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Fundamentos de À Matemática Instituto Nacional CIÊNCIA Scanned by CamScanner FUNDAMENTOS DE MATEMATI CA se abreviar uma soma, em lugar de somar e E 1 - 1 . o a o: mais rápido e mais facil será realizar ut : a [0 ma inteligente de a for das vezes um mesmo numer operação. COMO SE DENOMINA ESSA OPERAÇÃO QUE ABREVIA A SOMA ? e abrevia a soma Se denomina MULTIPLICAÇÃO e não & nada nais A operação orévia da de várias parcelas, porem, com uma condição, que uma soma QUAL É A CONDIÇÃO ? o As parcelas têm que ser iguais. Ou seja, a Multiplicação é uma soma de vã- rias parcelas iguais. Exemplo: 6 vezes 6+5+5+5+5+5=50 ou seja: 5 parafusos somados 6 vezes, é igual a 30 parafusos. Escreve-se: 5x 6 = 30 Lê-se: 5 x 6 é igual a 30 O QUE SE DENOMINA MULTIPLICAÇÃO ? Denomina-se Multiplicação ou Produto de um número natural por outro, ao Mu mero natural que se obtem somando o primeiro número tantas vezes quanto in dique o segundo. Exemplo: 4x 3,0 que indica ? Estã indicadv que se deve somar o nume ro 3, 4 vezes, e se le: quatro vezes três, 4 vezes 3+5+3+3=12 LOGO: 3 x 4 = 12 ] 3x7. 0 que indica? Está indi a 3 vezes e se 18: três vezes da Pisiosdo que, se deve sonar à BUNEvo » 7+7+47=72 EM UMA MULTIPLICAÇÃ E PAS TICIPAM DA MESMA ÃO, COMO SE DENOMINAM AS QUANTIDADES QU As quantidades que intervem do, ao Primeiro número; mu (Mutiplicando e Multiplic, em uma mu Ltiplicador ador t e : jplicar” Itiplicação se denominam multi, do ao segundo e Produto ao ves! : ambém são chamados de fatores): Scanned by CamScanner . E | FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 4-4 TEMA 2 O QUE É IGUAL AO PRODUTO DE UM NÚMERO NATURAL MULTIPLICADO PE- LO NÚMERO NATURAL 1 ? O produto de um número natural pelo número natural 1é igual ao primeiro numero. Exempros: 8x1=8; 5x1l=5; O QUE É IGUAL AO PRODUTO DE UM NÚMERO NATURAL MULTIPLICADO PE- LO NÚMERO ZERO ? O. produto de um número natural pelo número zero é igual a zero. Exempros: 4x 0=0; COMO SE OBTEM O PRODUTO DE VÁRIOS NÚMEROS; DADOS EM UMA CERTA ORDEM ? O produto de vários numeros dados em uma certa ordem, se obtem da seguinte forma: multiplicam-se os dois primeiros números, este resultado se multi- logo depois. multiplica-se este resultado pelo plica pelo terceiro número; 1 res d im sucessivamente, ate chegar ao Ultimo número. número que se segue, e assi Nessa operação de vários nimeros, chamamos cada um deles de fator. 11 = 616 ExempLo: , FATORES PRODUTO Scanned by CamScanner TEMAS COMO SE DENOMINA O PRODUTO DE UM NÚMERO POR DOIS ? | O produto de um número por 2 se denomina o dobro deste mesmo número. | Exemplos: 10 é o dobro de 5 porque, 5 x 2 = 10 | 4 € o dobro de 2 porque, 2x 2=4 | 12 € o dobro de 6 porque, 6 x 2 = 12 | COMO SE DENOMINA O PRODUTO DE UM NÚMERO POR TRÊS ? | O produto de um número por três se denomina triplo desse número. | Exemplos: 15 &o triplo de 5 porque, 5 x 3 = 15 21 € 0 triplo de 7 porque, 7x3=21 30 & o triplo de 10 porque 10 x 3 = 30 COMO SE DENOMINA O PRODUTO DE UM NÚMERO POR QUATRO ? O produto de um número por quatro se denomina quádruplo desse número. Exemplos: 24 é o quádruplo de 6 porque, 6x 4 = 24 36 & o quádruplo de 9 porque, 9 x 4 = 36 40 & o quádruplo de 10 porque,10 x 4 = 40 Se efetuamos as seguintes multiplicações: 5x 6=30;7x4=28;8x 8=64 observamos que os