M.H. Tabacniks, Conceitos Básicos da Teoria de Erros. IFUSP 2018. 1
Universidade de São Paulo
Instituto de Física
Conceitos Básicos da Teoria de Erros
Figura: Prof. Nemitala Added
Prof. Manfredo H. Tabacniks
IFUSP - 2018
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Incerteza de Medições e Teoria de Erros, Esquemas de Física Quântica
Este documento aborda a avaliação da incerteza de medições, que depende do conhecimento detalhado da natureza do mensurando e do processo de medição. A unidade das grandezas pode ser colocada no título ou junto às medidas. O número de algarismos significativos usados para expressar o valor de uma grandeza depende do processo de medida e do instrumento utilizado. A incerteza da incerteza de uma medida é discutida, assim como a relação entre o número de medidas e a incerteza da incerteza.
Tipologia: Esquemas
2021
1 / 26
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Conceitos Básicos da Teoria de Erros
Figura: Prof. Nemitala Added
Prof. Manfredo H. Tabacniks
IFUSP - 2018
“Embora este Guia forneça um esquema para obter a incerteza de
medições, ele não substitui o pensamento crítico, a honestidade intelectual
e a habilidade profissional. A avaliação da incerteza de medições não é
apenas um trabalho matemático, mas depende do conhecimento detalhado
da natureza do mensurando e do processo de medição.”
Tradução livre de um trecho do “Guide to the Expression of Uncertainty in Measurements”, International Organization for Standardization, Geneva (1993).
O presente texto foi produzido como complemento às aulas de Laboratório Didático de Física Básica do Instituto de Física da USP. A primeira versão data de 1997. A reprodução é permitida desde que citada a fonte. Para compatibilizar o texto com softwares estatísticos (especialmente os on-line), optamos por usar o PONTO como separador decimal, exceto nos casos que possam gerar confusão. Erros, comentários e dúvidas podem ser endereçados diretamente para o autor: [email protected].
intervalo de confiança não contém o valor nominal e indica um provável erro de medida, enquanto que a medida com o instrumento “B”, apesar de ter uma incerteza maior, concorda com o valor nominal.
Tabela 1.1. Medidas de viscosidade de um líquido obtidas com dois instrumentos diferentes e o valor nominal dado pelo fabricante. Instrumento Viscosidade (poise) A (^) 9,8 0, B (^) 12,3 4, Valor nominal 9,
Aproveite para observar o formato da Tabela 1.1. Uma legenda acima da tabela. Apenas três linhas horizontais: os títulos das colunas entre as duas primeiras linhas e uma linha de rodapé. A unidade das grandezas pode ser colocada no título ou junto às medidas. Finalmente, o valor nominal foi fornecido sem incerteza, o que deve ser evitado.
Todo resultado de medição de uma grandeza é composto por:
Nome da grandeza valor medido ± incerteza unidade da medida
2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Quando o valor de uma grandeza é um número muito grande ou muito pequeno, como por exemplo o diâmetro da Via Láctea medido em km, ou o raio de um átomo medido em metros, é conveniente o uso da notação científica. Escreve-se o valor com apenas um dígito antes da vírgula, seguido dos algarismos decimais necessários (eventualmente truncando e arredondando o valor em alguma casa decimal) e se multiplica tudo pela potência de dez adequada.
O volume de um sólido: 14269513 mm^3 , pode ser escrito como 1,43 x 107 mm^3 , com apenas duas casas decimais e arredondando o último dígito “para cima” uma vez que 1,4269 está mais próximo de 1,43 que de 1,42. A regra de arredondamento usada foi alterar o último dígito para “cima” caso o próximo dígito seja 5, mantendo-o no caso contrário^4. Ao truncar e arredondar as casas decimais, perdemos algo da informação inicial, que pode ser remediado usando quantos casas decimais forem necessárias. Ao escrever 1, 4269513 X 107 mm^3 expressamos o valor inicial com toda sua precisão.
