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2. Funções
O conceito de função está relacionado à idéia de associação de um elemento a outro, segundo uma regra específica. Assim, por exemplo, podemos considerar o tamanho de uma população relacionado apenas ao tempo (ou variando em função da variação do tempo), ou associado ao tempo e ao espaço, ou a qualquer outro fator que interfira na população em estudo; o preço de um produto pode estar associado apenas ao seu custo de produção, ou ao seu custo e à margem de lucro do fabricante, ou ainda, ao seu custo, à margem de lucro do fabricante e à demanda; o volume de uma esfera pode estar associado apenas ao tamanho de seu raio, porém o raio pode variar com o tempo e assim, o volume estará variando também com a variação do tempo; e assim por diante. Como podemos observar, o conceito de função envolve uma relação de dependência, onde um elemento depende de outro ou de vários outros, os quais podem variar livremente. Como a variação de um deles acarreta na variação do que depende dele, chamamo-nos de elementos variáveis ou simplesmente variáveis. Deste modo, para cada associação, temos uma variável dependente e uma ou mais, independentes. Chamaremos de função à variável dependente e simplesmente de variáveis, às variáveis independentes, o que é bem intuitivo, uma vez que um elemento varia em função da variação daquele do qual depende. O tratamento matemático destas relações facilita muito a análise e compreensão das mesmas, e por isso o estudo das funções matemáticas é tão importante em todas as áreas do conhecimento. Assim, trataremos nesta seção do estudo das funções elementares e mais utilizadas, considerando neste momento, apenas as funções que dependem de uma única variável e fazendo uma abordagem mais compreensiva, sem preocupação com as demonstrações e o rigor matemático.
Definição : Uma função matemática é uma relação entre dois conjuntos quaisquer que
associa, a cada elemento de partida , denominado domínio , um único elemento de um conjunto de chegada , denominado contra-domínio. Os elementos do conjunto contra-domínio que são imagem de algum elemento do domínio constituem o conjunto imagem da função. Da definição acima podemos observar que uma função matemática é uma relação particular entre dois conjuntos, onde a premissa básica é a de que cada elemento do domínio possui uma única imagem , segundo aquela regra ou função. Do ponto de vista prático, podemos considerar, por exemplo, que se uma função descreve a posição de um objeto em movimento, a qual varia com o tempo, é sabido que em um dado instante o objeto não poderá ocupar duas posições diferentes,
embora em dois instantes diferentes ele possa ocupar a mesma posição. Isso significa que dois ou mais elementos do domínio podem ter a mesma imagem, porém um elemento não pode ter várias imagens diferentes. O esquema abaixo ilustra tal situação, onde o diagrama da esquerda representa o gráfico de uma função, enquanto que o da direita não.
Uma função pode ser representada por vários meios, como por exemplo, o diagrama acima, ou uma expressão matemática, um gráfico, uma expressão verbal, dentre outros. A expressão matemática e o gráfico são as formas mais utilizadas no estudo matemático. A expressão matemática de uma função f que a cada ponto t de um conjunto A associa um
ponto f(t) de um conjunto B é dada por : f : tA a^ →^ f ( B t ). Neste caso, A é o domínio e B é o contra-
domínio de f. O gráfico de uma função f é o subconjunto do plano xy dado por:
G = { ( x , y )∈ R^2 : y = f ( x )},
o qual é posicionado num sistema de eixos cartesianos, onde o eixo horizontal contém a variável independente x (domínio), o eixo vertical contém a variável dependente y = f(x) (imagem), os eixos se cruzam na origem e o sentido de crescimento se dá da esquerda para a direita e de baixo para cima. Assim, o gráfico de uma função real descreve uma curva no plano, a qual representa o seu comportamento e facilita muito o seu entendimento. É, portanto, uma ferramenta básica no estudo de cálculo. Na figura seguinte observamos dois gráficos, sendo que o da esquerda representa o gráfico de uma função, enquanto que o da direita não, uma vez que existem valores de x com dois y correspondentes.
A B A B
t 1 t 2
p^ t^ p^1 p 2
d) O custo para que os 50% restantes da população sejam vacinados é igual ao custo para vacinar a população total menos o custo para vacinar os primeiros 50%, ou seja, f(100) – f(50). Como f(50) já é conhecido, basta calcularmos f(100) :
150 100
( 100 )^150100 = × =
f = ×.
Portanto, f(100) – f(50) = 100. Logo, o custo para vacinar os 50% restantes da população é de 100 milhões de reais.
e) A pergunta que se faz é: qual o valor de x para que se tenha f(x) = 37,5? Para respondê-la, basta resolvermos a equação:
x x x
x x x x
x
Portanto, foram vacinados 40% da população quando haviam gastado 37,5 milhões de reais.
f)
O gráfico da esquerda mostra o comportamento da função matemática f , sem se preocupar com o problema físico. Já o da direita considera como domínio apenas o intervalo de interesse. Fizemos uma comparação do gráfico com a reta y = x e podemos observar que após os primeiros 50% vacinados, o custo cresce mais rapidamente.
−500 −400 −300 −200 −100 100 200 300 400 500
−
−
−
−
−
200
400
600
800
1000
x
y
50 100
50
100
150
x
y
2.1 Funções lineares: são funções cujos gráficos descrevem retas no plano e são expressas por
x ax b
f R R
a
sendo a e b constantes e o domínio, todos os reais. Observe que se b = 0, então o gráfico é uma reta passando pela origem, enquanto que se a = 0, o gráfico é uma reta paralela ao eixo x , interceptando o eixo y em b e, neste caso, é dita função constante. a é dito coeficiente angular da reta e se for positivo, a reta tem sentido crescente; caso contrário, decrescente. b é o coeficiente linear. Muitos problemas não apresentam a expressão da função e faz parte da solução, encontrá-la. Isso é chamado de modelagem matemática e consiste em encontrar uma função matemática que represente um determinado fenômeno físico, químico, biológico, econômico, etc. No caso da função ser linear, basta conhecermos dois pontos pertencentes ao seu gráfico para determinarmos a função, pois já vimos que o gráfico de toda função linear é uma reta. Com a Geometria Euclidiana aprendemos que por dois pontos passa uma única reta e a Geometria Analítica nos diz como expressar esta reta em “linguagem” matemática. Logo, basta relembrarmos como se faz isso ... O coeficiente angular de uma reta r é definido como sendo a tangente do ângulo ( α )que esta
reta faz com a reta horizontal que a intercepta. Se estivermos considerando um sistema de coordenadas, esta reta horizontal coincide com o eixo- x. Observando a figura abaixo, notamos que, dados dois ponto P e Q e a reta que passa por eles, podemos construir um triângulo retângulo a partir de uma reta paralela ao eixo- x , passando por P, e uma reta paralela ao eixo- y , passando por Q.
Das relações sobre triângulos, segue que 2 1
( )^21
x x
y y catetoadjascente tg catetooposto − α = = −.^ Portanto,^ o
coeficiente angular de r , que chamaremos de a , é dado por 2 1
2 1 x x a y y − = −. Mas este mesmo raciocínio
f(x) = -x-
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
− − −
− −
1
2 3
4 5
x
y f^ x 2^ x
( )=^1
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−
−
−
−
1
2
3
4 y
f(x) = -
−3 −2 −1 1 2 3
−
−
−
1
2
3
x
y
f(x)=-5x
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
− −
−
−
−
1 2
3
4
5
x
y
2.2 Funções quadráticas: são funções cujos gráficos são parábolas e são expressas por
x ax bx c
f R R
2
a
onde a, b e c são constantes e a ≠ 0. Dom( f ) = .
Exemplos:
f(x) = x^2 – 4x - 2
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−6−
−4−
−2−
12
34
56
x
y
f(x) = -x^2 – 4x + 2
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2
−6−
−4−
−2−
12
34
56
x
y
f(x) = 4x^2 + x + 2
−2 −1 1 2 −
−
1
2
3
4
5
6
x
y
f(x) = - x^2
−3 −2 −1 1 2 3
−10−
−8−
−6−
−4−
−2−
(^12) x y
2.3 Funções cúbicas: são funções cujos gráficos recebem o mesmo nome e são expressas por
x ax bx cx d
f R R
3 2
a
onde a, b, c e d são constantes e a ≠ 0. Dom( f ) = . Exemplos : f(x) = x^3
−3 −2 −1 1 2 3
−
−
−
−
−
2
4
6
8
10
x
y
f(x) = x^3 + 3 x^2 – x – 5
−4 −3 −2 −1 1 2 3
− − − −
−
2
4 6 8
10
x
y
f(x) =- x^3 + x^2 – x + 1
−2 −1 1 2 3
−
−
− −
−
2
4 6
8
10
x
y
f(x) = - 0,1x^3 + 10 x^2 + 15 x + 6
−2 −1 (^) −2 1 2
24
68
1012
14 1618
20
x
y
2.4 Funções polinomiais: são funções descritas por polinômios, ou seja, funções do tipo
f ( x )= an xn + an − 1 xn −^1 +L + a 1 x + a 0 , onde n ∈ N.
