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Análise de Equações de Fluidos em Coordenadas Cilíndricas, Notas de estudo de Mecânica dos fluidos

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais (PUC-Minas)Mecânica dos fluidos

Documento contendo análise matemática de equações de fluidos em coordenadas cilíndricas, incluindo equações de continuidade, equações de movimento linear e angular, equações de estado e condições de contorno.

Tipologia: Notas de estudo

2021

Compartilhado em 10/02/2021

admilson-m
admilson-m 🇧🇷

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bg1
1
ESCOAMENTOS EM REGIME PERMANENTE
Regime permanente: são escoamentos que não
apresentam variação com o tempo /t = 0
Escoamentos uni-dimensionais: só apresentam um
componente de velocidade que só varia em uma direção
Escoamentos simples hidrodinamicamente
desenvolvidos: não apresentam variação na direção
principal do escoamento
Escoamentos externos: película de filme com
espessura constante
Escoamento ao redor de esfera com baixa rotação
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14
pf15
pf16
pf17
pf18
pf19
pf1a
pf1b
pf1c
pf1d
pf1e
pf1f
pf20
pf21
pf22
pf23
pf24
pf25
pf26
pf27
pf28
pf29
pf2a
pf2b
pf2c
pf2d
pf2e
pf2f
pf30
pf31

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Baixe Análise de Equações de Fluidos em Coordenadas Cilíndricas e outras Notas de estudo em PDF para Mecânica dos fluidos, somente na Docsity!

ESCOAMENTOS EM REGIME PERMANENTE

 Regime permanente: são escoamentos que não

apresentam variação com o tempo  /t = 0

 Escoamentos uni-dimensionais: só apresentam um

componente de velocidade que só varia em uma direção

 Escoamentos simples hidrodinamicamente

desenvolvidos: não apresentam variação na direção

principal do escoamento

Escoamentos externos: película de filme com

espessura constante

Escoamento ao redor de esfera com baixa rotação

Adimensionalização

x

p

y

u

g sin

a

y

Y 

(^) U

y x

gy

gx

h=2 a

P  p  g y sin  0

x

P

y

u

Pressão reduzida, ou pressão modificada

uref

u

U 

2

x

P

Y

ref U

a

u

2

a

u

x

P

ref

Y

U

 

  

 

a

u

x

P

U

Hipóteses:

  1. Fluido Newtoniano
  2. Propriedades constantes (cte, =cte)
  3. Regime permanente   / t = 0
  4. 2 - D (largura b >> h)   / z = 0
  5. L >> h  esc. desenvolvido  / x = 0
  6. Escoamento inclinado de  com a

horizontal, gravidade vertical

  1. p  constante
  2. laminar

g

U

y x

gy

gx

h=2 a

Exemplo: ESCOAMENTO DE COUETTE:

(Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido

entre duas placas paralelas e infinita)

Continuidade:

v cte

z

w

y

v

x

u

V V

t

cte

Condição de contorno: y=a=h/2 ; v=0 v  0

V u y i

 (^) 

( )

g p V

Dt

D V  

       

Q. M. L - direção z

Q.M.L. (Navier-Stokes):

p p x y

z

p

w

z

p

g

Dt

Dw

zero w
z
zero w

Q. M. L - direção y

cos

cos ( )

g

y

p

v

y

p

g

Dt

Dv

continuida de
g zero v
y
continuidade
zero v
^ 

p   g cos ( ) yf ( x ) f ( x ) x

p   

logo

então

Podemos agora integrar a equação acima e determinar o perfil de velocidade

entre as duas placas

 

^ K

y

u

2

2

Condições de contorno:

1) y=a; u = U  U=(K/  ) a^2 /2 + C 1 a + C 2
2) y=-a ; u=0  0=(K/  ) a^2 /2 - C 1 a + C 2

a

U y

a

K a y

u 1

C y C

K y

y C u

K

y
u

  

As constante C 1 e C 2 podem ser

facilmente determinadas

(I)+(II)^2

2

2 2

2 C

aU  

2 2

2

2

U a C

  

(I) - (II)  U^ ^2 C 1 a

a

U C 2

 1 

 Substituindo as constantes C 1 e C 2 na expressão para a velocidade, determinamos os perfil

de velocidade entre as placas. Rearrumando, temos

 Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão

cisalhante

 Vazão:   

A T

Q um AT u d AT 
a
a

Q ubd y

U ab

a Q

   

3

2

; AT ^2 a b ; 

   U

a

um

 O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que

d y

d u

a

U

y

     onde

x

p

g sen

Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:

 Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão

cisalhante

 Vazão:   