A lgarismos significativos são todos os algarismos que compõem o valor de uma grandeza, excluindo eventuais zeros à esquerda usados para acerto de unidades. Atenção: ZEROS À DIREITA SÃO SIGNIFICATIVOS. Na Tabela 2.1. um mesmo valor do comprimento de uma barra foi escrito com diferente número de algarismos significativos. Ao expressar uma grandeza, o algarismo significativo mais à direita é denominado duvidoso , pois é o algarismo cujo valor pode variar ligeiramente, dependendo do processo de medição.
Tabela 2.1. Valor do comprimento de uma barra expresso com diferente número de algarismos significativos. Comprimento (mm)
Número de algarismos significativos
Algarismo significativo duvidoso 57,896 5 6 5,79 x 101 3 9 5,789600 x 101 7 0 0,6 x 102 1 6
(^4) Existem outras regras de arredondamento, mais complicadas e um pouco mais precisas, mas nenhuma é exata. A regra aqui proposta é também adotada pela maioria das calculadoras e algoritmos em computadores.
Assim, o diâmetro da moeda deve ser expresso como:
D 2 , 62 0 , 05 cm
ou, se você preferir
D 2 , 61 0 , 05 cm
o último dígito é o duvidoso.
Algarismos significativos são todos os algarismos que compõem o valor de uma grandeza, excluindo zeros à esquerda usados para acerto de unidades. Zeros à direita são dígitos significativos. O último dígito à direita é o duvidoso.
2.1. Expressão da Incerteza. Voltemos ao exemplo da Figura 2.2. Quando escrevemos D = 2,62 ± 0,05 cm, estamos afirmando que o valor medido está entre 2,57 e 2,67 cm. Observe que só podemos calcular o intervalo de confiança se alinharmos as casas decimais. Na Figura 2.4 é fácil perceber que não é possível operar valores indefinidos.
Figura 2.3. Calculando o intervalo de confiança. O valor medido está entre 2,57 e 2,67 cm.
Figura 2.4. Não é possível operar valores indefinidos.
Quando expressamos o valor e a incerteza de uma grandeza, o número de casas decimais do valor e da incerteza associada devem ser iguais. Não confunda número de casas decimais com número de algarismos significativos. O valor de D (2,62 cm) tem 3 algarismos significativos, enquanto que sua incerteza (0,05 cm) tem apenas 1 algarismo significativo. Ambos têm duas casas decimais.
2.1.1. A incerteza da incerteza
Resta saber com quantos algarismos significativos devemos expressar a incerteza de uma medida. O que estamos perguntando é qual a incerteza da incerteza de uma medida. A resposta é um pouco complicada. Aqui daremos apenas o resultado final. Queremos saber o desvio padrão do desvio padrão de uma medida que denominamos s(s(m)). Não se preocupe com o formalismo por enquanto. Importante é o resultado descrito na Tabela 2.3. apresentado por Helene e Vanin (1981). Para N medidas de uma mesma grandeza, o desvio padrão do desvio padrão vale:
2 ( 1 )
( ( ))
N
s s m s (2.1)
onde s é a incerteza associada, ou seja o desvio padrão das medidas (veja definição em 3.2). A Tabela 1.3. resume a incerteza relativa do desvio padrão usando a Eq. 1.1. para alguns valores de N. Tabela 2.3. Incerteza relativa da incerteza em função do número de medidas, N. N s(s(m))/s 3 0, 5 0, 10 0, 30 0,
Na Tabela 2.3. vimos que a incerteza da incerteza de 3 ou 5 medidas é da ordem de 50%. Apenas quando temos mais de 30 medidas, a incerteza da incerteza é menor que 10%. Ora, uma incerteza de 50% significa que se s = 1, o intervalo de confiança vale {0,5 ; 1,5}. No outro extremo, se s = 8, o intervalo de confiança é dado por {4 ; 12}. Resumindo: em nossos trabalhos de laboratório, onde usamos tipicamente 5 medidas de uma mesma grandeza para obter uma média, de nada adianta escrever a incerteza com dois algarimos significativos, pois a incerteza já é incerta em 50%. Apenas quando trabalhamos com médias de mais de 30 medidas podemos justificar
do sensor analógico, do conversor analógico-digital e do tempo de amostragem. No manual do instrumento, a incerteza pode estar expressa da seguinte forma: [0,2% leitura + 1D]. Isso significa que a incerteza da medida vale 0,2% da leitura + 1 no último dígito. No caso da medida ilustrada na Figura 2.5 teremos: 0,2% de 12,3 + 0,1 = 0,024 + 0,1 = 0,1. Concluindo, a medida com sua incerteza será expressa como 12,3 ± 0,1.
