Baixe Fórmulas Trigonométricas: Soma, Diferença e Arco Duplo - Exercícios Resolvidos e outras Notas de aula em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
COLÉGIO PEDRO II – CAMPUS REALENGO II
Departamento de Matemática
Ensino Médio – 1ª série – 2018
Fórmulas trigonométricas
Mudança de sinal do arco (ou ângulo)
Pretendemos estabelecer a comparação entre as expressões trigonométricas de um arco de medida α (senα, cosα etc.) e as expressões trigonométricas do arco de medida -α (sen(-α), cos(-α) etc.). Os arcos de medidas α e -α são chamados arcos opostos.
Se o ponto P é extremidade do arco de medida α, é imediato que a extremidade Q do arco de medida -α ocupa uma posição simétrica de P em relação ao eixo Ox, já que ambos têm a mesma origem A. Resulta, portanto, que os pontos P e Q têm a mesma abscissa e ordenadas opostas , o que equivale a dizer que os arcos de medidas α e -α têm o mesmo cosseno e senos opostos, isto é:
A partir dessas conclusões, deduzimos as relações correspondentes às demais razões trigonométricas:
Seno da soma e seno da diferença
Sejam a e b as medidas de dois arcos quaisquer. Vamos deduzir as expressões de sen (a+b) e sen(a - b) - seno da soma e seno da diferença - em função dos senos e cossenos de a e b.
Podemos calcular a área S do triângulo ABC usando as expressões:
Igualando as duas expressões, substituindo e simplificando, adequadamente temos:
Ou seja:
Para o cálculo de cos( α - β ), basta fazermos α - β = α + (- β) e utilizar o cos seno da soma , assim:
Temos então:
Tangente da soma e tangente da diferença
Sejam a e b as medidas de dois arcos tais que α , β , α + β e α − β sejam diferentes de 2 π^ + k π, k ∈ Z.
Vamos deduzir as expressões de tg( α + β) e tg( α − β) - tangente da soma e tangente da diferença - em função das tangentes de α eβ.
Estrategicamente, dividimos o numerador e, o denominador desta fração por cos α. cos β:
Temos assim:
Para o cálculo de tg ( α - β ), basta fazermos α - β = α + (- β) e utilizar a tangente da soma , assim:
Assim:
Resumo de soma e subtração de arcos:
s en ( a + b ) = sen ( a ). cos ( b ) + sen ( b ). cos ( a )
s en ( a − b ) = sen ( a ). cos ( b ) − sen ( b ). cos ( a )
c os ( a + b ) = cos ( a ). cos ( b ) − sen ( a ). sen ( b )
c os ( a − b ) = cos ( a ). cos ( b ) + sen ( a ). sen ( b )
Resumo de arcos ou ângulos complementares:
- Simplifique as expressões abaixo e, se possível, determine seu valor numérico:
a) y = cos 3 x. cos x + sen 3 x. sen x b) y = cos 65º. cos 25º + sen 65º. sen 25º c) y = cos 70º. cos 10º + sen 70º. sen 10º
Se sen α = 23 ,onde π 2 < α < π, calcule cos ( x + 4 π).
Dado que sec α = 3 , e que 3π 2 < α < 2 π,determine:
a) sen ( 2 π^ − α) b) cos ( 2 π^ − α) c) tg ( 2 π^ − α)
- Sendo cos ( 4 π^ − x ) = a ,determine:
a) cos ( x − 4 π) b) sen ( 4 π^ + x )
- Simplifique as expressões:
Calcule o valor da expressão:
Calcule sen 105ºe tg 15º.
Simplifique as expressões abaixo:
a) sen (π − x ) b) cos (π − x ) c) tg (π − x ) d) sen (π + x ) e) cos (π + x ) f) tg (π + x ) g) sen (2π − x ) h) cos (2π − x ) i) tg (2π − x )
Determine seno, cosseno e tangente de ( 2 π^ + x ), ( 3π 2 − x ) e( 3π 2 + x ).
Simplifique as expressões:
Se tg 35º= a, calcule:
Determine cos 38º,dado cos 19º= 0,95.
Simplifique a expressão:
Se cos (2 x ) = a , determine o valor de sen ( x ) e cos ( x ).
Se sen (17º) = m , calcule cos (34º).