números 30; 28; 64 são produto resultantes das multipli- | cações 5x 6; 7x4;8x38. Estes produtos recebem um nome especial. DOBRO 2 VEZES TRIPLO 3 VÊZES QUADRUPLO 4 VÊZES Scanned by CamScanner TEMAS EXISTE ALGUMA MANEIRA FÁCIL DE SE ENCONTRAR O PRODUTO ENTRE NÚ MEROS NÃO COMPOSTOS ? Sim, uma maneira fácil de se encontrar o produto entre dois números sim- ples, ê utilizar a tábua de Pitágoras. TABUA DE PITAGORAS 15 18/21 20 24| 28 15 20 25 30/35 - 12 18 24 30 36] 42 14 21 28 35 42) 49 8 16 24 32 40 [48 56 9 18 27 36 45 54 63 es o j COMO SE COMPÕE A TÁBUA DE PITÁGORAS ? A Tabua de Pitágoras se compõe da seguinte maneira: escreve-se na primeira fileira os múltiplos de 1, partindo de 1; na segunda, os múltiplos de 2, partindo de 2; na terceira, os múltiplos “de 3 é assim sucessivamente con- cluir com os múltiplos de 9, partindo de 9. COMO ENCONTRAMOS O PRODUTO ENTRE DOIS NOMEROS NESTA TÁBUA ? O produto entre dois números pode ser encontrado na intersecção da fileira, tendo à frente cada um dos fatores, Exemplo: Se desejamos encontrar o produto entre 6 e 8, procuramos na pri- meira fileira o 8 e na outra fileira o 6, O numero que se encontra na in- tersecção das duas colunas, neste caso, e dB. “Scanned by CamScanner Seanned Dy Camscanner FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 4 A MULTIPLICAÇÃO POSSUI PROPRIEDADES ? Sim, a multiplicação possui propriedades. COMO SE DENOMINAM AS PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO ? As propriedades da Multiplicação se denominam: Propriedade Comitativa Pro. priedade Associativa, Propriedade Dissociativa e Propriedade Distributiva, O QUE AFIRMA A PROPRIEDADE COMUTATIVA ? A Propriedade Comutativa afirma: "Quando se troca a ordem dos fatores,o re sultado não se altera" e Exemplos: 35.14 =14,3=42 5. 5=6.5=30 7.2.3=3.2.7=42 O QUE AFIRMA A PROPRIEDADE ASSOCIATIVA 2? A Propriedade Associativa afirma; "Quando se substitui dois ou mais fato- res por seu produto efetuando, o produto total não varia”, Exemplos: 3. C.N=-3.M4=42 (3.2).7=6.7=42 pórtanto F.L.Neg.D.I- O QUE AFIRMA A PROPRIEDADE DISSOCIATIVA 2? A Propriedade Dissociativa afirma: "Se vários fatores estão representados por seu produto, este pode se subst ituir por seus fatores ". Exemplos: 5x4x10x1=í200 a Porque: 4=2x2 N 2x2 2x5 10=2x5 Ou seja: 5x2x::2x5x1=h200 [os w 12x 6x2x3=«s EN 2x6 2x3 é . Tque: 12=2x Ouseja:2x6x2x3x2x3=432 pera 6=2x3 O QUE DIZ A PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA 2 A Propriedade Distributiva firma: turais por um nimero, o resultado tem, multiplicando c: a “Dado o produto de uma soma de números nº . sm - b Sera igual ã soma dos produtos que se O ada parcela po. iste número", Exemplo : (5x4 ) + (4x4 ) + (4x3) 2 + 16 +12 mu (5+4+3)x4 48 | FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 4 É NECESSÁRIO MEMORIZAR A TABUADA DE MULTIPLICAR ? Sim, & necessário memorizar a Tabuada de multiplicar, do contrário ficaria muito lento efetuar as operações de multiplicação. Você as aprenderá com maior facilidade se levar em consideração a proprie- dade comutativa. 