ 0
v θ
2
r
Desenvolvendo:
a r
[(
r
2 )
cos θ
][^
r
3
cos θ
]
r [
(
r
2 )
sin θ
][
(
r
2 )
sin θ
]
r [(
r
2 )
2
sin
2
θ
]
Resolvendo:
a r
[
(
r
2 )
cos θ
]
[
r
3
cos θ
]
r [
(
r
2 )
sin θ
][
(
r
2 )
sin θ
]
r [
(
r
2 )
2
sin
2
θ
]
Simplificando:
Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração para a partícula como funções do tempo.
RESPOSTA :
Sabe-se que a velocidade é a variação da posição com relação ao tempo. Assim, tomando-se a derivada do
espaço que a partícula ocupa:
v=u
∂ S
∂ x
¿ 0
+v
∂ S
∂ y
¿ 0
+w
∂ S
∂ z
¿ 0
∂ S
∂ t
Logo:
v=
∂ S
∂ t
∂ t
[ (^2 t+^2 )^ i+^ (^6 t
2
+ 5 t + 4 ) j+(− 2 t
3
Assim, tem-se que o campo vetorial de velocidade é:
v= 2 i+( 12 t+ 5 ) j+ (− 6 t
2
+ 4 ) k ( 33 )
A determinação do vetor aceleração é dado pela variação da velocidade no tempo. Portanto, tem-se:
a=u
∂ v
∂ x
¿ 0
+v
∂ v
∂ y
¿ 0
∂ v
∂ z
¿ 0
∂ v
∂ t
Resolvendo:
a=
∂t
[ 2 i+(^12 t^ +^5 )^ j+(−^6 t
2
Logo:
a= 12 j−( 12 t )k (^) ( 36 )
4. Dado um vetor v=(^3 r
2
cos θ)^ δ
r
−( 2 r sin θ)^ δ θ
. Determine:
As componentes de velocidade radial e tangencial;
As componentes de aceleração radial e tangencial;
A derivada substancial de velocidade
Dv
dt
RESPOSTA :
As componentes de velocidade radial e tangencial são:
v i
{
v r
=v radial
= 3 r
2
cos θ
v θ
=v tangencial
=− 2 r sinθ
Para a componente radial, tem-se:
a r
=v r
∂ v r
∂ r
v θ
r
∂ v r
∂θ
v θ
2
r
∂ v r
∂ z
¿ 0
∂ v r
∂ t
¿ 0
Desenvolvendo:
a r
=(^3 r
2
cos θ )^ (^6 r cos θ )− 2 sin θ (− 3 r
2
sinθ )−(^4 r sin
2
θ)^ =(^18 r
3
cos
2
θ )^ + 6 r
2
sin
2
θ− 4 r sin
2
θ ( 39 )
Logo:
a r
=(^18 r
3
cos
2
θ)^ + sin
2
θ (^6 r
2
− 4 r )^ ( 40 )
Para a componente tangencial:
a θ
=v r
∂ v θ
∂ r
v θ
r
∂ v θ
∂ θ
+v z
¿ 0
∂ v θ
∂ z
¿ 0
v θ
v r
r
∂ v θ
∂ t
¿ 0
Desenvolvendo:
a θ
=(^3 r
2
cos θ)^ (− 2 sin θ) +
(− 2 r sin θ )
r
(− 2 r cos θ ) +
(− 2 r sin θ) ( 3 r
2
cos θ)
r
=− 6 r
2
cos θ sin θ− 6 r
2
cos(^42 θ sin) θ+ 4 r c
Logo:
a θ
=( 1 − 3 r ) 4 r cos θ sin θ (^) ( 43 )
Usando a identidade trigonométrica abaixo:
cos θ sin θ=
sin 2 θ ( 44 )
Logo:
a θ
=( 1 − 3 r ) 2 r sin 2 θ ( 45 )
Logo:
a=[ (^18 r
3
cos
2
θ)^ +sin
2
θ (^6 r
2
− 4 r )^ ] r^ +(^1 − 3 r )^2 r sin 2 θ
^
θ (^46 )
- Dado
x=
3 x 0
y 0
t
2
z 0
y =
5 x 0
z 0
t
y 0
z=
2 y 0
z 0
t
3
x 0
Determine a velocidade e a aceleração para x 0
= 1 cm, y 0
= 2 cm (^) e z 0
= 3 cm (^) para t= 2 s.
RESPOSTA :
A velocidade é dada por:
v=u
∂ S
∂ x
¿ 0
+v
∂ S
∂ y
¿ 0
+w
∂ S
∂ z
¿ 0
∂ S
∂ t
Toma-se os termos x 0
, y 0
e z 0
como constantes determinadas. Assim, faz-se:
S=
3 x 0
y 0
t
2
z 0
^
i+
5 x 0
z 0
t
y 0
^
j +
2 y 0
z 0
t
3
x 0
^
k ( 48 )
Desenvolvendo a equação para a velocidade:
v=
∂t
(
3 x 0
y 0
t
2
z 0
^
i+
5 x 0
z 0
t
y 0
^
j+
2 y 0
z 0
t
3
x 0
^
k
)
Logo:
v=
(
6 x 0
y 0
t
z 0
)
^
i+
(
5 x 0
z 0
y 0
)
^
j+
(
6 y 0
z 0
t
2
x 0
)
^
k (^) ( 50 )
Fazendo para a aceleração:
a=u
∂ v
∂ x
¿ 0
+v
∂ v
∂ y
¿ 0
∂ v
∂ z
¿ 0
∂ v
∂ t
Dessa forma, tem-se que:
a=
∂t
((
6 x 0
y 0
t
z 0
)
^
i+
(
5 x 0
z 0
y 0
)
^
j+
(
6 y 0
z 0
t
2
x 0
)
^
k
)
Derivando com relação à t:
a=
(
6 x 0
y 0
z 0
)
^
i +
(
12 y 0
z 0
t
x 0
)
^
k (^) ( 53 )
Substituindo os valores fornecidos na questão para a velocidade e aceleração:
