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F´ısica Matem´atica I
Jorge L. deLyra
24 de Fevereiro de 2010
01: N´umero, a Linguagem da Ciˆencia
A matem´atica ´e a linguagem na qual a ciˆencia natural ´e formulada. Em particular, o uso de n´umeros ´e essencial para representar os aspectos quantitativos da ciˆencia. Na f´ısica estamos habituados a usar o corpo dos n´umeros reais como uma ferramenta b´asica para a descri¸c˜ao da natureza. Os n´umeros s˜ao utilizados tanto na descri¸c˜ao quantitativa de resultados experimentais quanto na estrutura matem´atica das teorias da f´ısica, cuja fun¸c˜ao ´e descrever as rela¸c˜oes que existem entre estes resultados experimentais, levando assim `a compreens˜ao da natureza. A defini¸c˜ao matem´atica de um corpo K consiste de um conjunto de n´umeros e de duas opera¸c˜oes aritm´eticas definidas sobre estes n´umeros, a adi¸c˜ao ou soma e a multiplica¸c˜ao ou produto. A existˆencia destas duas opera¸c˜oes ´e essencial para a maior parte das aplica¸c˜oes f´ısicas. O conjunto ´e um corpo se as duas opera¸c˜oes podem ser definidas para todos os pares de elementos do conjunto e tˆem as propriedades que seguem.
Opera¸c˜ao de Adi¸c˜ao:
Fechamento: a, b ∈ K ⇒ a + b ∈ K. Existˆencia do elemento neutro: ∃ 0 ∈ K tal que a + 0 = a, ∀a ∈ K. Existˆencia de inverso: ∃ − a ∈ K tal que a + (−a) = 0, ∀a ∈ K. Comutatividade: a, b ∈ K ⇒ a + b = b + a. Associatividade: a, b, c ∈ K ⇒ (a + b) + c = a + (b + c).
Opera¸c˜ao de Multiplica¸c˜ao:
Fechamento: a, b ∈ K ⇒ ab ∈ K. Existˆencia do elemento neutro: ∃ 1 ∈ K tal que 1a = a, ∀a ∈ K. Existˆencia de inverso: ∃ a−^1 ∈ K tal que aa−^1 = 1, ∀a ∈ K exceto a = 0. Comutatividade: a, b ∈ K ⇒ ab = ba. Associatividade: a, b, c ∈ K ⇒ (ab)c = a(bc).
Distributividade do produto em rela¸c˜ao `a soma: a, b, c ∈ K ⇒ a(b + c) = ab + ac.
Toda a aritm´etica real que usamos cotidianamente na f´ısica pode ser deduzida deste con- junto de propriedades b´asicas, que vale para o corpo R dos n´umeros reais. Elas s˜ao essenciais para que se possa interpretar no¸c˜oes de quantifica¸c˜ao ou de medida em termos dos n´umeros reais, ou de algum subconjunto dos n´umeros reais.
Este uso aparente de n´umeros reais ´e t˜ao difundido que sua importˆancia chega a ser exagerada, gerando a impress˜ao de que o uso de n´umeros reais ´e um fator conceitualmente fundamental e essencial da ciˆencia natural. Vamos argumentar aqui que isto n˜ao ´e verda- deiro, devido ao fato de que, tanto na pr´atica da atividade experimental quanto na estrutura da teoria, com o advento da mecˆanica quˆantica relativ´ıstica, os resultados de experimentos s´o podem ser determinados com uma quantidade finita de precis˜ao. Pode-se pensar em usar as opera¸c˜oes e propriedades listadas acima para fazer uma constru¸c˜ao expl´ıcita dos n´umeros reais a partir de um conjunto mais simples que podemos assumir como entendido intuitivamente a priori. Um conjunto muito simples ´e, por exemplo, o conjunto infinito mas discreto N dos n´umeros naturais, ou seja os inteiros positivos, que ´e um sub-conjunto do corpo dos n´umeros reais. O conjunto N n˜ao ´e, entretanto, um corpo, e ser´a preciso aument´a-lo para que obtenhamos um conjunto que satisfa¸ca a todas as propriedades de um corpo. Tomando este conjunto simples e intuitivo como o conjunto inicial de nossa constru¸c˜ao, impomos que exista um elemento neutro da adi¸c˜ao, o que nos for¸ca a acrescentar o elemento 0 (zero) ao conjunto. Al´em disso, se impusermos que exista o inverso da soma para estes n´umeros, somos levados a acrescentar ao conjunto os n´umeros inteiros negativos. Com isto obtemos o conjunto I de todos os n´umeros inteiros, no qual valem todas as propriedades relativas apenas `a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao. Entretanto, ainda