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Física Básica – Contédo Programático:
- Grandezas Físicas e Sistemas de Unidades;
- Vetores: Representação, Adição e Multiplicação;
- Movimento Retilíneo e Movimento em 2D e 3D;
- Leis de Newton do Movimento;
- Aplicações das Leis de Newton;
11/03-2010 1
88 dede abrilabril (quinta(quinta feira)feira):: primeira prova!primeira prova!
Assunto:
MM ovimento Retilíneoi t R tilí
Cap. 02
Vetores
Cap 03Cap. 03
Halliday 7ªed
11/3/2010-Aula 02 2
Movimento em uma dimensão
- Entender o movimento é uma das metas das leis
dda Física. Fí i
- A Mecânica estuda o movimento e as suas causas.
- A sua descrição e feita pela Cinemática.
- As suas causas são descritas pelaAs suas causas são descritas pela DinâmicaDinâmica.
- Iniciamos com o movimento em 1-D.
3
Posição & Deslocamentoç
PPergunta-se: qual é a sua posição? Qual foi o seu t l é i ã? Q l f i
deslocamento?
Vejam que estas perguntas não fazem muito sentido!
Porque, para analisarmos um evento, temos que definirli d fi i
um sistema de coordenadas
4
Exemplo: Em um espaço tridimensional é costume definir o seguinte sistema de coordenadas:i i d d d
JÁ, AQUII...
- Como o movimento se dá ao longo de uma linha reta, só precisamos de um eixo; e é constume escolher o eixo xprecisamos de um eixo; e é constume escolher o eixo x.
- Porém, como desenhá-lo? Como eu quiser!!
- A única exigência, para podermos definir posição eA única exigência, para podermos definir posição e deslocamento, é que neste eixo x haja agregado três outros conceitos:
Eixo x
- Origem ( ou ponto zero)Origem ( ou ponto zero)
- Sentido Positivo
- Sentido NegativoSentido Negativo
Exemplop
Origem (ou ponto zero)
Sentido Origem (ou ponto zero) (^) positivoi i
SentidoSentido
negativo
7
Exemplo
Sentido positivo
p
Origem (ou ponto zero)
positivo Sentido negativo g ( p )
- Este ponto está localizado em x = 3 m, o que significa que ele está a 3 m da origem no sentido positivo.g p
- Se ele estivesse localizado aqui em x = -3 m, ele ainda estaria a três metros da origem, só que agora em sentido oposto; sentido negativo.
8
Exemplo
Sentido positivo
p
Origem (ou ponto zero)
positivo Sentido negativo g ( p )
OBSERVAÇÃO:
- Sobre o eixo uma coordenada ( posição) deSobre o eixo, uma coordenada ( posição) de -3 m é menor que - 3 m é menor que uma coordenada de -2 m, e ambas são menores que uma coordenada de 3 m.
- Um sinal de mais para uma coordenada não precisa ser mostrado, mas um sinal de menos deve sempre ser explicitado.
9
Deslocamento
É a mudança de uma posição x 1 para uma posição x (^2)
d ddado por
∆ x = x 2 − x 1
Vejam que podemos ter um deslocamento no sentido positivo ou
2 1
no sentido negativo; por exemplo:
> Movendo-se de x 1 = 500 m para x 2 =120m, temos
∆ x = x 22 − x 11 = 120 m − 500 m =− 380 m
(Deslocamento no sentido negativo)
10
> Movendo-se de x 1 = 500 m para x 2 =120m, temos
∆ x = x 2 − x 1 = 120 m − 500 m =− 380 m
((Deslocamento no sentido negativo) g )
> Movendo-se de xMovendo se de x 1 1 = 300 m para x300 m para x 2 2 =400m, temos400m, temos
∆ x = x 22 − x 11 = 400 m − 300 m = 100 m
((Deslocamento no sentido positivo) p )
OO número real de metros percorridos em uma viagem é irrelevante ú l d id i é i l aqui; o deslocamento envolve apenas as posições inicial e final.
