Função seno e cosseno, Notas de estudo de Matemática

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FUNÇÃO SENO E

COSSENO

Sumário

• Função seno e cosseno
  • Outras voltas da circunferência....................................................................................
  • Funções periódicas
  • Função seno..................................................................................................................
    • Construção de gráficos
    • Período da função
  • Função cosseno

A cada duas unidades de x o f(x) é resultado é igual. De maneira geral uma função é periódica desde que f(x) = f(x + p), sendo p chamado de período podendo ser qualquer número real positivo.

Função seno

Toda a função que possui a lei de formação f(x) = sen x. Essa função f associa cada valor x na circunferência trigonométrica que está associado a um ponto P.

• Como a circunferência trigonométrica varia de - 1 a 1 o sen x nunca é menor que
  • 1 e maior que 1, isto é - 1 ≤ sen x ≤ 1.
• Como a função depende do seno o seu sinal também, caso o seno for do 1° ou 2° quadrantes ela é positiva , se for do 3° ou 4° quadrantes ela é negativa.
• A função seno é crescente no 1° e 4° quadrantes e decrescente no 2° e 3° quadrantes.
• O domínio e o contradomínio da função são iguais aos números reais. Mas o conjunto imagem pertence ao intervalo [-1, 1] pois para qualquer número x temos que - 1 ≤ sen x ≤ 1.
• A função seno é ímpar, o gráfico é simétrico em relação a origem (0, 0), assim sen (-x) = - sen (x) O nome do gráfico da função seno é senoide. Exemplo da função f(x) = sen x:

Construção de gráficos

Caso 1 : Dada a função 3 * sen x. Temos que seguir três passos:

• Atribuir valores convenientes a x.
• Associarmos os valores correspondentes de sen x.
• Multiplicar esses valores por 3. x sen x 3 * sen x → x sen x 3 * sen x → x sen x 3 * sen x 0 0 0 0 0 0

Percebemos que a função sofreu uma alteração na vertical. Caso 2 : Dada a função f(x) = sen 2x Temos que seguir alguns passos:

• Associar 2x a uma variável, exemplo v = 2x.
• Associar valores convenientes a v.
• Calcular os valores de sen v (sen 2x).
• E por fim calcular os valores de x a partir dos valores associados a v (𝑥 = 𝑣 2 𝑥

x v = 2x sen v → x v = 2x sen v → x v = 2x sen v 0 0 0 0 0 0 𝜋 2

Podemos notar que a função sofreu um deslocamento para a direita em 𝜋

Para fazer gráficos um pouco mais complexos você segue esse padrão. Primeiro: associar uma variável ao seno de x e associar essa variável a valores convenientes, segundo: achar o valor de x que resulta nesses valores convenientes, terceiro: depois calcular o seno dessa variável e se necessário multiplicar, somar subtrair passo a passo até chegar no resultado.

Período da função

Para calcular o período de uma função há uma fórmula, dada a função sen (cx + d) sendo c e d números reais e c ≠ 0. 𝑝 =

Exemplos:

• f(x) = 3 * sen x, seu período é 2 𝜋 | 1 | =^2 𝜋
• f(x) = sen 2x, seu período é 2 𝜋 | 2 | =^ 2 𝜋 2 =^ 𝜋
• f(x) = sen (x − 𝜋 3 ), seu período é^ 2 𝜋 | 1 | =^2 𝜋 Assim se percebe que c é o número que acompanha x.

Função cosseno

Toda função que tem como base a lei de formação f(x) = cos x. Essa função f associa cada valor x na circunferência trigonométrica que está associado a um ponto P.

• A função cosseno é positiva no 1° e 4° quadrantes e negativa no 2° e 3° quadrantes.
• No 1° e 2° quadrantes ela é decrescente e do 3° e 4° quadrantes ela é crescente.
• A função cosseno é periódica e seu período é 2 π.
• O domínio e contradomínio são iguais ao conjunto dos reais e o conjunto imagem está no intervalo [-1, 1] pois o raio da circunferência trigonometria não pode ser menor que - 1 e maior que 1, ou seja, - 1 ≤ cos x ≤ 1.
• A função cosseno é par, o gráfico é simétrico em relação a y, assim f(-x) = f(x).

O nome do gráfico da função seno é cossenoide. Exemplo da função f(x) = cos x: Percebemos que em vez de começar no 0 como a função cosseno a função cosseno começa no 1. Para construção de gráfico de uma função cosseno é só seguir os passos da função seno, porém ao invés de calcular o seno dos valores você deve calcular o seno. Para calcular o período de uma função cosseno é só usar a fórmula para calcular o período da função seno.

Referências

IEZZI, Gelson et al. Matemática : ciência e aplicações. 2º ano ensino médio. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2016. v. 2.