n˜ao temos aqui um corpo, pois nem todas as propriedades da multiplica¸c˜ao valem em I. Podemos agora continuar a constru¸c˜ao impondo a existˆencia do inverso do produto destes n´umeros, o que nos leva a introduzir as fra¸c˜oes inteiras, e eventualmente ao conjunto de todos os n´umeros que podem ser expressos como p/q onde p e q s˜ao inteiros, ou seja, como o produto de um inteiro pelo inverso de algum outro inteiro. Isto nos leva ao conjunto Q dos n´umeros racionais, que satisfaz de fato a todas as propriedades de um corpo, incluindo as de fechamento. Portanto j´a temos aqui um corpo, o corpo dos n´umeros racionais. Este corpo tem tamb´em a propriedade de ser ordenado, ou seja, dados dois n´umeros do conjunto ´e sempre poss´ıvel decidir qual deles ´e o maior, propriedade esta que tamb´em vale para os n´umeros reais. Dizemos que os pares de n´umeros tem uma propriedade de tricotomia: dados a, b ∈ Q, uma e apenas uma de trˆes coisas ´e verdade: a > b, a = b ou a < b. O corpo dos n´umeros racionais ´e conceitualmente suficiente para descrever todos os poss´ıveis resultados de experimentos e as rela¸c˜oes entre eles. Entretanto, muitas vezes esta pode n˜ao ser a forma mais simples de se proceder. Como j´a obtivemos um corpo, por um momento pode parecer que neste ponto com- pletamos nossa constru¸c˜ao. Entretanto, podemos de fato continuar a constru¸c˜ao de forma a obter corpos maiores do que Q e que o cont´em como um subconjunto. Se tentarmos representar geometricamente os n´umeros racionais, colocando-os sobre uma linha reta, po- demos ver que eles n˜ao enchem a reta de forma completa, pois existem pontos da reta, os quais podem ser definidos por meio de argumentos puramente geom´etricos, que n˜ao podem ser expressos como a raz˜ao de dois inteiros. De fato, pode-se mostrar que o conjunto Q ´e enumer´avel, ou seja que tem o mesmo n´umero de elementos que o conjunto N. Por outro lado, o mesmo n˜ao ´e verdade para os n´umeros reais, que tem infinitamente mais elementos do que Q ou N. Pode-se mostrar que o conjunto Q enche a reta real num sentido que, de forma geral, ´e suficiente para as aplica¸c˜oes da f´ısica, mas que ainda ´e um tanto limitado do ponto de vista matem´atico: uma vez colocados todos os racionais sobre a reta, n˜ao sobra nela nenhum intervalo vazio de comprimento n˜ao-nulo, ou seja, n˜ao sobra nenhum buraco finito. H´a, entretanto um conjunto infinito muito grande de buracos infinitesimais, de comprimento zero. Dizemos que o conjunto Q ´e denso na reta real, mas que ele n˜ao a completa, ou seja,
pl 11 =
qm 1 1 ...qm k′k′ pl 22 ...p lj′ j′
o que ´e imposs´ıvel, pois o lado direito da equa¸c˜ao n˜ao ´e inteiro, uma vez que o produto de n´umeros primos no numerador n˜ao ´e divis´ıvel pelo conjunto de n´umero primos no denomi- nador. Assim, vemos que ´e imposs´ıvel termos uma igualdade como
pl 11 ...pl jj = qm 1 1 ...q km k,
onde todo pi ´e diferente de cada um dos qi. Voltando `a quest˜ao do n´umero r =
2, se assumirmos que ele ´e racional, ent˜ao existem inteiros p e q tais que
r =
p q
pl 11 ...pl jj q 1 m 1 ...qm kk
onde decompusemos p e q em seus fatores primos e cancelamos todos os fatores comuns. Como p e q s˜ao dois n´umeros diferentes, restam dois conjuntos de n´umeros primos pi e qi todos diferentes entre si, e como r n˜ao ´e inteiro, h´a pelo menos um elemento qi no denominador. Se tomarmos agora o quadrado desta equa¸c˜ao, onde r^2 = 2, obtemos
p^21 l 1 ...p^2 jlj q^21 m^1 ...q^2 kmk
o que n˜ao ´e poss´ıvel pois o lado direito n˜ao ´e um n´umero inteiro. Segue que
2 n˜ao pode ser escrito como p/q para p e q inteiros, e portanto que