10 porque: se 2x4=8 seu oposto também 4x2=8 se 3x5=15 seu oposto também 5x3=15 se 4x6=24 seu oposto também 6x4=24 e assim por diante. Se você estudou atê a Tabuada do nº8, consequentemente saberá a Tabuada do 9 sem necessidade de memorizá-la, porque: se 2x9 = 18; 9x2=18; se 3x9=27; 9x3=27 e assim por diante. TABUADA DE MULTIPLICAR DO dO DO dO BO DO DI O bo dd XXXXXX XXX CO GO €3 Cd E Ed E Go Go Cd XXXXXX XXX XXXXXXXX XX o o o pg a a Semasa ta SOO IG Ema DOJtam SOIS tato MA A wWwonvone m OWNMON It mena tenente XXXXXXX XXX SO IDa A cho sassgaIIII XKXXXXX XXX SosJIsuwacwn RIR! e SovaIsdnawnH NObEUINOM EA) XXXXXXXXXX me DSwmounaw JON NçU ma m 10 20 30 50 70 90 VOO wowwww XXXXXXXX XX ma ta S XXXXXXX XXX tea SCoInna cl o 09 €o CO 63 69 Go co to co XXXXXXXXXx O tO co 30) qr ad ta dd a DOME Men Soo Imeem 900000000 ta Ss DEODORO ma 8 8 VOID = 8 ta Scanned by CamScanner 4 -d1 TEMA 8 como SE ENCONTRA O PRODUTO DE NÚMEROS SIMPLES (DÍGITOS ) ? Para encontrar o produto de nímeros simples ( dígitos ), somente é necessã rio se conhecer a Tabuada de multiplicar. Exemplos: 8x7 = 56 9x9 = 81 7x6 = 42 COMO SE ENCONTRA O PRODUTO DE NÚMEROS COMPOSTOS (POLIDÍGITOS ) POR NÚMEROS SIMPLES ( DIGÍTOS ) ? Para multiplicar um número composto (Polidígito) por um número simples (di gitos) - 347x5 - a operação se dispõe da seguinte maneira: BEPLO MULTIPLICANDO 3147 x5 em 17535 MULTIPLICADOR “a PRODUTO Na prática opera-se da seguinte forma: diremos, 5x7, 35; escreve-se o 5 e se eleva 3; continuando, 5x4, 20; mais 3 que foi elevado, 23; escreve-se o 3 e se eleva 2; segue-se 5x3, 15, mais 2, 17; como é o último algarismo mul tiplicando, escreve-se integralmente e assim vemos que o produto e igual à 1735. QUE PODEMOS DEDUZIR DA OPERAÇÃO DE PRODUTOS DE NÚMEROS POLIDÍ- GITOS POR UM DÍGITO ? Podemos deduzir que: "Para multiplicar um número polidígito por um número de um dígito, se multiplica cada algarismo do polidígito, pelo dígito". Se nos diferentes produtos, se originam unidades de ordem superior, estas somam ao produto seguinte e o último produto se escreve totalmente. scanned by Camscanner 4 - 13 TEMA 10 como SE REALIZA A OPERAÇÃO, QUANDO EXISTEM ZEROS NO MULTIPLI - CANDO E NO MULTIPLICADOR ? Quando existem zeros no multiplicando e no multiplicador, a operação se realiza assim: Exemplos: 2.806 3154 x904 x560 DP 11.224 189240 2525 40+ 15770 + 2536. 62º 1756240 No primeiro exemplo observamos o seguinte: 1º) Os zeros que existem no multiplicando não requerem atenção especial basta escrever a totalidade do produto ( 4x6 = 24 ), podemos escre- ver 24, 2º ) Um zero no multiplicador deixa um lugar sem produto parcial, o produ to das dezenas fica sem algarismo, deve-se dizer: zero multiplicado por toda a quantidade (do multiplicando) é igual a 0, que E colocado '- no lugar das dezenas, e no lugar imediatamente após, começamos a co- locar as centenas. 3º ) No exemplo da multiplic:ção 3150x560, o produto das unidades é zero, porque zero multiplicade por qualquer quantidade é igual a zero, lo- go depois, continuamos mul*iplicando as dezenas: 6x4 etc. Porém, ao multiplicar as céntenas, cevemos ter cuidado de colocar o primeiro al garismo abaixo das centenas, e não no lugar das dezenas, neste caso: 5x4 = 20, o zero abaixo do 2, e logo prosseguimos nontiálmente. QUANDO O MULTIPLICADOR TEM MAIS ALGARISMOS QUE O MULTIPLICANDO O QUE SE DEVE FAZER PARA ABREVIAR A OPERAÇÃO ? Quando o multiplicador tem mais algarismos que o multiplicando, deve-se in verter os fatores aplicando a Propriedade Comutativa para abreviar a opera ção. Exemplo 54 1346 x1346 x54 » 324 5384 | 216 