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Matemática I
006EP/24B
Nome: Victor Quaglia
Professor: Victor Quaglia 1ª Série
Data // Turma // Nº // //
Lista 1 – Função Quadrática – Gabarito comentado
Gabarito comentado – Lista 1
1) Analise as alternativas e identifique os coeficientes a,b e c na estrutura y = ax² + bx + c das funções
abaixo:
Para identificar os coeficientes a,b e c na forma geral da equação quadrática y = ax² + bx + c, vamos analisar
cada uma das funções fornecidas:
a) y = 2x² + 4x - 3
- Coeficiente a é 2.
- Coeficiente b é 4.
- Coeficiente c é - 3.
b) y = - 3x² + x + 5
- Coeficiente a é - 3.
- Coeficiente b é 1.
- Coeficiente c é 5.
c) y = x² - 9
Aqui, a equação pode ser reescrita como y = x² + 0x - 9 para se ajustar à forma y = ax² + bx + c :
- Coeficiente a é 1.
- Coeficiente b é 0.
- Coeficiente c é - 9.
d) y = x² + 7x
Aqui, a equação pode ser reescrita como y = x² + 7x + 0 para se ajustar à forma y = ax² + bx + c:
- Coeficiente a é 1.
- Coeficiente b é 7.
- Coeficiente c é 0.
2) Calcule as raízes das equações abaixo. Quando o coeficiente a for igual a 1, tente usar a soma e o produto
das raízes para encontra-las.
a) x² - 5x + 4 = 0
Aqui, podemos usar a soma e o produto. As raízes x 1
e x 2
satisfazem:
⋅ x 2
Os números que satisfazem essa condição são 4 e 1. Logo, as raízes são: x 1
= 4 e x 2
b) x² - x - 6 = 0
Aqui também podemos usar a soma e o produto:
⋅ x 2
Os números que satisfazem essa condição são 3 e - 2. Logo, as raízes são: x 1
= 3 e x 2
c) - 2x² + 3x + 2 = 0
Aqui a
≠ 1, então usaremos a fórmula de “Bhaskara”:
𝛥 = b² - 4ac
𝛥 = 3² - 4.(-2).(2) = 9 + 16
𝛥 = 25
As raízes são:
x = − 3 ± √ 25
2 (−
2 )
− 3 ± 5
−
4
Portanto, as raízes são:
x 1
− 3 + 5
− 4
2
− 4
1
2
e x 2
− 3 − 5
− 4
− 8
− 4
d) x² + 2x + 10 = 0
Usando a fórmula, temos:
𝛥 = 2² - 4.(1).(10) = 4 - 40 = - 36
Como o discriminante é negativo, não há raízes reais.
e) - 3x² + x + 4 = 0
Usando a fórmula:
𝛥 = 1² - 4.(-3).(4) = 1 + 48 = 49
𝛥 = 49
As raízes são:
x 1
− 1 + 7
− 6
6
− 6
e x 2
− 1 − 7
− 6
− 8
− 6
4
3
f) x² + x + 4 = 0
Usando a fórmula:
a) Duas raízes reais.
b) Duas raízes reais.
c) Nenhuma raiz real (raízes complexas).
d) Duas raízes reais.
e) Duas raízes reais.
f) Duas raízes reais.
g) Duas raízes reais.
h) Uma raiz real.
- a) f(0,5) = 0,5² - 1 = 0,25 – 1 = - 0,75 = - 3/
b)
2
c) x tal que f(x) = 15
x² - 1 = 15 → x² = 16 → x = 4 ou x = - 4.
d) Im f = [-1, +∞[
6 ) Encontre os valores de a para os quais a equação x² − a x + 1 = 0, não possua raízes reais.
Para que a equação x² - ax + 1 = 0 não tenha raízes reais, o discriminante deve ser menor que 0.
𝛥 = b² - 4ac
Aqui, a = 1, b = - a e c = 1. Então, o discriminante será:
𝛥 = (-a)² - 4.(1).(1) = a² - 4
Para que a equação não tenha raízes reais, devemos ter 𝛥 < 0:
a² - 4 < 0
a² < 4
Resolvendo essa inequação:
Portanto, a equação x² - ax + 1 = 0 não possui raízes reais para a no intervalo - 2 < a < 2.
Encontre todos os valores de k
para os quais a função f, cuja lei de formação é,
f(x) = x² + 2( k
− 1)x + ( k
- 5), possua pelo menos uma raiz positiva.
Para encontrar os valores de k para os quais a equação tem pelo menos uma raiz positiva, vamos analisar a
natureza das raízes.
Podemos analisar as raízes através do delta, que é dado por:
2
Identificando os coeficientes: a = 1, b = 2(k − 1), c = k + 5
Portanto, Δ =
4
Condição 1: Para que a equação tenha pelo menos uma raiz real, o discriminante deve ser maior ou igual a
zero:
Calculando:
As soluções são:
A inequação 𝑘 ² −
será satisfeita quando k estiver fora do intervalo definido pelas raízes. Assim,
podemos fazer uma análise de sinais:
● As raízes são 𝑘 = − 1
e 𝑘 = 4
● A função quadrática é côncava para cima (porque a = 1).