contínua como sendo o seu gráfico, ignorando o fato de existirem três pontos que anulam o denominador. Isso ocorre pelo fato de que f(x) pode ser escrita como:
( 3 )( 4 )( 3 )
( ) (^34 )(^9 )
2
2 2 − + +
x x x
x x x x x x x f x x x x.
Bem, se x ≠ 3 , x ≠− 4 ex ≠− 3 , então podemos cancelar os termos comuns e teremos a função
f(x) = x – 1 , cujo gráfico é uma reta contínua, ou seja, sem interrupções. E é isso o que a maioria
dos softwares fazem. Todavia, sabemos, por exemplo, que se x = 3 , então teremos (^) x^ x^ −− 33 = 00 ≠ 1 , o
que nos impede de cancelar este termo. Raciocínio análogo se aplica aos demais. Daí os três “furinhos” no gráfico. Outros exemplos são os gráficos das funções f ( x ) = 1/ x e f ( x ) = x/(x-2) , que na vizinhança de x = 0 e x = 2, respectivamente, se apresenta limitado, ou seja, a curva é interrompida. No entanto, se x é muito pequeno ( x Ø 0), 1/ x é muito grande (1/ x Ø ¶), do mesmo modo que se x está muito próximo de 2, então x/(x-2) também é muito grande ( x/(x-2) Ø ¶), ou seja, os gráficos nestas vizinhanças deveriam crescer (e decrescer) infinitamente, o que não ocorreu por limitações do programa gráfico que os realizaram.
2.6 Função módulo: é a função definida por
( ) ,^0
x sex f x x x sex.
Dom( f ) = .
2.7 Função raiz quadrada:
f ( x )= x. Dom ( f )= { x ∈ R : x ≥ 0 }. 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 −2−
12
34
56
78
(^109) 11
x
y
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −
−
1
2
3
4
5
x
y
2.7 Funções definidas por partes
(exemplos):
a)
( )^2
x
x x
x x f x
b)
( )^214 ,^1
3
x
f x x x x x
2.8 Funções trigonométricas: as principais funções trigonométricas são as funções seno e co-
seno, as quais possuem comportamento ondulatório e são definidas para todo x real. São utilizadas para modelar fenômenos periódicos, que se repetem com uma determinada freqüência. As demais, como tangente, co-tangente, secante e co-secante, são definidas a partir do seno e co-seno, e são dadas por:
( ) , cossec( )^1 cos( ) , sec( )^1 ( ) , cot ( ) cos( ) cos( )
senx x x x senx gx x x tg x = senx = = =.
É importante observar que quando estamos trabalhando com funções trigonométricas , o domínio é um sub-conjunto de e, portanto, as variáveis não podem ser expressas em graus e
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−
−
−
−
1
2
3
4
x
y
−35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 5 10 15 20 25 30 35
−35−
−25−
−15−
−
(^105) 1520
2530
x
y
assim por diante. Compondo-se as funções de maneira apropriada, pode-se expressar a quantidade original como função da última variável. Esse processo é chamado composição de funções e definido do seguinte modo: Definição : Sejam f : A → B e g : Im f → C. Definimos a composta de g com f e denotamos por
g o f à função dada por ( g o f ) ( x ) = g ( f ( x )). O esquema seguinte ilustra a definição:
Exemplos:
- f ( x )= x^2 − x é a composição das funções g ( u )= u e u ( x ) = x^2 – x, já que
( g ou )( x )= g ( u ( x ))= g ( x^2 − x )= x^2 − x.
f ( x )= 5 − x + 1 é a composição das funções g ( u )= 5 − u e u ( x ) = x + 1, já que ( g ou )( x )= g ( u ( x ))= g ( x + 1 )= 5 − x + 1.
f x x^ x
( )= − é a composição das funções x g ( u )=^ u , u ( v )= v e v ( x ) = 1- x^2 ,
já que
( 1 )^1.