A T

Q um AT u d AT 
a
a

Q ubd y

U ab

a Q

  

3

2

; AT ^2 a b ; 

   U

a

um

 O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que d y

d u

a

U y 2

     onde

x

p

g sen

Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:

Caso 3:  U  ^ ^0

x

p

 

  

   

    a

U y

a

a y u 1 2

1 2 2

2 2

;

a

U

y

umax onde ^0   ^0

d y

d u

y 

U

u

Caso 4:  U  ^ ^0 x

p

2 2

0 a

U

x

p 

  

y

u U

Caso 5:  U  2 a^2

U

x

p    

 

Neste caso, a tensão na parede inferior é nula

u

y

U

0 (^2 ) 2

 então

a

U se K a

U em y a Ka a

U Ky

u

U

 Considerando agora   0, temos

Caso 7:   0  U      ^0 

  g sen x

p

  

g sen x

p     

g sen x

p  ( x

p

 pode ser positivo)

( sen    sen )

   

Caso 8:   0  U      ^0 

  g sen x

p

  

g sen x

p     

g sen x

p



x

p

 pode ser zero, K > 0  

u

U

U

u (^) U 

u

 Já vimos que com as hipóteses acima

Exemplo: Determine o perfil de

velocidade para uma película de água

escoando ao longo de uma parede

inclinada, com espessura constante.

Qual a vazão para obter filme com

espessura h?

Desprezando as perturbações na

entrada e saída.

Hipóteses:

  1. fluido Newtoniano, propriedades constantes (=cte, cte): div  V
  2. Largura grande: /z0, w=
  3. Regime permanente: /t=
  4. Espessura h=cte: /x 0
  5. Laminar
  6. Pressão uniforme igual a pressão atmosférica: p/x 0
V u y i

  

g g K Ky C 1 Dt

Du

y

zero

y z

zero

x

zero

x

p x

zero

xx xy xz^ xy              









cos  

y

x

 Eq. de quant. de movimento na direção x

condição de contorno: y = h ; H2O=ar  H2O  0  C 1 = - K h

Hipóteses:

  1. Fluido Newtoniano
  2. Propriedades constantes (cte, =cte)
  3. Regime permanente   / t = 0
  4. 2 - D (largura w >> h=2b)   / z = 0
  5. L >> h=2b  esc. desenvolvido  / x = 0
  6. Escoamento inclinado de  com a

horizontal, gravidade vertical

  1. p  constante
  2. laminar

g

ESCOAMENTO DE DOIS FLUIDOS IMISCÍVEIS ENTRE DUAS PLACAS

PLANAS ( Es coamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido)

Continuidade:

v cte

z

w

y

v

x

u

V V

t

cte

Condição de contorno:

y=b; v I =0 

y=-b; v II =0 V u y i

V u y i

 

 

( )

( )

II II

I I

y I b
x II b

Para ambos os fluidos: Q. M. L - direção x

     

( ) ( )

2

2

2

2

2

2

z
u
y
u
x
u
z
u
v
y
u
x
u
t
u

x

p u v w

x

p

y

u

  

Integrando para cada fase

L

p p

L

p

x

p

y

o  L

    

 ou

y

u

pois   

1 1 I I

I

I I I

y C
y C
y C u
d y
d u
y C
L
p
L
p
L
p

 

 

4

3

2

3 3 II II

II

II II II

y C
y C
y C u
d y
du
y C

L

p

L

p

L

p

 

 

  

Os perfis de tensão e

velocidade de cada fase são

I II

I II I

 

  

b
y
b

L

p

I II

I

I II

I II

I 2

I 2

2 2

 

 

 

b
y
b
b y
u

L

p

I II

II

I II

I II

II 2

II 2

2 2

 

 

 

b
y
b
b y
u

L

p

y

x y

Hipóteses:

  1. Fluido Newtoniano
  2. Propriedades constantes (cte, =cte)
  3. Regime permanente   / t = 0
  4. 2 - D (simetria angular)  v   /  = 0
  5. L >> D  esc. desenvolvido  / x = 0
  6. Escoamento horizontal, gravidade vertical
  7. p  constante
  8. laminar

ESCOAMENTO DE HAGEN-POUSSEUILLE:

(Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido

em um duto circular)

Continuidade:

V V

t

cte

v  0

Então r v = constante.

Condição de contorno : r=R ; v=0 V u r i

 (^) 

( )

V u ex v er ve

 (^)      

gr   g sen  ; g    g cos

g g

 D=2 R

r

x

r



gr

( ) (^ )
zero^ zero

x

u

r

v

r r

r v



 