Baixe Flexão de uma barra e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
Experiência: Funções de mais de uma variável – Flexão de uma barra
1. Objetivos:
Através do estudo da flexão de uma barra metálica de seção uniforme, investigar a relação desta variável em função de outras duas: o peso adicionado à sua extremidade e o comprimento da parte flexionada da mesma (vão livre).
Construir gráficos em papel milimetrado e a partir de um destes, linearizar a curva obtida, em um papel gráfico adequado para tal curva, neste caso, o papel dilogarítmico, exercitando então o uso deste papel gráfico na obtenção de funções matemáticas que regem determinado sistema físico.
Encontrar uma relação entre as expressões obtidas pelos gráficos e combiná-las de modo a obter uma função de mais de uma variável, que regerá o fenômeno físico estudado neste trabalho, exercitando então o uso desta técnica na obtenção de funções dessa natureza.
2. Introdução teórica.
2.1.. Expressões com mais de uma variável. Quando é necessário obter expressões matemáticas que regem determinados fenômenos físicos, normalmente nos deparamos com situações onde uma única medição de um parâmetro variável em função de outro fixo, nos remete á um gráfico do comportamento geral do sistema onde se pode imediatamente obter tal expressão. Porém, há situações onde existem vários fatores que influenciam o comportamento do fenômeno estudado, ou seja, mesmo fixando um parâmetro, temos outros dois ou mais. Temos então de fazer as medições variando apenas um parâmetro, fixando todos os outros. Posteriormente fixamos o mesmo parâmetro variável fixado anteriormente, porém em um ponto de valor diferente ao anterior e trabalhamos novamente com apenas um. Fazemos isso até se obter uma quantidade rica de resultados e depois construímos gráficos diferentes para a variação de parâmetros diferentes. Investigando o fenômeno e combinando as expressões obtidas desses gráficos chegamos finalmente numa expressão que rege o sistema em geral.
2.2.. (^) Flexão de uma barra. A flexão é um esforço físico no qual se caracteriza pela deformação ocorrer perpendicularmente à força atuante. A linha que une o centro de gravidade de todas as seções transversais de uma barra é chamada eixo longitudinal da barra, o mesmo, quando submetido á cargas perpendiculares desenvolve em si o momento fletor. O Momento Fletor representa a soma algébrica dos momentos relativos contidos no eixo longitudinal da barra, gerados por cargas aplicadas perpendiculamente ao mesmo produzindo um esforço que tende a curvar o eixo longitudinal [3]. Quando uma barra metálica engastada é submetida a uma força peso (P) em sua extremidade, ocorre uma flexão (Y) na mesma, que varia proporcionalmente ao produto do esforço P, pelo cubo do comprimento (L) da barra, também chamado de “vão livre”, obedecendo à expressão: (2-2-1)
Onde K é uma constante que depende de fatores particulares do experimento. Para que se possa chegar à equação (2-2-1) através de dados experimentais, é preciso fixar o comprimento L e medir as flexões Y em função do peso P. Fazendo isto para uma série de valores de L fixos, construímos os gráficos (Y x P) de cada comprimento fixado e depois comparamos todas as curvas obtidas construindo outro gráfico em função de L. Comparando as relações obtidas nos gráficos, chegaremos à expressão (2-2-1) que possui mais de uma variável.
2.3.. Gráficos em papel di-log. A linearização de curvas é uma técnica que nos permite encontrar a expressão de um gráfico qualquer com a mesma simplicidade de um gráfico linear. No caso de uma parábola, devemos usar um papel gráfico cujos dois eixos estejam em escala logarítmica, o que não é possível com o papel monologarítmico, já estudado, pois apenas um dos seus eixos possui a escala necessária. Tomamos então, o uso do papel dilogarítmico ou di-log que é do tipo log(y) versus log(x)
Identificar a curva obtida, linearizá-la em um papel gráfico adequado e obter a equação geral do sistema.
4. Resultados.
a) A barra fornecida foi medida com uma régua e as divisões foram marcadas igualmente espaçadas de acordo com o esquema abaixo:
Figura 4.1. Esquema das medições e marcações efetuadas na barra.
b) Com a barra fixa de acordo com o esquema da figura 4.1 o aparelho foi montado.
c) Com o comprimento do vão livre anotado, ajustamos a escala graduada de modo que a posição da barra na escala quando não estava sob a ação de nenhum peso fosse zero, ou seja, o índice superior da escala ficou definido como sendo zero. Fizemos esse mesmo ajuste para todos os comprimentos L adotados.
d) Antes de prender os pesos á extremidade livre da barra, medimos suas respectivas massas e organizamos os dados obtidos na tabela abaixo: Tabela 4.1. Massas medidas dos pesos Peso 1 2 3 4 5 6 Massa (m) 124,44^ 123,00^ 133,28^ 129,05^ 135,25^ 132,
Colocando os pesos um á um no suporte situado na extremidade da barra, vamos aumentando a carga sucessivamente de acordo com as massas. Para a organização das medições, construímos uma tabela que relaciona a carga adicionada e a força peso aplicada na extremidade da barra.