6730+ | 162 + | SA 72684 72684 Desta forma se abrevia a operação. Scanned by CamScanner FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 4-4 TEMAM EXISTE ALGUMA MANEIRA DE COMPROVAR SE UMA MULTIPLICAÇÃO FOI BEM FEITA ? Sim, fazendo um teste, existem três maneiras de se comprovar. QUAL É O PRIMEIRO PROCEDIMENTO 2? O primeiro procedimento consiste em utilizar a propriedade de que a ordem dos fatores não altera o produto: consequentemente, deve-se inverter os fa tores. Se em ambos os casos se obtem o mesmo resultado, pode-se considerar que não houve erro nos cálculos. . . Para multiplicar 754 x 253, fariamos as duas operações da seguinte maneira: 754 253 x253 x754 O resultado das duas multiplicações é: 190.762 QUAL É O SEGUNDO PROCEDIMENTO ? O segundo procedimento consiste em dividir o produto obtido pelo multipli- cador ou pelo multiplicando, o resultado deve dar 6 multiplicando se foi di vidido pelo multiplicador ou vice-versa. QUAL £ O TERCEIRO PROCEDIMENTO ? O terceiro procedimento se denomina "prova dos nove", consiste no seguinte: 5273 x47 36911 21092 247831 A prova se efetua assim: a ) Somam-se os algarismos do multiplicando, até se obter um sô algarismo 5+2+743=17, isto e, Sc a soma € 17 então somamos o 1 ao 7 e teremos finalmente 8 (que & colocado no ângulo superior da cruz). bj Somam-se os algarismos do multiplicador, até se obter um só 4 + 7 =11 1+] =2 (que & colocado no ângulo inferior). c) duto: Poet pa algarismos anteriores, somando os algarismos do ido atê conseguir um só: = = ê cado no angulo da direita). º * fxdelê, 1s6=7 (que é coloch d 5 Somam-se os algarismos do ã ê 6 algo pio : di produto da operação até se obter um só alga rismo, que deve ser igual ao obtido mes DodeTaBa te =25,245=7. (que & colocado no angulo da esquerda). Se gg Is Gti , 4 a Se 05 dois últimos algarismo (do ângulo da direita e do ângulo da esquerda) “ão iguais, existe probabilidade de que a operação seja bem efetuada, MM o ecTIsaEr mi FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 4 - 16 TEMA 13 POR UMA UNIDADE SEGUIDA DE ZEROS? r um número por outro seguido de zeros, multiplica-se o mul o e ao resultado se acrescentam tantos ze- coMo SE MULTIPLICA UM NOMERO para multiplica p tiplicando por esse outro númer ros quanto exista no multiplicador. Exemplo: 212x300=63.600 212x3 ea este resultado se acrescenta 2 zeros à direita, EXEMPLOS: 225 x 4000 = 892,000 45 x 50 = 2250 26 x 6000 = 156.000 COMO SE MULTIPLICA UM NÚMERO QUALQUER POR OUTRO TERMINADO EM 9? Multiplica-se da seguinte forma: 476 x9; Podemos expressar o exemplo da seguinte maneira: 4/6 x (10-1) Ne me 476x10 - 476% 4760 - 76 = 4284 0 m ã ú ú esmo sera para todos os números cujo último algarismo seja 9: EXEMPLO: 520x29; sendo 29 = 30 - 1 520 x (30 - 1) =520x30 - 520 29 15600 - 520 = 15080 AR ——t EE By Wamscanner o. 4- 17 QUE DEFINIÇÃO PODEMOS DEDUZIR ? podemos deduzir a seguinte definição: “Para multiplicar um número por ou- To terminado em nove, multiplica-se o primeiro numero por um número supe- t ia En r ao multiplicador e a este resultado se diminui o multiplicando". rio como SE MULTIPLICA UM NÚMERO QUALQUER POR OUTRO TERMINADO EM ]? mutiplica-se do seguinte modo: 324 x 11; senpo 11 = 10+1 Podemos expressar o exemplo assim: 324x (10+1) = 324x10 + 324x1 5240 + 324 = 3564. serã o mesmo para todos os números