Logaritmos: Definição, Propriedades e Exemplos, Notas de aula de Matemática Elementar

Baixe Logaritmos: Definição, Propriedades e Exemplos e outras Notas de aula em PDF para Matemática Elementar, somente na Docsity!

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA

E TECNOLOGIA DE RORAIMA - IFRR

PROFESSOR: JOERK OLIVEIRA DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR I CONTEÚDO: FUNÇÃO LOGARÍTICA

Logaritmos

Definição: Dado os números reais positivos 𝒂 e b , com 𝒂 ≠ 𝟏, chama-se logaritmo de 𝒃 na base 𝒂 , o número x ao qual se deve elevar a base 𝒂 para obter o número 𝒃. Isto é: Exemplos:

a) 2

3 = 8 , logo temos que log 2

b) 3

4 = 81 , logo temos que log 3

c) 5

− 2

1 25 , logo temos que log 5 1 25

log 𝑎

𝑥 = 𝑏

Logaritmos

Exemplos:

1. Resolva os seguintes logaritmos:

a) log 2 128

log 2

𝑥 = 128 2 𝑥 = 2 7 𝑥 = 7 Logo, temos que log 2

Logaritmos

Exemplos:

1. Resolva os seguintes logaritmos: b) log 1 2

log 1 2

1 2 𝑥 = 32 2 −𝑥 = 2 5 −𝑥 = 5 𝑥 = − 5 Logo, temos que log 1 2

Logaritmos

Exemplos:

1. Resolva os seguintes logaritmos: d) log 1 9 3 3 log 1 9 3 3 = 𝑥 ⟺ 1 9 𝑥 = 3 3 3 −2𝑥 = 3 3 2 − 2 𝑥 = 3 2 𝑥 = − 3 4 Logo, temos quelog 1 9 3 3 = − 3 4 .

Condição de existência

Sabemos que dado log𝑎 𝑁, temos que:

• 𝑁 deve ser um número positivo;
• 𝑎 deve ser um número positivo e diferente de 1. Assim, log 𝑎 𝑁 existe se e somente: 𝑁 > 0 , 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1

Exemplos:

1. Determine os valores de 𝑥 para os quais existe: b) log (^) 𝑥− 2 (𝑥 + 1 ) 𝑥 + 1 > 0 ⟹ 𝑥 > − 5 𝑥 − 2 > 0 e 𝑥 − 2 ≠ 1 ⟹ 𝑥 > 2 e 𝑥 ≠ 3

Fazendo a interseção temos que:

𝑥 > 2 e 𝑥 ≠ 3

Condição de existência

Consequências da definição de logaritmos:

1. log 𝑎 1 = 0 , pois 𝑎 0 = 1 para todo 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 ;
2. log 𝑎 𝑎 = 1 , pois 𝑎 1 = 𝑎 para todo 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 ;
3. log 𝑎

𝑛 = 𝑛, pois 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛 para todo 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 e para todo 𝑛.

1. 𝑎 log𝑎 𝑏 = 𝑏 Justificativa: log 𝑎

𝑥 = 𝑏 Substituindo x: 𝑎 log𝑎 𝑏 = 𝑏

Consequências da definição

1 ª. Logaritmo de um produto: dado 𝑎 > 0 , 𝑏 > 0 , 𝑐 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1. log 𝑎 (𝑏 ∙ 𝑐) = log 𝑎 𝑏 + log 𝑎

Exemplos:

a) log

2 ( 4 ∙ 8 ) = log 2 4 + log 2

b) log 300 = log( 3 ∙ 100 ) = log 3 + log 100 = log 3 + 2

c) log

5 20 = log 5 ( 4 ∙ 5 ) = log 5 4 + log 5 5 = log 5

Propriedades operatórias dos logaritmos

2 ª. Logaritmo de um quociente: dado 𝑎 > 0 , 𝑏 > 0 , 𝑐 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1. log𝑎 𝑏 𝑐 = log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐 Exemplos: a) log 2 8 4 = log 2 8 − log 2 4 = 3 − 2 = 1 b) log 7 10 = log 7 − log 10 = log 7 − 1 c) log 3 1 9 = log 3 1 − log 3 9 = 0 − 2 = − 2 Propriedades operatórias dos logaritmos

4 ª. Mudança de base: dado 𝑎 > 0 , 𝑏 > 0 , 𝑐 > 0 , 𝑎 ≠ 1 𝑒 𝑐 ≠ 1. log𝑎 𝑏 = log𝑐 𝑏 log 𝑐 𝑎 Exemplos: a) log 7 5 = log 2 5 log 2 7 (𝑏𝑎𝑠𝑒 2 ) b) log 7 5 = log 5 log 7 (𝑏𝑎𝑠𝑒 10 ) c) log 7 25 = log 5 25 log 5 7 = 2 log 5 7 (𝑏𝑎𝑠𝑒 5 ) Propriedades operatórias dos logaritmos

Função logarítmica

Definição: Dado um número real 𝑎 ( 0 < 𝑎 ≠ 1 ), chama-se

função logarítmica de base 𝒂 , a função 𝑓 de ℝ+

∗ em ℝ que associa a cada 𝑥 o número log 𝑎

Exemplos: a) f(𝑥) = log 2 𝑥 b) g(𝑥) = log 1 5

∗ → ℝ 𝑥 → log 𝑎

Gráfico da função logarítmica

O gráfico de uma função logarítmica 𝑓 definida por f( 𝑥 ) = log 𝑎 𝑥 , onde 0 < 𝑎 ≠ 1 , tem as seguintes características: a) Localiza-se à direita do eixo 𝑦 ( 𝑥 > 0 ); b) Corta o eixo 𝑥 no ponto de abscissa 1 , isto é, em ( 1 , 0 ); c) É simétrico do gráfico da função exponencial g definida por g(𝑥) = 𝑎 𝑥 em relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares);

Gráfico da função logarítmica

d) Se é crescente (𝑎 > 1 ) o gráfico toma o aspecto: