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Funções -Resumo, Resumos de Engenharia Mecânica

Universidade Paulista (UniP)Engenharia Mecânica

Funções -Resumo

Tipologia: Resumos

2011

Compartilhado em 17/08/2011

igor-bianchi-10
igor-bianchi-10 🇧🇷

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Funções – Resumo prof. Machado/2010
• As funções tratam das relações entre duas ou mais variáveis.
• Escrevemos, por exemplo, y = f(x), isto é, y é uma função de x ou os
valores de y dependem dos valores de x.
• As letras y e x são, em geral, utilizadas como uma forma de abreviatura
pela qual evitamos o esforço de não ter de escrever constantemente a
descrição completa da variável.
• Exemplo 1:
Nota final de um aluno na disciplina = y
Esta nota é formada por uma nota de prova = x e uma nota de trabalho = z
Os pesos ou a importância relativa da prova é 40% e do trabalho 60%
A relação entre a nota final, y, a nota de prova, x, e a de trabalho, z, é dada
pela equação: y = 0,40x + 0,60z
• Exemplo 2:
Considere a função que relaciona o consumo de um domicílio à renda como:
C = 100 + 0,75.
I
C = Consumo de um domicílio
I
= Renda
C = f(I)
O consumo depende de renda ou o consumo é uma função de renda
C = 100 + 0,75.
I
, então se
I
= 200,
C = 100 + (0,75 x 200)
C = 100 + 150 = 250
• Uma função y = f(x) de uma variável x é uma regra que associa a cada
valor de x um único número f(x) (relação causa x efeito)
• Ex. 1:
A demanda de um produto (y) em função da renda (x) dos
consumidores y = f(x) pode ser: y = 8 + 2x, por exemplo.
Obs.: O conjunto de valores possíveis para x é o domínio da função.
Os valores assumidos por f(x) ou y é a imagem da função.
• Ex. 2:
Suponha que no Ex.1 o estudo tenha sido feito para consumidores
com rendas entre $500,00 e $1000,00. Então, poderíamos reescrever
nossa função como:
y = 8 + 2x, para 500 ≤ x ≤ 1000
Daí, o domínio seria D ={x ∈
∈∈
∈ IR | 500 ≤ x ≤1000 }
• Observe que:
F(500) = 8 + 2 . 500 = 1008 e F(1000) = 8 + 2 . 1000 = 2008
Assim, a imagem seria: Im ={ y∈IR | $1008 ≤ y ≤ $2008}
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Funções – Resumo prof. Machado/

  • As funções tratam das relações entre duas ou mais variáveis.
  • Escrevemos, por exemplo, y = f(x), isto é, y é uma função de x ou os

valores de y dependem dos valores de x.

  • As letras y e x são, em geral, utilizadas como uma forma de abreviatura

pela qual evitamos o esforço de não ter de escrever constantemente a

descrição completa da variável.

  • Exemplo 1:

Nota final de um aluno na disciplina = y

Esta nota é formada por uma nota de prova = x e uma nota de trabalho = z

Os pesos ou a importância relativa da prova é 40% e do trabalho 60%

A relação entre a nota final, y, a nota de prova, x, e a de trabalho, z, é dada

pela equação: y = 0,40x + 0,60z

  • Exemplo 2:

Considere a função que relaciona o consumo de um domicílio à renda como:

C = 100 + 0,75.I

C = Consumo de um domicílio

I = Renda

C = f(I)

O consumo depende de renda ou o consumo é uma função de renda

C = 100 + 0,75.I, então se I = 200,

C = 100 + (0,75 x 200)

C = 100 + 150 = 250

  • Uma função y = f(x) de uma variável x é uma regra que associa a cada

valor de x um único número f(x) (relação causa x efeito)

  • Ex. 1:

A demanda de um produto (y) em função da renda (x) dos

consumidores y = f(x) pode ser: y = 8 + 2x, por exemplo.

Obs.: O conjunto de valores possíveis para x é o domínio da função.

Os valores assumidos por f(x) ou y é a imagem da função.

  • Ex. 2:

Suponha que no Ex.1 o estudo tenha sido feito para consumidores

com rendas entre $500,00 e $1000,00. Então, poderíamos reescrever

nossa função como:

y = 8 + 2x, para 500 ≤ x ≤ 1000

Daí, o domínio seria D ={x ∈∈∈∈ IR | 500 ≤ x ≤1000 }

  • Observe que:

F(500) = 8 + 2. 500 = 1008 e F(1000) = 8 + 2. 1000 = 2008

Assim, a imagem seria: Im ={ y∈IR | $1008 ≤ y ≤ $2008}

  • Função Linear (1o. Grau)
  • Uma função f é dita linear se sua expressão analítica é da forma
  • f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0

Ex.: f(x) = 3x – 1

Obs.: O gráfico de uma função linear (1o. Grau) é sempre uma reta

Representação Gráfica da Função do 1º grau:

  • Função Linear x y
  • Ex.: y = 2x –1 0 -
  • Construir os gráficos das seguintes funções:

a) y = 5x b) y = 2 – 3x

c) y = 5 d) y = 7 + x

e) y = -x f) y = 1

  • Função Quadrática (ou do 2º. Grau)

Uma função f é dita quadrática se sua expressão analítica é da forma

f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais, sendo a ≠ 0.

Ex.:

f(x) = 5 x² - 2x - 1

EXERCÍCIOS GERAIS DE FUNÇÃO

  1. Se (a + 2b, a – 4) e (2 – a, 2b) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, determine o valor de ab.
  2. Sejam os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {0; 1; 3; 5}. Represente num diagrama de flechas as seguintes relações binárias de A em B: a. f = { (x; y) ∈ A x B | y = x + 2}; b. g = { (x; y) ∈ A x B | y > x}; c. h = { (x; y) ∈ A x B | y = 2x – 1}
  3. Sendo A = {0; 2; 4} e B = {1; 3; 5}, represente no gráfico cartesiano de A x B a relação y = x + 1, com x ∈ A e y ∈ B.

x

y

y = 2x - 1

  • 1
  1. Qual dos gráficos seguintes representa uma função f de R * + em R? R R R a) b) c)

R R R

R R

d) e)

R

R

  1. O gráfico de f(x) = x^2 + bx + c, em que b e c são constantes, passa pelos pontos (0; 0) e (1; 2). Determine a imagem do domínio x = −2/
  2. Seja f: R R a função definida por f(x) = 2x – 4. Construa o gráfico de f e complete as sentenças abaixo: a) O conjunto solução da equação f(x) = 0 ou 2x – 4 = 0 é S = { } b) O conjunto solução de f(x) > 0 ou 2x – 4 > 0 é S = { } c) O conjunto solução de f(x) < 0 ou 2x – 4 < 0 é S = { }
  3. Seja g: R R a função definida por g(x) = – x + 3. Construa o gráfico de g e complete as sentenças abaixo: a) O conjunto solução da equação g(x) = 0 ou – x + 3 = 0 é S = { } b) O conjunto solução de g(x) > 0 ou – x + 3 > 0 é S = { } c) O conjunto solução de g(x) < 0 ou – x + 3 < 0 é S = { }
  4. A função f, do 1º grau, é definida por f(x) = 3x + k. Determine:

a) O valor de k para que o gráfico de f “corte” o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5; b) O ponto em que o gráfico de f “corta” o eixo das abscissas.

  1. Determine a função polinomial do 1º grau que contém os pontos (1; 3) e (3; 7)
  2. Esboce o gráfico da função f :R R definida por f(x) = x^2 – 4x + 3 e determine o conjunto solução das inequações abaixo: a) x^2 – 4x + 3 > 0 b) x^2 – 4x + 3 ≥ 0 c) x^2 – 4x + 3 < 0 d) x^2 – 4x + 3 ≤ 0
  3. Esboce o gráfico da função f :R R definida por f(x) = x^2 – 4x + 4 e determine o conjunto solução das inequações abaixo: a) x^2 – 4x + 4 > 0 b) x^2 – 4x + 4 ≥ 0 c) x^2 – 4x + 4 < 0 d) x^2 – 4x + 4 ≤ 0
  1. Um homem-bala é lançado de um canhão e sua trajetória descreve uma parábola. Considerando que no instante de lançamento (t = 0) ele está a 3 metros do solo, 1 segundo após ele atinge a altura de 4 metros e 3 segundos após o lançamento ele atinge o solo, pede-se: a) A altura h do homem-bala, medida em metros e a partir do chão, em função do

tempo t, medido em segundos; Resp.: h(t) = − t^2 + 2t + 3

b) O valor de h para t = 2. Resp.: 3 metros

  1. Determine o vértice da parábola de função y = 4

(x + 4) (x – 8)

  1. Obtenha o vértice e o conjunto-imagem da função f : R R definida por f(x) = x^2 – 6x + 5
  2. Determine o conjunto-imagem da função f : R R definida por f(x) = −x^2 + 8x – 12.
  3. Esboçar o gráfico e obter o conjunto-imagem da função f : [−1; 4] R definida por f(x) = x^2 – 2x – 3.
  4. Esboce o gráfico da função f : [0; 5] R definida por f(x) = x^2 – 4x + 3. Ache o máximo e o mínimo de f.
  5. Nas funções polinomiais do 2º grau abaixo, determine os interceptos e construa o seu gráfico: a) f(x) = x^2 – 2x b) f(x) = x^2 – 4 c) y = – x^2 + 2x + 3 d) y = x^2 – 6x + 8
  6. Uma indústria produz óculos de sol pelo preço de R$ 20,00 cada. Calcula-se que se cada óculos for vendido por p reais, os consumidores comprarão 120 – p unidades. a) expresse o lucro L(p) da indústria em função do preço de venda; b) esboçar o gráfico; c) calcular o preço para o qual o lucro será máximo Resolução: a) O lucro é expresso pelo produto : (preço vendido – custo de fabricação). (unidades vendidas) , ou seja:

L(p) = (p – 20). (120 – p) L(p) = – p^2 + 140 p – 2400

b) As raízes ou zeros da função são dadas por – p^2 + 140 p – 2400 = 0 ou então, por (p – 20). (120 – p) = 0

p – 20 = 0 p 1 = R$ 20,00 I 1 (20 ; 0) ou 120 – p = 0 p 2 = R$ 120,00 I 2 (120 ; 0)

O vértice é dado por : xV = 2 2

p 1 p 2 20 + 120

= 70 xV = R$ 70,00 e

yV = L(xV) = L(70) = (70 – 20). ( 120 – 70) = 50. 50 yV = R$ 2500, que representa o preço máximo de lucro, ou seja, LMÀX = R$ 2.500, L(p)

20 70 120 p

c) do gráfico e do cálculo do item (b) , concluímos que o lucro será máximo quando o preço p for igual ao xV , ou seja:

p = R$ 70,