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Respostas da Aula 10
Respostas da atividade 1
Quest˜ao 1:
a) (f + g)(x) = f (x) + g(x) = (x
4 − 3 x
2
4 − 3 x
2
b)
(f g)(x) = f (x)g(x)
= (x
4 − 3 x
2
= 5 x
5 − 3 x
4 − 15 x
3
2
2 − 3 x + 10x − 6
= 5 x
5 − 3 x
4 − 15 x
3
2
c)
(f h − g)(x) = f (x)h(x) − g(x)
= (x
4 − 3 x
2
3 − x + 1) − (5x − 3)
= (x
7 − x
5
4 − 3 x
5
3 − 3 x
2
4 − x
2
3 − 2 x + 2) − (5x − 3)
= (x
7 − 4 x
5
4
3 − 4 x
2 − x + 2) − (5x − 3)
= x
7 − 4 x
5
4
3 − 4 x
2 − x + 2 − 5 x + 3
= x
7 − 4 x
5
4
3 − 4 x
2 − 6 x + 5
d)
h
2 (x) = h(x)h(x)
= (x
3 − x + 1)(x
3 − x + 1)
= x
6 − x
4
3 − x
4
2 − x + x
3 − x + 1
= x
6 − 2 x
4
3
2 − 2 x + 1
Quest˜ao 2: Uma vez que o grau de p ´e 5 e o de g ´e 2 , temos que o grau de f deve ser 3.
Logo, podemos escrever
f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x
2
3 .
Disso,
(f g)(x) = (a 0
2
3 )(x
2
= a 0 x
2
3
2 − a 1 x + a 2 x
4
3 − a 2 x
2
5
4 − a 3 x
3
= a 3 x
5
4
3
2
Comparando os coeficientes de f g com os de p, devemos ter
−a 0
a 0 − a 1
a 0
a 1
a 2
a 3 = 1
o que nos d´a
a 0 = 1
a 1
a 2 = 2
a 3
Portanto,
f (x) = x
3
2 − 2 x + 1.
Quest˜ao 3: Suponhamos, por absurdo, que uma tal fun¸c˜ao polinomial f exista. Neste
caso, f seria um polinˆomio de grau 2 , isto ´e,
f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x
2 .
Da´ı,
(f g)(x) = f (x)g(x)
= (a 0
2 )(x + 1)
= a 0 x + a 0
2
3
2
= a 0
- (a 0
- a 1 )x + (a 1
- a 2 )x
2
3 .
Comparando os coeficientes de f g com os de p, ter´ıamos
a 0 = 1
a 0
a 1
a 2
Comparando os coeficientes de f g com os de p, temos
−aa 0 = −a
k
a 0 − aa 1
a 1 − aa 2
a k− 2 − aa k− 1
a k− 1
De −aa 0 = −a
k , temos a 0 = a
k− 1
. Substituindo a 0 na segunda equa¸c˜ao, temos
a
k− 1 − aa 1 = 0 ⇔ aa 1 = a
k− 1 ⇔ a 1 = a
k− 2 .
Agora, substituindo a 1 na terceira equa¸c˜ao, temos
a
k− 2 − aa 2 = 0 ⇔ aa 2 = a
k− 2 ⇔ a 2 = a
k− 3 .
Procedendo de modo an´alogo com as outras equa¸c˜oes, obtemos
a 0 = a
k− 1
a 1 = a
k− 2
a 2 = a
k− 3
a k− 1
Logo,
f (x) = a
k− 1
k− 2 x + a
k− 3 x
2
k− 1
Portanto, conclu´ımos que
x
k − a
k = (x − a)(a
k− 1
k− 2 x + a
k− 3 x
2
k− 1 ).
Respostas da atividade 2
Quest˜ao 1: A fun¸c˜ao que queremos encontar tem grau menor ou igual a 3, com f (−1) =
f (0) = f (1) = 0. Neste caso, podemos fazer
f (x) = (x − (−1))(x − 0)(x − 1) = x(x + 1)(x − 1) = x(x
2 − 1) = x
3 − x.
Quest˜ao 2: Como f ´e de grau 2, temos
f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x
2 .
Impondo as condi¸c˜oes f (1/2) = − 1 , f (1) = 2/3 e f (0) = 1, obtemos:
a 0
a 1
a 2
a 0
a 0
Substituindo a 0 nas duas primeiras equa¸c˜oes, temos
a 1
a 2
a 1
Multiplicando a primeira equa¸c˜ao por -2 e somando com a segunda, temos
a 2
a 2
a 2
⇔ a 2
Agora, substituindo a 2 na segunda equa¸c˜ao, temos
a 1
⇔ a 1
⇔ a 1
Portanto,
f (x) =
x
2 −
x + 1.
Quest˜ao 3: Como f ´e de grau 1, temos
f (x) = a 0
Por hip´otese, 3 ´e um zero de f , ou seja, f (3) = 0, e (0, 3) ´e um ponto do gr´afico de
f , isto ´e, f (0) = 3. Disso, {
a 0
a 0 = 3
Substituindo a 0 na primeira equa¸c˜ao, obtemos a 1 = −1. Portanto,
f (x) = −x + 3.
Quest˜ao 4: Considere x 1 = 0 e x 2 = 1. Queremos construir f tal que f (0) = 1 e f (1) = 0.
Tomando os valores x 1 , x 2 e desconsiderando a hip´otese de f ser de grau menor ou igual a
1, podemos supor que f tem grau 2, isto ´e,
f (x) = a 0
2 .