Por exemplo, se o ônibus se move de x = 1000m para x = 5000m e então volta para x = 1000m, o deslocamento correspondente é zero:
∆ x = x 22 − x 11 = 1000 m − 1000 m = 0
EXEMPLO: Você dirige um ônibus em uma estrada reta por 8,4 km a 70 km/h, quando então ele pára por falta de combustível. Nos trinta minutos seguintes, você caminha por mais 2 km ao longo da estrada até o posto mais próximo.caminha por mais 2 km ao longo da estrada até o posto mais próximo.
(a) Qual é o seu deslocamento total desde o início de sua viagem até sua chegada ao posto de combustível?g p (^) V
x = 0
V o c xi = 0
x 1 (^) = 84 km x (^) 2 = 20 km
ê!
x 1 (^) 8 , 4 km x (^) 2 2 , 0 km
k
x xf xi km km km
∆ x = xf − xi = 10 , 4 km Ao longo do sentido positivo do
eixo x
19
EXEMPLO: Você dirige um ônibus em uma estrada
reta por 8 4 km a 70 km/h quando então ele pára porreta por 8,4 km a 70 km/h, quando então ele pára por
falta de combustível. Nos trinta minutos seguintes,
você caminha por mais 2 km ao longo da estrada atévocê caminha por mais 2 km ao longo da estrada até
o posto mais próximo.
(b) Q(b) Qual é o seu intervalo de tempo l é i l d ∆∆ t gasto desde a sua partida atéd d id é a sua chegada ao posto de combustível?
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EXEMPLO: Você dirige um ônibus em uma estrada
reta por 8 4 km a 70 km/h quando então ele pára porreta por 8,4 km a 70 km/h, quando então ele pára por
falta de combustível. Nos trinta minutos seguintes,
você caminha por mais 2 km ao longo da estrada atévocê caminha por mais 2 km ao longo da estrada até
o posto mais próximo.
(b) Q(b) Qual é o seu intervalo de tempo l é i l d ∆∆ t gasto desde a sua partida atéd d id é a sua chegada ao posto de combustível?
V o
∆ t =?
c ê!
8 4 k 2 0 k 21
xi = 0 x 1^ =^8 ,^4 km x^ 2 =^2 ,^0 km
EXEMPLO: Você dirige um ônibus em uma estrada
reta por 8 4 km a 70 km/h quando então ele pára porreta por 8,4 km a 70 km/h, quando então ele pára por
falta de combustível. Nos trinta minutos seguintes,
você caminha por mais 2 km ao longo da estrada atévocê caminha por mais 2 km ao longo da estrada até
o posto mais próximo.
(b) Q(b) Qual é o seu intervalo de tempo l é i l d ∆∆ t gasto desde a sua partida atéd d id é a sua chegada ao posto de combustível?
V o
∆ t =?
c ê!
∆? ∆^05 h 22
∆ t (^) bus =? ∆ t^ apé =^0 ,^5 horas
EXEMPLO: Você dirige um ônibus em uma estrada
reta por 8 4 km a 70 km/h quando então ele pára porreta por 8,4 km a 70 km/h, quando então ele pára por
falta de combustível. Nos trinta minutos seguintes,
você caminha por mais 2 km ao longo da estrada atévocê caminha por mais 2 km ao longo da estrada até
o posto mais próximo.
V l id d Médi
∆ xbus Velocidade Média bus
bus m bus t
v ∆
, =
h
x km t bus^ 012
8 , 4 = =
∆ ∆ = V o ∆ t =?
h v km h
t mbus
bus^0 ,^12 ,^70 /
∆ = = =
c ê!
∆ t =?
∆? ∆^05 h ∆ t (^) bus =? ∆ t^ apé =^0 ,^5 horas
EXEMPLO: Você dirige um ônibus em uma estrada
reta por 8 4 km a 70 km/h quando então ele pára porreta por 8,4 km a 70 km/h, quando então ele pára por
falta de combustível. Nos trinta minutos seguintes,
você caminha por mais 2 km ao longo da estrada atévocê caminha por mais 2 km ao longo da estrada até
o posto mais próximo.