Sem saber a precisão de um instrumento digital, não resta alternativa senão supor uma incerteza nominal de ± 1 no último dígito (aliás, é o resultado obtido acima). Assim, sem consultar o manual, a medida do instrumento na Figura 2.5 vale (12,3 ± 0,1). Apesar do primeiro dígito da incerteza ser “1”, não podemos expressar a incerteza com 2 algarismos significativos e escrever (12,3 ± 0,10). O dígito duvidoso é um dígito não mostrado à direita do "3", que foi escondido pelo fabricante porque flutua no limite de precisão do instrumento. Poderíamos então supor que a incerteza do instrumento fosse ± 0,05, mas a expressão da medida ficaria novamente sem sentido (12,3 ± 0,05). Podemos tentar inventar um zero à direita e escrever (12,30 ± 0,05) ou, alternativamente, escrever (12,35 ± 0,05) onde supomos que "5" seria o dígito escondido mais provável entre 0 e 9. Nada disso faz sentido. Uma vez que o dígito duvidoso foi escondido pelo fabricante, as regras para expressar a incerteza da medida não podem ser aplicadas.
2.3. Erro e incerteza
Os termos “ erro ” e “ incerteza ” não são sinônimos. Representam conceitos muito diferentes que não devem ser confundidos nem mal empregados.
Erro : O erro é a diferença entre o valor medido e o valor verdadeiro de uma medida. Em geral não é conhecido porque o valor verdadeiro não é conhecido. O erro de uma medida decorre de imperfeições do instrumento e do processo de medida. O erro costuma ser classificado em dois componentes: erro aleatório (ou tipo A) e erro
Figura 2.5. Um medidor digital
sistemático (ou tipo B). O erro aleatório tem origem em variações imprevisíveis no processo de medida. O erro aleatório pode ser reduzido, aumentando o número de observações. O erro sistemático, tipo B, em geral não pode ser determinado através de procedimentos estatísticos. Caso seja identificado, deve ser corrigido.
Incerteza : É uma estimativa do erro. É um valor, que associado ao resultado de uma medição, caracteriza a dispersão dos valores medidos. Em geral define um intervalo de confiança em torno da medida (ou da média) que, com alguma probabilidade, contém o valor verdadeiro.
3. ESTATÍSTICAS^5
São procedimentos matemáticos que permitem obter estimativas da grandeza buscada e a incerteza associada, em geral realizados em condições de repetitividade:
3.1. Média
A média aritmética é a melhor estimativa central de um conjunto de medições. É o valor mais provável da grandeza medida:
Média de N medidas de
uma grandeza, xi :
xi
N
m
(^3 .1)
OCTAVE^6 Sugerimos usar o OCTAVE em seus cálculos. Use o ponto como separador decimal. X = [x1, x2, x3, ...] Define o vetor com suas medidas mean(X) Calcula a média do vetor X
(^5) As distribuições de probabilidades foram supostas gaussianas. (^6) OCTAVE É um software GNU livre e uma linguagem de programação de alto nível, para computação numérica. Pode ser instalado em seu computador ou utilizado on line: https://octave-online.net/
3.2. Desvio Padrão
Uma tentativa para medir a dispersão em torno da média poderia ser calcular a soma das distâncias dos pontos até a média, m , como indicado na Figura 3.1:
Dispersão linear média: D N^1 ^ xi m (3.2)
Infelizmente o resultado é nulo! (demonstre isso). A razão é simples: uma média que se preze deve estar equidistante dos pontos.
