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III- FLEXÃO SIMPLES
1- EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÃO
As deformações na flexão simples correspondem aos domínios 2, 3 e 4. Os valores de “x” que limitam estes domínios podem ser obtidos facilmente das equações de compatibilidade de deformações.
DOMÍNIO 2: peças sub-armadas → estado limite último é atingido pela deformação plástica excessiva do aço, sem ruptura do concreto. ε 1 = 10%o = 0,010 0 < εc < 0, 0 < x < 0,259d
DOMÍNIO 3: ruptura do concreto ocorre simultaneamente com o escoamento do aço → aproveitamento integral dos 2 materiais → situação desejável → não há risco de ruptura brusca. 10%o > ε 1 > εyd εc = 0, 0,259d < x < xlim
Com
para o aço CA-50 : xlim = 0,628 d
A NBR6118-2003 limita a relação x/d para poder melhorar a ductilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou de ligações com outros elementos estruturais. Tal limitação é a seguinte: a) x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa; b) x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa.
Permite-se alterar esses valores desde que sejam utilizados detalhamentos especiais da armadura na região.
Quando for realizada uma redistribuição dos momentos fletores, passando a um valor menor em δM, em uma dada seção transversal, muda tal limitação da posição da linha neutra para a indicada a seguir:
a) δ ≤ 0,44 + 1,25 x/d para concretos com fck ≤ 35 MPa; b) δ ≤ 0,56 + 1,25 x/d para concretos com fck > 35 MPa.
Sendo que o coeficiente de redistribuição δ deve obedecer aos seguintes limites: a) δ ≥ 0,90 para estruturas de nós móveis; b) δ ≥ 0,75 para os outros casos.
εc
x d Md
ε 1
linha neutra
As^ d-x
d- x
x
ε c ε 1
1 1 , 36 E fyd(MPa )
d x (^) lim (^) − 03
Também pela norma antiga pode-se fazer uma redistribuição de momentos fletores, empregando um valor fixo (igual a 0,85) como fator redutor dos momentos sobre o apoio.
- DOMÍNIO 4: peças superarmadas → concreto rompe sem que o aço escoe → sem fissuração → deve-se evitar → não é econômico (mal aproveitamento do aço) e rompe sem aviso. εyd > ε 1 εc = 0, xlim < x ≤ d
2- DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR (Domínios 2 e 3)
Dados conhecidos:
- dimensões da seção transversal (b, h, d)
- resistências dos materiais (fck , fyk)
- solicitação (Md)
Calcula-se → As , ou As e A’s
- Armadura simples (As) → x < xlim , Md < Md lim
- Armadura dupla (As e A’s) → x > xlim , Md > Md lim
- Armadura mínima → As mín = 0,15% bw h → aço CA-50 e CA-
- Armadura máxima → As máx = 4% bw h
2.1- ARMADURA SIMPLES
*Equações de equilíbrio → ∑F = 0 → 0 =0,85byfcd -Asfyd
∑M^ As =^0 → Md=0,85byfcd(d-0,5^ y)
*Domínios 2 e 3 → O valor de y deve deve atender a condição: y ≤ ylim = 0,8 xlim
Caso y > ylim , o momento de cálculo atuante é maior que o momento limite; ou seja
Md > Mdlim → Mdlim =0,85bylimfcd(d-0,5ylim)
d Md
0,85 fcd
0,85 b y fcd Fcc y^ =^ 0,8^ x
As fyd Fst
x
linha neutra
As
linha neutra
b w
h
d’ A s’^ 0,8x
A s
d
0 =0,85bwyfcd+0,85fcd(b (^) f-bw) hf-Asfyd
Md =0,85bwyfcd(d-0,5y)+0,85fcd ( bf-bw) hf(d - 0,5hf)
3.1- - Zona comprimida está dentro da mesa →→→→ 0,8x < hf →→→→ Armadura Simples
O dimensionamento é feito como se tivesse uma viga de seção retangular de largura bf e altura útil d, com as seguintes equações de equilíbrio:
3.2- - A altura da zona comprimida está entre hf e 0,8xlim →→→→ hf < 0,8x ≤≤≤≤ 0,8xlim →→→→ Armadura Simples
O dimensionamento é feito adaptando-se as equações de equilíbrio para a seção T, o que resulta:
3.3- A altura da zona comprimida é maior que 0,8xlim →→→→ 0,8x > 0,8 xlim →→→→ Armadura Dupla
O procedimento é análogo ao da seção retangular com armadura dupla. Faz-se, então, o cálculo do momento correspondente a seção T quando 0,8x = 0,8xlim , Mdmáx :
M (^) dmáx=0,85bwylimfcd(d-0,5ylim)+0,85fcd (b (^) f -bw) hf(d - 0,5hf)
A diferença de momentos ∆Md = Md - Mdmáx será absorvida por uma armadura de compressão, A’s, e uma armadura tracionada ∆As. As equações de equilíbrio são, então, dadas por:
∑ F^ =^0 →^0 =0,85fcd [(b^ f-bw)hf+bwylim]^ +As'σ 2 - Asfyd
∑ M^ As =^0 → Md=Mdmax+As'σ 2 (d-d'^ )
A tensão σ 2 da armadura de compressão A’s deve ser determinada pelo diagrama tensão- deformação do aço empregado, tendo-se calculado antes a deformação εs2 a apartir da compatibilidade de deformações:
y
y -0,8d' 0, lim
lim
εs 2 = → diagrama tensão-defrmação do aço → σ 2
4- VERIFICAÇÃO DE SEÇÃO RETANGULAR
Nos problemas de verificação, são conhecidas todas as dimensões geométricas da seção, suas armaduras, as resistências dos materiais e deve ser calculado o momento fletor último, Mu, que pode solicitá-la.