2 2
2
x g x^ x
gouov x g uov x guvx gu x − =^ −
- Um estudo das condições ambientais de uma comunidade suburbana indica que a taxa média diária de monóxido de carbono no ar será de (^) c ( p )= 0 , 5 p + 1 partes por milhão (ppm), quando a
população for de p milhares. Estima-se que daqui a t anos, a população da comunidade será de
f ( x ) g( f ( x ))
f (^) g
x
g o f
p ( t )= 10 + 0 , 1 t^2 milhares. Expresse a taxa de monóxido de carbono no ar como uma função do
tempo. Solução : Como a taxa de monóxido de carbono está relacionada a p pela equação c ( p )= 0 , 5 p + 1 , e
a variável p está relacionada à variável t pela equação p ( t )= 10 + 0 , 1 t^2 , a função composta
c ( p ( t ))= 0 , 5 ( 10 + 0 , 1 t^2 )+ 1 = 6 + 0 , 05 t^2 expressa a taxa de monóxido de carbono no ar como função
da variável t.
Importante: Imagine um conjunto formado por todas as funções reais. Vamos chamá-lo de F. Portanto, os elementos de F são funções com domínio e imagem em e como em todo conjunto, podemos definir operações e propriedades. As operações de soma, subtração, produto e divisão já são bem familiares entre as funções, ou seja, já estamos acostumados a somar duas funções, dividir uma pela outra, multiplicar e assim por diante. Note que a composição é uma outra operação que podemos fazer com as funções, a qual não fazemos com números reais. Portanto, esta é uma operação definida no conjunto de funções e como tal, também possui propriedades, dentre as quais, destacamos:
- Elemento neutro: é uma função que, ao ser composta com qualquer outra, não altera esta outra. Portanto, o elemento neutro em relação à operação composição, é a função identidade, denotada por id , e tal que id ( x )= x ,∀ x ∈ R. De fato, para toda função real f , tem-se ( f o id )( x )= f ( id ( x ))= f ( x )e ( id o f )( x )= id ( f ( x ))= f ( x ).
- Funções inversas: Se f é bijetora (injetora e sobrejetora), então f é inversível, ou seja, existe uma função g tal que g é a inversa da f , a qual “desfaz o que a f faz”. Na linguagem matemática escrevemos: Se f : A → B é bijetora, então existe g : B → A tal que y = f ( x )⇔ x = g ( y ). O esquema abaixo permite a visualização da definição:
−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10
−
−
−
−
−
2
4
6
8
10
x
y
- Se f ( x )= xn , então f −^1 ( x )= n^ x , ∀ n ∈ N , n > 2. Exemplos:
− −
− − ( ( )) ( ) , 0.
( ) ( ) : ( ( )) ( ) ( ) ,^0
1 1 2 2
2 1 1 2 f f x f x x x x
f x x f x x f f x f x x x x
− −
− − ( ( )) ( ) ,.
1 1 3 3 3
1 3 3 3 3 1 3 f f x f x x x x R
f x x f x x f f x f x x x x R
−1 1 2 3 4 5 6 −
1
2
3
4
5
6
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−
−
−
1
2
3
x
y
2.9 Funções Exponenciais: são funções que apresentam crescimento (ou decrescimento) muito rápido e, por isso, utilizadas para representar fenômenos que possuem esta característica, por
f(x)=2x+
f(x)=(x-5)/
f(x)=x
f(x)=x^2
f(x)= x
f(x)=x
f(x)=x^3 f(x)=x
f(x)=^3 x
exemplo, crescimento de bactérias, decaimento radioativo de elementos químicos, juros compostos, etc. São definidas da seguinte forma: Definição: Se b é um número positivo diferente de 1 ( b > 0 , b ≠ 1 ), então a função exponencial de
base b é definida como f ( x ) = bx^ , para qualquer número real x. Exemplos:
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −
1
2
3
4
5
6
x
y
−2 −1 1 2 3 −
1
2
3
4
5
x
y
Observações:
1. Da definição decorre que se 0 < b < 1 , então a função é decrescente e se aproxima de zero para valores grandes de x , enquanto que se b > 1, então a função é crescente e se aproxima de zero à medida que x decresce negativamente. 2. Se x = 0, então b^0 = 1, ou seja, para qualquer valor da base, o gráfico intercepta o eixo y quando y = 1. 3. Para que a função exponencial pudesse ser definida em todos os reais, algumas restrições foram necessárias à base, como por exemplo, o fato de b ser diferente de 1 (1 x^ só tem significado se x é finito, mas os reais compreendem o infinito também) e não poder ser negativo ( um exemplo de
problema: b < 0 ⇒ b^1 /^2 = b ∉ R ).