Sabendo que o módulo da força peso é dado pelo produto da massa pelo módulo da aceleração da gravidade e tomando a aceleração gravidade como sendo constante e de módulo temos: Tabela 4.2. Força peso exercido pelo somatório das cargas. Somatório das Cargas
A=1 B=1,2 C=1,2,3 D=1,2,3,4 E=1,2,3,4,5 F=1,2,3,4,5, Massa (m) 124,44^ 247,44^ 380,72^ 509,77^ 645,02^ 777,
Peso (P) 1219,5^ 2425,0^ 3731,0^ 4995,7^ 6321,2^ 7622,
e) Os comprimentos adotados para as medições de flexão foram:
Tabela 4.3. Comprimentos adotados para as medições. Comprimentos (L)
1 2 3 4 5 360,0 300,0 240,0 180,0 120,
f) Os resultados obtidos da medição da flexão da barra ocasionada em função dos itens “d” e “e” foram organizados em tabelas individuais para cada L: Tabela 4.4. Flexões Y em função do peso P para L1. Peso (P) 1219,5^ 2425,0^ 3731,0^ 4995,7^ 6321,2^ 7622,
Flexão (Y) 13,0^ 26,0^ 41,0^ 54,0^ 69,0^ 84,
Tabela 4.5. Flexões Y em função do peso P para L2. Peso (P) 1219,5^ 2425,0^ 3731,0^ 4995,7^ 6321,2^ 7622,
Flexão (Y) 7,5^ 16,0^ 25,0^ 33,5^ 42,0^ 50,
Tomando pontos não experimentais dos gráficos, indicados nos mesmos e dados na tabela abaixo, utilizamos a equação (4-2) para calcularmos os coeficientes angulares de cada reta: Tabela 4.9. Pontos adotados nas diferentes retas para os cálculos dos coeficientes angulares.
Reta de um respectivo comprimento L
Pontos (x;y) Coeficiente Angular da reta ( ) L1 = 360,0 P1 = (5,8 ; 65)^ P2 = (7 ; 77,5)^ Tg^ α1= 10, L2 = 300,0 P3 = (4,5 ; 30)^ P4 = (6 ; 40)^ Tg^ α2= 6, L3 = 240,0 P5 = (5,75 ; 22,5)^ P6 = (7 ; 27,5)^ Tg^ α3= 4, L4 = 180,0 P7 = (5,25 ; 10) P8 = (7,25 ; 14) Tg α4= 2, L5 = 120,0 P9 = (3 ; 2,5)^ P10 = (5,75 ; 5)^ Tg^ α5= 0,
i) A partir da tabela 4.9 construímos um gráfico em papel milimetrado do coeficiente angular das retas que indicam valores para L em função dos comprimentos L, que segue em anexo. Observando o gráfico 4.2 notamos que se trata de uma parábola e portanto para linearizá-la é necessário transpor esta curva em um papel cujos dois eixos sejam logarítmicos. Utilizaremos então o papel di-log para linearizar esta curva e obter sua expressão. O gráfico 4.2 linearizado segue em anexo. Tomando dois pontos não experimentais da reta obtida: P1 = (log260;log5) e P2 = (log340;log10) mostrados no gráfico, podemos partir da equação reduzida da reta para obtermos os coeficientes da mesma. Sendo para este caso a equação reduzida da reta: (4-3) Onde k é o coeficiente angular da reta e log(K) é o coeficiente linear que indica o valor de log() quando log(L) é nulo. Partindo da equação (4-3) temos: (4-4)
Tomando a equação (4-3) podemos obter os coeficientes da reta. O coeficiente angular da reta (k) é obtido através da expressão:
(4-5)
Tomando os pontos P1 e P2 temos:
(4-6)
Substituindo (4-6) em (4-3) temos:
(4-7)
Podemos obter o coeficiente linear da reta olhando diretamente no gráfico. Sabendo que o coeficiente linear é o ponto em log (γ) quando log (L) é nulo, obtemos o coeficiente linear do gráfico: (4-8)
Agora, substituindo a equação (4-4) em (4-1) sabendo que em (4-1), C é nulo temos: (4-9)
