Universidade Federal do Cariri Fundamentos de Matemática Discreta
Lista de exercícios 1
Professor: Thiago Marcilon
obs:
O aluno pode usar a técnica que achar mais adequada para resolver as questões abaixo.
Exercício 1.
Prove que
a+b
2≥√ab
para todo real positivo
a
e
b
.
Exercício 2.
Prove que, se
p
é um número primo, ele não pode ser escrito como a diferença dos
quadrados de dois naturais não-consecutivos.
Exercício 3.
Prove que
Pn
i=0 qi=qn+1−1
q−1
para todo inteiro
n≥0
.
Exercício 4.
Conjecture uma fórmula fechada para o somatório
Pn
i=1 1
i·(i+1)
e prove-a.
Exercício 5.
Prove que
a+b
e
an+bn
têm a mesma paridade para todo
a, b
e
n
inteiros positivos.
Exercício 6.
Seja
f(k, n) = Pn
i=k1/i
. Conjecture uma fórmula fechada para o somatório
Pn
i=1 f(i, n)
,
a qual deve depender apenas de
n
, e prove-a.
Exercício 7.
Prove que 48 divide
72n−1
para todo natural
n
.
Exercício 8.
Seja
x
um inteiro maior do que um. Prove que, se
x
não é divisível por nenhum
número primo menor ou igual à sua raiz quadrada, então
x
é primo.
Exercício 9.
Prove que não existe o menor número real positivo.
Exercício 10.
Determine cada número
k
entre 1 e 99 tal que não existem inteiros
x
e
y
diferentes
de
0
e
−2
que satisfazem a equação
x+y=k−xy
e prove que a sua resposta está correta.
Exercício 11.
Prove que um tabuleiro de dimensões
n×m
pode ser ladrilhado por peças de
dimensão
2×2
se e somente se
n
e
m
são ambos pares.
1-1