A dispersão das medidas em torno do valor verdadeiro, denominada desvio padrão, é dada pela raiz quadrada da média das distâncias quadráticas. Para um conjunto finito, com N medidas e média m , a estimativa do desvio padrão , indicada por s, é dada por:
Estimativa do desvio padrão de N medidas (amostra) ^ ^
N i i^
x m
N
s
1
2
O desvio padrão , é a medida da incerteza de infinitas medidas (coisa impossível). No cálculo da estimativa do desvio padrão de N medidas, a soma foi normalizada para N-1 medidas. A inclusão da média na somatória Eq. 3.3 remove um grau de liberdade do conjunto ( com a inclusão da média no somatório basta saber N-1 medidas, pois a enésima medida pode ser calculada usando a média) temos portanto apenas N-1 valores independentes.
OCTAVE
X = [x1, x2, x3, ...] Define o vetor com suas medidas std(X) Calcula o desvio padrão do vetor X
A estimativa do desvio padrão dos tempos de queda do corpo: st = 2. segundos. Com um algarismo significativo st = 2 segundos. Estatisticamente, o desvio padrão define o intervalo em torno da média que contém 68,3% das medidas.
Podemos escrever o intervalo de confiança que contém 68,3% das medidas de tempo como t = 10 ± 2 segundos. No gráfico da Figura 3.2, temos 25/40 = 63% medidas entre ± 1 desvio padrão, valor próximo do esperado de 68%.
Figura 3.2. 40 medidas do tempo de queda de um corpo. A linha vermelha tracejada mostra a média das medidas. A faixa definida pelas linhas pontilhadas é o intervalo de confiança de 1 desvio padrão.
Se fizermos outro conjunto de 40 medidas, cerca de 27 delas estarão no intervalo t = 10 ± 2 s e cerca de 13 medidas estarão fora desse intervalo. Não há como melhorar esse resultado. A dispersão das medidas é parte do processo de medida.
Há uma outra forma de interpretar esse resultado: dada uma medida x , e seu desvio padrão s , o intervalo x ± s tem probabilidade de 68,3% de conter o valor verdadeiro (supondo que não haja erros sistemáticos). Assim, devemos expressar o
resultado da segunda medida de tempo mostrada na Tabela 3.1, como: t 2 ^8 ^2
segundos. Note que tivemos que fazer várias medidas para determinar o desvio padrão de uma única medida.
3.3. Desvio Padrão da Média Afirmamos anteriormente que a média é a melhor estimativa central de um conjunto de medições. No limite de infinitas medidas e na ausência de erros sistemáticos, a média tende ao valor verdadeiro. Uma média deve ser mais precisa que cada medida individual. Na Figura 3.3 graficamos 40 médias de 40 medidas do
4
6
8
10
12
14
16
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 medida
tempo (s)
( ti t ) t
determinar o desvio padrão e na esperança de obter um resultado mais preciso,
calculamos a média das 40 medidas de tempo: t 40 ^10 ,^0 s. Para determinar o desvio
padrão da média fizemos mais 39 médias de 40 medidas e obtivemos: sm = 0, segundos. Calculamos o desvio padrão das 40 médias com o qual escrevemos o intervalo de confiança da média e respectivo desvio padrão da média,
t 40 10 , 0 0 , (^3) segundos. Será que existe um método menos trabalhoso para calcular o desvio padrão da média? Podemos provar que se o desvio padrão de uma medida vale s , o desvio padrão da média de N medidas é dado por:
Desvio padrão da média de N medidas N
s
s^ m^ , N (3.6)
No nosso caso s = 2 segundos. O desvio padrão da média de 40 medidas deveria ser sm = 2/40 = 2/6,3 = 0,3 segundos. Exatamente o valor calculado Na Eq.
- Um procedimento muito mais simples que fazer N médias e calcular seu desvio padrão.