V l id d Médi
∆ xbus Velocidade Média bus
bus m bus t
v ∆
, =
h
x km t bus^ 012
8 , 4 = =
∆ ∆ = V o ∆ t =∆ t +∆ t = 0 12 h + 05 = 062 h
h v km h
t mbus
bus^0 ,^12 ,^70 /
∆ = = =
c ê!
∆ t =∆ tbus +∆ tapé = 0 , 12 h + 0 , 5 = 0 , 62 h
∆? ∆^05 h ∆ t (^) bus =? ∆ t^ apé =^0 ,^5 horas
EXEMPLO: Você dirige um ônibus em uma estrada
reta por 8 4 km a 70 km/h quando então ele pára porreta por 8,4 km a 70 km/h, quando então ele pára por
falta de combustível. Nos trinta minutos seguintes,
você caminha por mais 2 km ao longo da estrada atévocê caminha por mais 2 km ao longo da estrada até
o posto mais próximo.
( ) Q(c) Qual é a sua velocidade média v l é l id d édi (^) med ddo início da viagem até a i í i d i é
chegada ao posto de combustível?
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EXEMPLO: Você dirige um ônibus em uma estrada
reta por 8 4 km a 70 km/h quando então ele pára porreta por 8,4 km a 70 km/h, quando então ele pára por
falta de combustível. Nos trinta minutos seguintes,
você caminha por mais 2 km ao longo da estrada atévocê caminha por mais 2 km ao longo da estrada até
o posto mais próximo.
( ) Q(c) Qual é a sua velocidade média v l é l id d édi (^) med ddo início da viagem até a i í i d i é chegada ao posto de combustível?
V o
vméd =?
c ê!
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EXEMPLO: Você dirige um ônibus em uma estrada
reta por 8 4 km a 70 km/h quando então ele pára porreta por 8,4 km a 70 km/h, quando então ele pára por
falta de combustível. Nos trinta minutos seguintes,
você caminha por mais 2 km ao longo da estrada atévocê caminha por mais 2 km ao longo da estrada até
o posto mais próximo.
( ) Q(c) Qual é a sua velocidade média v l é l id d édi (^) med ddo início da viagem até a i í i d i é
chegada ao posto de combustível?
V
∆ x o
Deslocamento da viagem inteira
c t ê!
v (^) méd ∆
= (^) Intervalo de tempo da viagem inteira
27
EXEMPLO: Você dirige um ônibus em uma estrada
reta por 8 4 km a 70 km/h quando então ele pára porreta por 8,4 km a 70 km/h, quando então ele pára por
falta de combustível. Nos trinta minutos seguintes,
você caminha por mais 2 km ao longo da estrada atévocê caminha por mais 2 km ao longo da estrada até
o posto mais próximo.
( ) Q(c) Qual é a sua velocidade média v l é l id d édi (^) med ddo início da viagem até a i í i d i é chegada ao posto de combustível? Deslocamento da viagem inteira V o km h
x km v 168 /
Deslocamento da viagem inteira
c ê!
km h t h
v (^) méd 16 , 8 / 0 , 62
Intervalo de tempo da viagem inteira
28
EXEMPLO: Você dirige um ônibus em uma estrada
reta por 8 4 km a 70 km/h quando então ele pára porreta por 8,4 km a 70 km/h, quando então ele pára por
falta de combustível. Nos trinta minutos seguintes,
você caminha por mais 2 km ao longo da estrada atévocê caminha por mais 2 km ao longo da estrada até
o posto mais próximo.
(d) S(d) Suponha que para pegar a gasolina, efetuar o pagamento e voltar h li f l
para o ônibus você leva mais 45 minutos. Qual é a sua velocidade
escalar média vescalar média v (^) sm do início da viagem até seu retorno ao veículodo início da viagem até seu retorno ao veículo
com o combustível?
