Baixe Eletromagnetismo: Notas e Exercícios de Cálculo Vetorial e outras Esquemas em PDF para Matemática Aplicada, somente na Docsity!
Eletromagnetismo – CEL
Prof. Pedro S. Almeida
Sala 4273-E
[email protected]
Depto. Circuitos Elétricos
Engenharia Elétrica
Faculdade de Engenharia
Eletromagnetismo– CEL
«Formulário de Cálculo Vetorial & Eletromagnetismo»
Vetores unitários
Coordenadas retangulares –
x y z
a a a
Coordenadas cilíndricas –
ρ z
a , a , a
Coordenadas esféricas –
r θ
a a a
Transformação de coordenadas
2 2
1
2 2 2 2 2
2 2
1 1
x cos r sen cos
y sen r sen sen
z r cos
x y r sen
y
tan
x
r x y z z
x y
tan tan
z z
Transformação de coordenadas de componentes vetoriais
x r
y r
z r
x y r
x y
r x y z z
A A cos A sen A sen cos A cos cos A sen
A A sen A cos A sen sen A cos sen A cos
A A cos A sen
A A cos A sen A sen A cos
A A sen A cos
A A sen cos A sen sen A cos A sen A cos
A
x y z z
A cos cos A cos sen A sen A cos A sen
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas
y z
x y x y z
y x x y z
y x
z y x y z
x
z
A B
A B A A A
A B B B B
A B
A B A A A
A B
x x y z
z
y
z x y z
x
y
a a a a
a
a
a a a a
a
a
Elementos vetoriais diferenciais de comprimento
dx dy dz
d d d dz
dr r d r sen d
x y z
ρ z
r θ
a a a
L a a a
a a a
Elementos vetoriais diferenciais de área
2
dy dz dx dz dx dy
d d dz d dz d d
r sen d d r sen dr d r dr d
x y z
ρ z
r θ
a a a
S a a a
a a a
Elementos diferenciais de volume
2
dx dy dz
dV d d dz
r sen dr d d
Operações multiplicativas vetoriais
(válidas para qualquer sistema de coordenadas)
x x y y z z
y z z y z x x z x y y x
| || | cos(A B) A B A B A B
| || | sen(A B)
A B A B A B A B A B A B
n
x y z
A B A B
A B A B a
a a a
Coordenadas retangulares –
x y z
y z x
z x y
a a a
a a a
a a a
Coordenadas cilíndricas –
ρ z
z ρ
z
a a a
a a a
a a a
Coordenadas esféricas –
r
r
r θ
θ
a a a
a a a
a a a
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas
Regra de Sarrus para produto vetorial:
Coordenadas esféricas:
2 r 2 r r r
2 2
2 2
r r r sen
A
(r A ) (A sen ) 1 1 1
r r r sen r sen
(A sen ) A 1
r sen
(rA ) A 1 1
r sen r
1 (rA ) A
r r
r
r r r r sen
r
a a a
A
A a
a
a
2
2 2 2
2 2 r
r 2 2
2 r
2 2 2 2 2
2 r
2 2 2 2 2
sen
r sen
A
2A 2 (A sen )
A
r r sen
A
A 2 A 2 cos
A
r sen r r sen
A
2 A 2 cos A
A
r sen r sen r sen
r
θ
A a
a
a
Propriedades:
A B A B
A B A B
A 0
Identidades:
2
2
2 2 2
A A Α
A A A
A B A B A B
A A A
Teoremas de cálculo vetorial
Teorema da Divergência:
S V
d dV
A S A
Teorema de Stokes:
C S
d d
A L A S
Circulação de um campo conservativo F (campo irrotacional):
Se
P
d
F L
independe do caminho P, então
C
d 0
F L
e
F 0 .
Para
C
d 0
F L
e
F 0 ,
F
(pois
0
).
Álgebra complexa e fasores
Unidade imaginária:
2
j 1
Complexos conjugados:
2 2
2 2
j * j
j j *
j
( ) j( )
j
Fórmula de Euler:
j
e cos j sen
Forma polar (fasores):
j
2 2
1
z j Z e
Z cos
Zsen
Z | z |
tan
j
j
j( )
j( )
z ( j ) Z e
se
p ( j ) P e
z p ( j )( j ) MP e
z ( j ) M
e
p ( j ) P
Equação de onda
Unidimensional:
2 2
2
2 2
u(z, t) u(z, t)
c
t z
Geral:
2
2 2
2
c 0
t
Solução: qualquer função do tipo
(z ct)
(onda viajante em z com velocidade c)
z
x
y