2 n˜ao ´e um n´umero racional. Considerando-se que as ra´ızes dos n´umeros inteiros tipicamente n˜ao s˜ao racionais, neste ponto pode-se considerar uma generaliza¸c˜ao dos n´umeros racionais, adicionando-se a eles as ra´ızes de n´umeros inteiros ou, de forma mais geral, todas as ra´ızes reais dos polinˆomios de todas as ordens com coeficientes racionais. O conjunto resultante ´e chamado de conjunto dos n´umeros alg´ebricos, mas trata-se na verdade de uma generaliza¸c˜ao ainda incompleta, que n˜ao inclui, por exemplo, o n´umero π. Assim como no caso dos n´umeros racionais, pode- se mostrar que este conjunto possui uma infinidade enumer´avel de elementos. De qualquer forma, vemos aqui que a generaliza¸c˜ao dos n´umeros racionais est´a associada ao conceito de fun¸c˜ao, neste caso aos polinˆomios, que envolvem algoritmos para a manipula¸c˜ao destes n´umeros. A maior generaliza¸c˜ao poss´ıvel dos n´umeros racionais, de forma a cobrir todos os bura- cos infinitesimais deixados pelos n´umeros racionais na reta, envolve a introdu¸c˜ao em nossa discuss˜ao de processos infinitos, o que constitui um dos mais dif´ıceis e importantes aspectos da matem´atica abstrata. E aqui que entra o conceito de limite, que ´´ e um dos fundamentos do c´alculo integral e diferencial. Pode-se mostrar que a maior generaliza¸c˜ao poss´ıvel con- siste de se acrescentar ao conjunto Q os limites de todas as poss´ıveis sequˆencias infinitas convergentes de n´umeros racionais, o que nos leva ao conjunto R dos n´umeros reais. A demonstra¸c˜ao de que isto ´e uma generaliza¸c˜ao completa ´e dif´ıcil e est´a al´em dos nossos objetivos aqui. A demonstra¸c˜ao de que o conjunto resultante ´e um corpo pode ser feita atrav´es da generaliza¸c˜ao das opera¸c˜oes aritm´eticas para as sequˆencias infinitas de n´umeros racionais. Do ponto de vista geom´etrico o corpo R dos n´umeros reais pode ser identificado de forma biun´ıvoca com uma reta infinita orientada, que passamos a denominar de reta real, onde os n´umeros s˜ao interpretados como as distˆancias de cada ponto da reta a partir da origem, que ´e associada ao zero.
A completicidade de R em rela¸c˜ao a reta n˜ao significa mais do que uma rela¸c˜ao biun´ıvoca completa entre os n´umeros reais e os pontos da reta, ou seja, n˜ao h´a nenhum ponto da reta que n˜ao corresponda a um n´umero real, e n˜ao h´a nenhum n´umero real que n˜ao corresponda a um ponto da reta. Outra forma, esta mais algor´ıtmica, de se expressar esta rela¸c˜ao entre elementos aritm´eticos e geom´etricos ´e dizer que n˜ao h´a nenhuma forma de se produzir um n´umero real, usando as duas opera¸c˜oes aritm´eticas que existem sobre eles, mesmo com um n´umero infinito de passos, que n˜ao esteja representado como um ponto na reta, e que n˜ao ´e poss´ıvel produzir nenhum ponto da reta por meios puramente geom´etricos que n˜ao possa ser representado atrav´es de uma sequˆencia, possivelmente infinita, de opera¸c˜oes aritm´eticas com n´umeros reais. Podemos ilustrar tanto os n´umeros racionais quanto os n´umeros reais em termos de sua representa¸c˜ao decimal. Note-se entretanto que n˜ao h´a nada de matematicamente fundamen- tal em rela¸c˜aoa representa¸c˜ao decimal, e que o mesmo poderia ser feito com a representa¸c˜ao em qualquer outra base, tal como a bin´aria, por exemplo. Tipicamente os n´umeros racionais podem ser representados por um n´umero finito de d´ıgitos decimais, como por exemplo 3 2
ou por um n´umero infinito de d´ıgitos que apresenta entretanto um padr˜ao peri´odico a partir de um determinado d´ıgito, como por exemplo 8 3
Por outro lado, n´umeros reais que n˜ao s˜ao racionais, que s˜ao chamados de n´umeros irraci- onais, s˜ao representados por um n´umero infinito de d´ıgitos que n˜ao apresenta nenhum um padr˜ao peri´odico, como por exemplo √ 2 = 1. 414213562373095... ,
ou
π = 3. 141592653589793....