EXEMPLO: Você dirige um ônibus em uma estrada
reta por 8 4 km a 70 km/h quando então ele pára porreta por 8,4 km a 70 km/h, quando então ele pára por
falta de combustível. Nos trinta minutos seguintes,
você caminha por mais 2 km ao longo da estrada atévocê caminha por mais 2 km ao longo da estrada até
o posto mais próximo.
(d) S(d) Suponha que para pegar o combustível, efetuar o pagamento e h b í l f voltar para o ônibus você leva mais 45 minutos. Qual é a sua velocidade escalar média v do início da viagem até seu retorno ao V o
velocidade escalar média v (^) sm do início da viagem até seu retorno ao veículo com o combustível?
c ê!
Velocidade instantânea
Velocidade instantânea em t 0
(a velocidade instantânea
Derivada
x ( t )
tg θ dt
dxt
t
xt v t t
≡ = ∆
∆
∆→
() ( ) ( )lim 0
(a velocidade instantânea é a derivada da posição
x ( t ) em relação ao tempo)em relação ao tempo)
θ θ vv^ (^ ( t^ t^00 ))≅≅^11 ,,^55 mm // ss
t
reta tangente à curva
t 0 t 37
Exemplop
v ( t 0 )≅ 0 , 0 km / h v ( t 1 ) ≅ 30 , 0 km / h v ( t 1 )≅ 60 , 0 km / h
38
Noções de Derivada
Vamos supor uma função qualquer da seguinte forma:
2 f t = t − t +
Calcule: (a) f(0)(a) f(0) (b) f(2) (c) f(-1)( ) ( )
39
Noções de Derivada
Vamos supor uma função qualquer da seguinte forma:
2 f t = t − t +
Calcule:
2 ( ) ( 0 ) 0 3 ( 0 ) 4 4
2 a f = − + =
2 ( b ) f ( 2 ) 2 3 ( 2 ) 4 2
2 b f = − + =
2 ( c c ) ff (− 1 )=(− 1 ) − 3 (− 1 )++ 4 = 9
40
Noções de Derivada
Vamos supor uma função qualquer da seguinte forma:
2 f t = t − t +
Calcule:
( d ) f ( t + ∆ t )=?
Noções de Derivada
Vamos supor uma função qualquer da seguinte forma:
2 f t = t − t +
Calcule:
2 2
2
f
d f t t t t t t
2 2 f t + ∆ t = t + t ∆ t + ∆ t − t − ∆ t +
Noções de Derivada
Vamos supor uma função qualquer da seguinte forma:
2 f t = t − t +
Calcule
t
f t t f t
e faça ∆t = 0 o final dos cálculos. ∆ t
43
Noções de Derivada
Vamos supor uma função qualquer da seguinte forma:
2 f t = t − t +
Calcule t
f t t f t
e faça ∆t = 0 no final dos cálculos. ∆ t
2 2 ff ( t + ∆ t )= t + t ∆ t +(∆ t ) − t − ∆ t +
2 f ∆ f ∆ ∆ ∆ 2 3
2
= +∆ − ∆
t t t
t t t t
t
f t t f t
44
Noções de Derivada
2 f t = t − t +
FazerFazer ∆∆t = 0 no final dos cálculos é representado assim:t = 0 no final dos cálculos é representado assim:
f t t f t df
lim t (^) t dt
lim 0
45
Noções de Derivada
2 f t = t − t +
FazerFazer ∆∆t = 0 no final dos cálculos é representado assim:t = 0 no final dos cálculos é representado assim:
f t t f t df
lim t (^) t dt
lim 0
Então
t ∆t
f(t ∆t) f(t)
Então,
= 2 t + ∆t − 3 ∆t
lim 0
∆ →
t t dt
df
t
f t t f t
t
46
∆ t dt
Noções de Derivada
2 f t = t − t +
FazerFazer ∆∆t = 0 no final dos cálculos é representado assim:t = 0 no final dos cálculos é representado assim:
df f t +∆ t − f t
lim dt t^ ∆ t
∆→
lim 0
Velocidade instantânea
Velocidade instantânea em t 0 (a velocidade instantânea
Derivada
x ( t )
dt
dxt
t
xt v t t
() ( ) ( ) lim 0
≡ ∆
∆
∆→
(a velocidade instantânea é a derivada da posição
x ( t ) em relação ao tempo)em relação ao tempo)
θθ
t
reta tangente à curva
t 0 t
O cálculo de x (t) a partir de v (t)
t
e xt x vt dt
dt
dxt
v t () ( )
dt t 0
A velocidade é obtida derivando se a posição em relaçãoA velocidade é obtida derivando-se a posição em relação
ao tempo; geometricamente, a velocidade é o coeficiente
angular da reta tangente à curva da posição versus tempo noangular da reta tangente à curva da posição versus tempo no
instante considerado.
