Soma e diferença de cubos
A soma de dois
cubos é igual ao produto do fator a + b pelo fator a2 – ab + b2.
A diferença entre dois cubos é igual ao produto do fator a – b pelo fator a2 + ab + b2.
Justificativas:
Vejamos alguns exemplos:
a3 + 27 = a3 + 33
= (a + 3) . (a – a . 3 + 32) = (a + 3) . (a2 – 3a + 9)
125 – x3 = 53 – x3 = (5 – x) . (52 + 5 . x + x2) = (5 – x) . (25 + 5x + x2
)
m3 + 8 = m3 +23 = (m + 2) . (m2 – m . 2 + 22) = (m + 2) . (m2 – 2m + 4)
27x2 – 8 = (3x)2 – 23 = (3x – 2) . [(3x)2 + 3x . 2 + 22] = (3x – 2) . (9x2 + 6x + 4)
Diferença de quadrados
A diferença entre dois quadrados (a2 – b2) é igual ao produto da soma (a + b) pela diferença (a
– b).
Justificativa:
Exemplos:
a2 – 9 = a2 – 32 = (a + 3) . (a – 3)
4x2 – 1 = (2x)2 – 12 = (2x + 1) . (2x – 1)
81 – m6 = 92 – (m3)2 = (9 + m3) . (9 – m3)
(a + 1)2 – 36 = (a + 1)2 – 62 = [(a + 1) + 6] . [(a + 1) – 6] =
= (a + 7) . (a – 5)
4 – (x – y)2 = 22 – (x – y)2 = [2 + (x – y)] . [2 – (x – y)] =
= (2 + x – y) . (2 – x + y)
Quadrado perfeito