4.1- ARMADURA SIMPLES
y b^ →^ b^ f 0 =0,85bf yfcd -As fyd
Md =0,85bf yfcd (d - 0,5y)
y
A diferença do problema de verificação em comparação ao de dimensionamento está no fato de não se saber se a armadura tracionada atingiu a tensão de cálculo fyd. As equações de equilíbrio, neste caso, são: ( 1 ) → 0 =0,85byfcd - Asσ 1 ( 2 ) → Mu=0,85byfcd(d-0,5 y) Este sistema não pode ser resolvido, pois existem três incógnitas - y, σ 1 , e Mu - e duas equações. O procedimento utilizado para resolver o sistema é o seguinte:
- arbitra-se, na equação (1), σ 1 = fyd e obtém-se o valor de y
- se o valor encontrado para y for y ≤ ylim , σ 1 realmente atingiu a tensão de cálculo fyd; o valor de y calculado está correto e determina-se o valor de Mu substituindo-se y na equação (2)
- se o valor encontrado para y for y > ylim o seu valor não está correto, pois para y > ylim → σ 1 < fyd e o problema deverá ser resolvido de acordo com o tipo do aço:
- BARRAS (A) Para as barras, quando y > ylim , σ 1 está na parte da reta de Hooke do diagrama tensão-deformação; assim, a deformação na armadura tracionada é dada por:
E s
1 1
σ ε =
A tensão σ 1 é determinada substituindo-se o valor acima na equação de compatibilidade das deformações:
y
0,0035 Es(0,8d -y) σ 1 =
Esta equação, junto com as de equilíbrio (1) e (2) torna o sistema determinado.
- FIOS (B) Para os fios, quando y > ylim → σ 1 < fyd e, geralmente, o diagrama tensão-deformação do aço está no trecho curvo. A solução é possível por tentativas:
- arbitra-se o valor de σ 1
- calcula-se y a partir da equação de equilíbrio (1)
- com o valor de y , obtém-se a deformação da armadura através da equação de compatibilidade de deformações
y
0 , 0035 (0,8d -y) ε 1 =
- com o valor de ε 1 , determina-se o valor da tensão σ 1 através do diagrama tensão-deformação
- o processo deve ser repetido até que haja coincidência entre os valores arbitrado e determinado pelo diagrama; quando os valores coincidirem, os valores de σ 1 e y são os corretos e o momento fletor último pode ser obtido da equação de equilíbrio (2)
4.2- ARMADURA DUPLA - uma armadura tracionada e a outra comprimida
A diferença do problema de verificação em comparação ao de dimensionamento está no fato de não se saber se as armaduras atingiram a tensão de cálculo fyd. As equações de equilíbrio, neste caso, são:
( 1) → 0 =0,85byfcd +As'σ 2 - Asσ 1 ( 2 ) → Mu =0,85byfcd(d-0,5y)+As'σ 2 (d-d' )
Este sistema não pode ser resolvido, pois existem mais incógnitas do que equações. O problema deverá ser resolvido de acordo com o tipo do aço:
* BARRAS (A)
c) Repetir o processo até haver coincidência entre os valores das tensões, os arbitrados e os calculados.Quando os valores coincidirem, os valores de σ 1 , σ 2 e y são os corretos e o momento fletor último pode ser obtido da equação de equilíbrio (2).