terminados em 1. EXEMPLO: 252 x21; seno 21 = 20+1 252x21 = 252x20 + 252x1 O S0H0 + 252 = 5292 COMO SE MULTIPLICA UM NÚMERO QUALQUER TERMINADO EM 12 ? Multiplica-se da seguinte maneira: EXEMPLO: 516 x 12; seno 12 = 10+2 podemos expressar o exemplo assim: 516x(10+2) = 516x10 + 516x2 12 5160 + 1032= 6192 QUE DEFINIÇÃO PODEMOS DEDUZIR ? Podemos deduzir a seguinte definição: "Para multiplicar um número por 12, Tultiplica-se por 10 e ao resultado soma-se o dobro do multiplicando", QUE DEFINIÇÃO PODEMOS FORMULAR ? B 1 a ” . a pretos formular a seguinte definição: "Para multiplicar um número por ou- Rae minado em 1, multiplica-se o primeiro pelo número mais próximo infe PF ao multiplicador e a este resultado soma-se o multiplicando”. do Scanned by CamScanner 4 = 19 TEMA 15 como SE MULTIPLICA UM DECIMAL PELA UNIDADE SEGUIDA DE ZEROS ? para multiplicar um decimal por uma unidade seguida de zeros, basta deslo- car a virgula decimal tantos algarismos à direita quantos forem os zeros que acompanham à unidade, EXEMPLOS: 3,845 x 10 = 38,45 3,845 x 100 = 584,5 3,845 x 1000 = 5845 QUE DEFINIÇÃO PODEMOS RETIRAR DESTES EXEMPLOS? Podemos retirar a seguinte definição: "Quando se desloca a vírgula à direi ta de um decimal, este se multiplica pela unidade seguinte de tantos ze - ros quantos algarismos tenha se deslocado a virgula". EXEMPLOS: 0,56 x 100 = 56 3,165 x 100 = 316,5 0,95 x 10 = 9,5 0,0045 x 10 = 0,045 31,845 x 1000 = 51845 0,3581 x 1000 = 358,1 rue by CamScanner FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 4-20 COMO SE REALIZA A MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS ? A multiplicação de números decimais se realiza como se tratassemos com nã- meros inteiros. Uma vez obtido o resultado, se separam no produto tantos al garismos ( desde o ultimo a direita ate a esquerda ) quantos algarismos de Cimais existem no multiplicando, mais os do multiplicador e se colocaa vir gula decimal. c3 Exemplo: Multiplicar o número decimal 4,56 pelo número inteiro 7 4,56 2 algarismos decimais no multiplicando Xx7 Nenhum algarismo decimal no multiplicador. 31,92 2+0 = 2 algarismos decimais no produto, Exemplo: Multiplicar o número inteiro 9456 pelo número decimal 0,008 9456 nenhum algarismo decimal no multiplicando, 0,008 3 algarismos decimais no multiplicador, 75,648 0+3 = 3 algarismos decimais no produto. Exemplo: Multiplicar os números decimais 17,812 por 4,5, 17,812 3 algarismos decimais no multiplicando Xx4,5 1 algarismo decimal no multiplicador 89060 E 71248 : 80,1540 3+1 = 4 algarismos decimais no produto * COMO PROCEDER QUANDO O NÚMERO NÃO ALCANÇA AS DECIMAIS PARA CO- LOCÀR A VÍRGULA ? Quando o número não alcança as decimais para se colocar a virgula,acrescen ta-se à esquerda do produto tantos zeros quantos forem necessários. Exemplo: Multiplicar os números decimais 0,512 por 0,75 0,512 3 algarismos decimais no multiplicando 0,75 2 algarismos decimais no multiplicador 2560 , 3584 ! 0,38400 3+2 = 5 algarismos decimais no produto Neste exemplo, depois de colocada a virgul. — imi dois ze - ros, tendo como resultado: 0,384 gula, pode-se suprimir os Exemplo: Multiplicar os nimeros decimais 0,825 por 0,0003 0,825 5 algarismos decimais no multiplicando 0,0003 4 algarismos decimais no multiplicador 0,0002475 3+4 = 7 algarismos decimais no produto. nd Scanned by CamScanner 