O deslocamento é obtido pela anti derivação (ouO deslocamento é obtido pela anti-derivação (ou
integração) da velocidade; geometricamente, o deslocamento
é a área sob a curva da função velocidade versus tempoé a área sob a curva da função velocidade versus tempo.
55
Algumas integrais importantes
ff (( tt )) F ( t )
a f ( t )+ bg ( t ) a F ( t )+ bG ( t )
F ( t )
t n ≠ 1
n
1
t n
n
a =constante at
t , n ≠− 1 t / n + 1
sin ω t −cos ω t / ω
cos ω t sin^ ω^ t /^ ω
t
e
λ
λ
t
e ee / λ
ln | t |
− 1 t
56
Aceleração média
v v v a
2 −^1 ∆ Aceleração média: t t t
a (^) m ∆
= −
= 2 1
2 1 Aceleração média:
UUm corredor acelera uniformemente d l if
até 10 m/s em t = 4,0 s. Mantém a
velocidade nos próximos 4s e reduzvelocidade nos próximos 4s e reduz
a velocidade para 8,0 m/s nos 4,7s
seguintes. Acelerações médias:
de 0s até 4s: a (^) m = 10m/s / 4s = 2,5 m/s 2
g
de 4s até 8s: a (^) m = 0m/s / 4s = 0 m/s 2
de 8s até 12 7s: ade 8s até 12,7s: a (^) m = 2m/s / 4 7s = 0 42 m/s= -2m/s / 4,7s = -0,42 m/s 2 2 57
Aceleração médiaç
Aceleração média entre t (^) 0 et 0 +∆ t
v ( t ) tg θ t
vt a (^) m = ∆
∆
()
∆ t
∆ v ( t ) θ
∆ t
θ
tt (^) 0 (^) tt ++ ∆∆ tt^ tt 0 58
Aceleração instantânea
Aceleração instantânea em t 0
ç
v ( t ) tg θ dt
dvt
t
vt a t t
≡ = ∆
∆
∆→
() ( ) ( )lim 0
(a aceleração instantânea
t dt é a derivada da ∆ t → 0 ∆ velocidade em relação ao tempo)
θθ
d l id d
t^ t
reta tangente à curva da velocidade
t 0^ t
Aceleração instantâneaç
Conceito
d
v dv a = ∆
= lim
Derivada
∆ t → (^0) ∆ t dt
Note que
Derivada segunda
2
2
dt
d x
dt
dx
dt
d
dt
dv a = ⎥ ⎦
dt dt dt dt
Aceleração constanteç
v ( t ) − v ( t 0 ) Se a aceleração é constante
0
0 t t
a am −
Se a aceleração é constante = =
Se t = 0 e v ( t ) = v temos que a velocidade fica:
v = v 0 + at
Se t 0 = 0 e v ( t 0 ) = v 0 , temos que a velocidade fica:
Note que neste movimento a
l id d di d d
x − x 0 v 0 + v
velocidade média é dada por
2
0 v 0 v t
x x v (^) m
= =
2 at 0 0
at Como x = x 0 + vmt , (^) temos: x = x + v t + 61