O uso do cont´ınuo dos n´umeros reais ´e frequentemente, mas nem sempre, um recurso simplificador muito desej´avel. Conceitualmente, entretanto, o uso dos n´umeros reais n˜ao ´e uma necessidade da f´ısica, mas apenas um recurso simplificador, que portanto s´o deve ser usado quando de fato simplifica as coisas. Na f´ısica estamos limitados a fazer apenas um n´umero possivelmente grande mas certamente finito de medidas, todas elas fornecendo resultados com precis˜ao finita. E perfeitamente poss´´ ıvel que as rela¸c˜oes entre estas medidas, cuja descri¸c˜ao ´e a tarefa da f´ısica te´orica, sejam expressas e compreendidas de forma mais simples com o uso do cont´ınuo, mas isto n˜ao quer dizer que uma teoria ou um m´etodo que n˜ao usem ou sejam aplic´aveis ao cont´ınuo estejam necessariamente errados ou incompletos, apenas por este motivo. Podemos ent˜ao formular a seguinte afirma¸c˜ao, que ´e suficientemente importante para ser colocada em destaque:
O uso do corpo R na f´ısica ´e frequentemente, mas n˜ao sempre, muito ´util, entretanto ele n˜ao ´e uma necessidade conceitual da f´ısica. O cont´ınuo ´e um conceito abstrato, que n˜ao est´a diretamente acess´ıvel atrav´es de medidas f´ısicas.
Neste texto faremos algumas vezes uso de m´etodos discretos, sem qualquer preocupa¸c˜ao de que eles incluam uma representa¸c˜ao fiel do cont´ınuo. Ser´a suficiente que a reta real seja
E poss´^ ´ ıvel tamb´em construir s´eries de potˆencias, envolvendo apenas n´umeros racionais, que convergem para um n´umero irracional como
2, mas isto s´o ser´a discutido em detalhe nestas notas bem mais adiante. Este esquema de aproxima¸c˜ao ´e discutido em detalhe na referˆencia [2]. Nos dois casos, est˜ao dispon´ıveis tamb´em programas computacionais [3] para a constru¸c˜ao parcial das sequˆencias e s´eries, permitindo assim uma interessante an´alise pr´atica, atrav´es de m´etodos num´ericos, da sua convergˆencia para o limite. Tendo em vista a importˆancia para a f´ısica da estrutura matem´atica de um corpo ordenado, e tendo constru´ıdo o corpo Q dos racionais e o corpo R dos reais, do qual Q ´e um subconjunto, ambos ordenados e o ´ultimo completo na reta real, podemos agora nos perguntar se existe algum corpo completo e ordenado cuja estrutura seja diferente da estrutura de R. A resposta, talvez surpreendente, que nos ´e dada pela ´algebra avan¸cada, ´e que n˜ao, que trata-se de uma estrutura ´unica. Entretanto, ´e um fato not´avel que, se levantarmos uma ´unica exigˆencia, a de ordenabi- lidade, ent˜ao descobrimos que h´a uma estrutura mais geral, que tem todas as propriedades de um corpo, al´em da completicidade e de algumas estruturas adicionais. Trata-se do corpo C dos n´umeros complexos, que ´e de fato um corpo maior do que o dos n´umeros reais, e que o cont´em. De acordo com teoremas de ´algebra avan¸cada, C ´e de fato o maior corpo (comutativo) poss´ıvel. Assim como o uso de R pode simplificar as coisas na f´ısica, apesar de n˜ao ser conceitualmente imprescind´ıvel, o uso de C pode simplificar as coisas de forma ainda mais radical. N˜ao ´e portanto uma surpresa que o seu uso seja amplamente difundido na f´ısica. Estruturas maiores do que C podem ser obtidas apenas se levantarmos alguma das exigˆencias que definem um corpo. Por exemplo, ´e poss´ıvel obter um conjunto de elementos denominados quat´ernions, formados por qu´adruplas ordenadas de n´umeros reais, desde que desistamos da propriedade de comutatividade da opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao. As vezes` chamamos esta estrutura de um corpo n˜ao-comutativo, mas a rigor n˜ao se trata mais