Portanto, a inequação 𝑘 ² −
será satisfeita nos intervalos: 𝑘 ≤ −
ou 𝑘 ≥
Agora, precisamos verificar qual intervalo que garante que pelo menos uma raiz seja positiva.
Se tivéssemos uma raiz apenas, então k seria - 1 ou 4.
Assim, teríamos as funções:
- F(x) = x² - 4x+4, que possui apenas o 2 como raiz.
- F(x) = x² + 6x + 9, que possui o - 3 como raiz.
9 ) Considere o gráfico da função quadrática ao lado. Representado por
uma parábola. A partir do gráfico, determine:
a) os sinais dos coeficientes a,b e c.
a = parábola côncava para baixo → a < 0, logo, a é negativo
b = parábola corta o eixo y de forma decrescente, logo, b negativo
c = parábola corta o eixo y no 4, logo, c é positivo
b) O sinal do discriminante da função.
- A parábola corta o eixo x em dois pontos, portanto, o
𝛥
c) Se o Vértice é ponto de máximo ou de mínimo.
- Como a parábola é côncava para baixo, o vértice é um ponto de máximo.
10 ) Determine quais são as coordenadas do vértice da função f: ℝ
ℝ, definida por:
a) f(x) =-x²-8x+5.
b) g(x) = - x²+6.
c) h(x) = 2x²-10x+8.
d) k(x) = x² - 16.
Para determinar as coordenadas do vértice das funções quadráticas, podemos usar a fórmula do vértice
V(Xv, Yv), onde:
- A coordenada x do vértice é dada por x =
𝑏
2 𝑎
- A coordenada y é obtida substituindo o valor do Xv na função f(x).
a) f(x) = - x² - 8x + 5
Xv =
𝑏
2 𝑎
8
−
2
Yv = f(-4) = - (-4)² - 8.(-4) + 5 = - 16 + 32 + 5 = 21
Vértice: V (-4, 21)
b) g(x) = - x² + 6
Xv =
− 0
2 ⋅ (− 1 )
0
− 2
Yv = g(0) = - 0² + 6 = 6
Vértice: V (0, 6)
c) h(x) = 2x² - 10x + 8
Xv =
10
2 ⋅
2
10
4
Yv = h(2.5) = 2(2,5)² - 10.(2,5) + 8 = 2.(6,25) - 25 + 8 = 12,5 - 25 + 8 = - 4,
Vértice: V (2,5; - 4,5)
d) k(x) = x² - 16
Xv =
0
2. 1
0
2
Yv = k(0) = 0² - 16 = - 16
Vértice: V (0, - 16)
- a) b)
c) d)
12 ) Construa o gráfico da parábola das funções quadráticas f e g, cujas leis são, respectivamente, f(x) = x²
- 6x + 6 e g(x) = - x² - 2x + 4, em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas, destacando:
- A interseção dela com o eixo x (Raízes).
- A interseção com o eixo y.
- O vértice da parábola
- O eixo de simetria.
∙ Vértice da parábola:
- O vértice da parábola pode ser encontrado usando a fórmula x =
−
𝑏
2 𝑎
Xv =
2
2 .(− 1 )
2
− 2
Para encontrar a coordenada y do vértice, substitua x = - 1 na função g(x):
g(-1) = - (-1)² - 2.(-1) + 4 = - 1 + 2 + 4 = 5
Então, o vértice é o ponto (-1, 5).
∙ Eixo de simetria:
- O eixo de simetria é a linha vertical que passa pelo x do vértice. Para esta função, é a reta vertical x = - 1
(Justamente o ( Xv ).
Vejamos os gráficos separadamente e, em seguida, em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas.
Gráficos: f(x)= x² - 6x + 6
g(x) = - x² - 2x + 4
Em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas:
13 ) Determine a interseção entre as funções f e g, cujas leis de formação estão destacadas acima.
- Para encontrar a interseção entre as funções f(x) e g(x), precisamos resolver a equação:
f(x) = g(x)
2
- Substitua x = 1 em f(x) ou em g(x) para encontrar o y da interseção:
f(1) = 1² - 6.1 + 6 = 1 - 6 + 6 = 1
Portanto, as funções f e g se interceptam no ponto P = ( 1 ,
c) x² – 4x ≥ 0.
A parábola é côncava para cima, portanto: 𝑥 ≤ 0 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 4
d) x² – 6x + 9 > 0
2
O quadrado é zero quando x = 3, e maior que zero em todos os outros pontos. Assim: 𝑥 ≠
Portanto, a solução é:
e) 3x² - 6x + 6 < 0
O discriminante é negativo, então a equação não tem raízes reais e a parábola está sempre acima do eixo x
(porque o coeficiente a é positivo). Assim:
para todo x.
Portanto, não há valores de x que satisfaçam 3 𝑥 ² − 6 𝑥 + 6 < 0
f) 3x² - 6x ≤ 8
Como a parábola é côncava para cima, então:
Bons estudos!
