MATEM´
ATICA DISCRETA II — TERCEIRA LISTA DE EXERC´
ICIOS
O Bin´omio de Newton ´e t˜ao belo como a V´enus de Milo.
O que h´a ´e pouca gente para dar por isso.
´o´o´o´o—´o´o´o´o´o´o ´o´o´o—´o´o´o´o´o´o´o ´o´o´o´o´o´o´o´o
(O vento l´a fora.)
´
Alvaro de Campos
Problemas de Contagem II. Binˆomio de Newton. Fun¸c˜oes Geradoras.
1. Quantos inteiros entre 1000 e 10000 (inclusive) n˜ao s˜ao divis´ıveis nem por 2, nem por 3 e nem
por 5?
2. Lan¸cam-se 3 dados. Em quantos dos 63resultados poss´ıveis a soma dos pontos ´e 12?
3. Quantos s˜ao os inteiros de nd´ıgitos que tˆem todos os d´ıgitos p ertencentes ao conjunto {1,2,3}?
Em quantos deles figuram todos os inteiros 1, 2 e 3?
4. Quantas s˜ao as solu¸c˜oes inteiras e n˜ao-negativas da inequa¸c˜ao x+y+z≤5? Quantas s˜ao as
solu¸c˜oes inteiras da equa¸c˜ao x+y+z= 20 nas quais nenhuma inc´ognita ´e inferior a 2?
5. 63127 candidatos compareceram a uma prova do vestibular (25 quest˜oes de m´ultipla escolha com
5 alternativas por quest˜ao). Considere a afirma¸c˜ao: “Pelo menos dois candidatos responderam de modo
idˆentico as kprimeiras quest˜oes da prova.” Qual ´e o maior valor de kpara o qual podemos garantir
que a afirma¸c˜ao acima ´e verdadeira? E se a afirma¸c˜ao anterior fosse “Pelo menos quatro candidatos
responderam de modo idˆentico as kprimeiras quest˜oes da prova.”?
6. Mostre que em todo (n+ 1)-subconjunto de {1,2, . . . , 2n}h´a um par de elementos tais que um
elemento divide o outro.
7. Calcule: a)
n
X
k=0
(k+ 1)Ck
nb)
n
X
k=0
k2Ck
nc)
n
X
k=0
Ck
n
k+ 1.
8. Calcule: a)
n
X
k=1
k(2k+ 1) b)
n
X
k=1
(2k−1)2(k+ 2).
9. Partindo de (x+ 1)n(x+ 1)n= (x+ 1)2ne igualando coeficientes adequados, prove a f´ormula de
Lagrange (C0
n)2+ (C1
n)2+· · · + (Cn
n)2=Cn
2n. Partindo de (x+ 1)h(x+ 1)m= (x+ 1)h+m, prove a
f´ormula de Euler C0
mCp
h+C1
mCp−1
h+· · · +Cp
mC0
h=Cp
m+h.
10. Para quais valores de no desenvolvimento de 2x2−1
x3n
possui um termo independente de x?
11. Encontre a fun¸c˜ao geradora ordin´aria (em forma fechada) da seq¨uˆencia (an)∞
n=0 para:
a) an= 1 se n= 2kean= 0 se n= 2k+ 1, k∈N.
b) an= 0 se n= 2kean= 1 se n= 2k+ 1, k∈N.