4. Valem para as funções exponenciais todas as propriedades válidas para expoentes, ou seja:
a) b x^ = by ⇔ x = y d) ( bx ) y^ = bxy
b) bx^ by^ = bx+y^ e) ( a b ) x^ = ax^ bx c) bx^ / by^ = bx – y^ f) ( a / b ) x^ = ax^ / bx
f(x)=10x f(x)=3x f(x)=2x f(x)=1,3x
f(x)=0,1x f(x)=0,5x f(x)=0,8x
Aplicações:
1) Os biólogos observam que, em condições ideais, o número de bactérias em uma cultura cresce exponencialmente. Suponha que existam inicialmente 2.000 bactérias em certa cultura e que 6. bactérias estejam presentes 20 minutos depois. Quantas bactérias estarão presentes depois de 1 hora? Solução: Seja Q ( t ) o número de bactérias presentes após t minutos_._ Como o número de bactérias cresce exponencialmente e como existiam inicialmente 2.000 bactérias, Q é uma função da forma Q ( t ) = 2.000 ekt. Como 6.000 bactérias estão presentes após 20 minutos, temos 6.000 = 2.000 e20k^ ou e20k^ = 3. Para determinar o número de bactérias após 1 h (60 min) basta calcular Q (60) usando a lei de expoentes: Q (60) = 2.000 e60k^ = 2.000 ( e20k )^3 = 2.000 (3)^3 = 54.000. Portanto, 54.000 bactérias estarão presentes após 1 hora.
2) A meia vida do elemento químico estrôncio-90 (^90 Sr) é de 25 anos. a) Se uma amostra de 90 Sr tiver uma massa de 24 mg, encontre uma expressão para a massa após t anos de desintegração. b) Encontre a massa remanescente após 40 anos. c) Utilizando o gráfico da função, encontre o tempo necessário para que a massa fique reduzida a 5 mg. Solução: a) Tomando t = 0 como o instante inicial, no qual se começa a analisar o fenômeno e m ( t ) a massa
num instante t qualquer, temos a seguinte situação: m ( 0 )= 24 ⇒ m ( t )=?
Se a meia vida do elemento é de 25 anos, sabemos que a cada 25 anos sua massa se reduz à metade, ou seja,
/ 25 /^25
2 3 3 4
2
m t t m t^ t
m m m m
m m m m
= ⇒ = ×^ −
M
b) m(40) = 24 μ 2 -40/25^ = 7,92 mg.
c)
−10 −5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 −
−
5
10
15
20
25
30
x
y
Portanto, levará aproximadamente 56 anos para que sua massa fique reduzida a 5 mg.
7. Suponha que você aplique R$ 5.000,00 a uma taxa de 0,8% ao mês, cujos juros são compostos mensalmente. Quanto você terá após 4 anos? Solução: Façamos inicialmente o caso geral, ou seja, suponhamos que a quantia inicial a ser aplicada seja C 0 , a taxa seja r % ao mês e o tempo (medido em meses), t. Assim, teremos: t = 0 : C 0 t = 1 : C 0 + r C 0 = C 0 (1+ r ) t = 2 : C 0 (1+ r ) + r C 0 (1+ r ) = C 0 (1+ r ) (1+ r ) = C 0 (1+ r )^2 t = 3 : C 0 (1+ r )^2 + r C 0 (1+ r )^2 = C 0 (1+ r )^2 (1+ r ) = C 0 (1+ r )^3
M t = t : C 0 (1+ r ) t Logo, após t meses, o capital será de C( t ) = C 0 (1+ r ) t^.