de um corpo propriamente dito. E tamb´´ em poss´ıvel definir um conjunto ainda maior de elementos denominados octonions, desde que levantemos o requerimento de associatividade da multiplica¸c˜ao. Apesar de que o conjunto dos quat´ernions tem alguma rela¸c˜ao com a mecˆanica quˆantica, a utilidade destas estruturas maiores ´e muito mais limitada do que a utilidade dos n´umeros complexos, que ´e verdadeiramente imensa. Os n´umeros complexos s˜ao definidos como pares ordenados de n´umeros reais. Seja z = (x, y) um tal par ordenado, com x, y ∈ R, ent˜ao z ∈ C e as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de n´umeros complexos s˜ao definidas em termos das correspondentes opera¸c˜oes dos n´umeros reais, como segue, soma : z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ); produto : z 1 z 2 = (x 1 x 2 − y 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ). E f´´ acil verificar que o elemento neutro da soma ´e (0, 0), e que o elemento neutro do produto ´e (1, 0). O primeiro elemento do par ordenado ´e denominado de parte real, enquanto o segundo elemento ´e denominado de parte imagin´aria. Assim como temos a unidade real (1, 0), podemos tamb´em definir uma unidade imagin´aria, que ´e o elemento (0, 1). Como este elemento tem importˆancia especial, vamos denot´a-lo por um s´ımbolo dedicado, a saber ı = (0, 1). Da defini¸c˜ao da opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao em C segue que ı 2 = (− 1 , 0). Como o elemento neutro da multiplica¸c˜ao ´e (1, 0), ´e natural identific´a-lo com o s´ımbolo 1, sem introduzir qualquer possibilidade de confus˜ao. Assim, podemos tamb´em dizer que ı 2 = −1. A natureza real ou complexa dos n´umeros e dos s´ımbolos utilizados estar´a sempre clara devido ao contexto dos argumentos desenvolvidos. Observe-se que ı n˜ao ´e definido como
−1, mas sim como o par ordenado (0, 1). Em termos dos s´ımbolos 1 e ı , qualquer n´umero complexo z = (x, y) pode ser escrito com uma combina¸c˜ao linear, z = x + ı y, o que pode ser verificado usando-se apenas as defini¸c˜oes das opera¸c˜oes aritm´eticas complexas. Se considerarmos o subconjunto dos n´umeros complexos que s˜ao da forma (x, 0), po- demos verificar facilmente que recuperamos o conjunto dos n´umeros reais x, com as suas propriedades usuais de adi¸c˜ao e de multiplica¸c˜ao, de forma que o corpo R ´e um subconjunto de C, que preserva as opera¸c˜oes aritm´eticas de C. Tamb´em n˜ao ´e dif´ıcil verificar direta- mente que as opera¸c˜oes aritm´eticas definidas acima para os n´umeros complexos satisfazem a todas as propriedades necess´arias para a defini¸c˜ao de um corpo, por meio da redu¸c˜ao das propriedades complexas as correspondentes propriedades reais, j´a conhecidas. Da mesma forma como R ´e completo na reta real, C ´e completo num plano bidimensional (x, y), que denominamos de plano complexo. A no¸c˜ao de completicidade do conjunto, bem como a no¸c˜ao de limite, se estendem naturalmente para o ˆambito complexo, e s˜ao essencialmente as mesmas que conhecemos no ˆambito real. Ademais, toda a ´algebra de C ´e operacionalmente idˆenticaa ´algebra (aritm´etica) dos reais, de forma que podemos manipular n´umeros complexos exatamente da mesma forma como manipulamos n´umeros reais, sem ter de nos preocupar em indicar a cada momento que os n´umeros envolvidos n˜ao s˜ao puramente reais. Apesar de que o corpo dos n´umeros complexos n˜ao ´e ordenado, ´e poss´ıvel associar a eles uma no¸c˜ao de magnitude, que ´e muito ´util tanto na f´ısica quanto na an´alise matem´atica, atrav´es do conceito do m´odulo |z| de um n´umero complexo z = (x, y), que ´e o n´umero real dado por
|z| =
x^2 + y^2. Por fim, temos uma opera¸c˜ao adicional muito ´util em C, que denominamos de conjuga¸c˜ao complexa. Dado o n´umero complexo z = (x, y) = x + ı y, definimos o seu complexo conju- gado z∗, muitas vezes denotado tamb´em por ¯z, como