É comum encontrar a afirmação que fazemos muitas medidas para melhorar um resultado. Isso é parcialmente verdadeiro. A incerteza de um processo de medida é uma característica do processo expresso pelo desvio padrão, que independe do número de medidas. É verdade que ao realizar muitas medidas pode-se obter um valor médio mais próximo do valor mais provável, uma vez que o desvio padrão da média (que expressa a incerteza da média) varia com 1/n. Entretanto, não é comum usar essa abordagem num laboratório. Na prática, quando se deseja uma medida com incerteza menor, procura-se simplesmente um procedimento ou um instrumento melhor (um micrômetro no lugar de um paquímetro, por exemplo). A principal razão para repetir uma medida várias vezes é estimar o desvio padrão.
OCTAVE
X = [x1, x2, x3, ...] define o vetor com suas medidas std(X)/sqrt(N) calcula o desvio padrão do vetor X dividido pela raiz quadrada de N (substituir N pelo número de medidas, ou definir N anteriormente)
4. PROPAGAÇÃO DE ERROS E INCERTEZAS
4.1. Introdução Em nosso exemplo anterior usamos um cronômetro com precisão de 0, segundos para medir o tempo de queda de um corpo. Concluímos que a incerteza estatística do nosso processo de medida era s = 2 segundos e, após 40 medidas pudemos escrever que o tempo mais provável é:
Valor mais provável de 40 medidas : t 40 ^10 ,^0 ^0 ,^3 segundos
Usamos um cronômetro bastante preciso (cron = 0,01 s) para obter uma média menos precisa ( sm = 0,3 s).
Temos que combinar a incerteza do cronômetro com a incerteza da nossa medida. A incerteza combinada é definida na Eq. 4.1:
Incerteza combinada s^2 2 s^2 comb cron (4.1)
onde s pode ser o desvio padrão ou o desvio padrão da média , dependendo da
incerteza que se queira combinar.
A incerteza combinada expressa o seu resultado final. A Eq. 4.1 supõe que a incerteza do cronômetro e das medidas são independentes, o que geralmente é o caso. Casos mais complicados e a justificativa da Eq. 4.1 podem ser encontrados no Guia do Inmetro (GUM, 2008).
4.2. Propagação de Incertezas: regra geral É comum usar o resultado de uma medição para derivar outra grandeza. Por exemplo, medimos o diâmetro de um círculo para saber sua área. Sabemos a incerteza da medida e desejamos saber a incerteza da grandeza derivada. Queremos propagar a incerteza.
O problema pode ser posto assim: dada uma função W = W(x, y, z) onde x, y,
z são grandezas experimentais com incertezas dadas por x, y, z e independentes
entre si, quanto vale W? A independência entre x, y, z é necessária para a
validade das fórmulas a seguir e não será discutida por enquanto. Na Figura 4 .1., o problema está numa forma gráfica, com W apenas função de x. A linha cheia representa a função W(x).
x
x
w
xi
wi
w
(^) w ^ w x x
Figura 4 .1. Propagando a incerteza em x para w(x).
A incerteza de W , pode ser obtida pela projeção da incerteza de x. Para pequenos x , temos em primeira ordem:
W x x
W
Supondo variáveis independentes entre si (LI), podemos escrever uma fórmula geral (visualize uma soma de catetos em n dimensões):
2 x
2 W x W x
W
2
2
2 x
2 W x W x
W
2
2
Formula geral para propagar incertezas não correlacionadas.
2 2
2 2
2
W x y z z
W
y
W
x
W ^ (^4.^3 )
4.2.1. Exemplo1: Adição Determinar o comprimento do segmento soma e sua incerteza:
A incerteza do segmento soma pode ser calculada aplicando a Eq. 4.3:
1. 2 1.^2
2
2 2
2 2
a b
L a b b
L
a
L
L
L
L = (20 ± 2) cm
4.2.2. Exemplo 2: Subtração Calcular o comprimento do segmento diferença e sua incerteza:
a 12 2 cm
b 8 , 0 0 , 5 cm
L = a + b
a 12 2 cm
b 8 , 0 0 , 5 cm
L = a + b
a 12 2 cm
b 8 2 cm
L = a - b
a 12 2 cm
b 8 2 cm