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Respostas da Aula 8
Respostas da atividade 1
Quest˜ao 1: a) y = √x n˜ao define fun¸c˜ao de A em B, pois existe − 1 ∈ A tal que √− 1 ∈/ B. b) x^4 = y define uma fun¸c˜ao de A em B. Note que x^4 ∈ B, ∀x ∈ A. c) y = (^) x −^1 1 n˜ao define fun¸c˜ao de A em B, pois o elemento 1 ∈ A n˜ao teria imagem, j´a que n˜ao existe divis˜ao por 0. d) y = 2x+1 define uma fun¸c˜ao de A em B. Note que para todo x ∈ A, temos 2x+1 ∈ B.
Quest˜ao 2: Vamos determinar a imagem de cada um dos elementos do seu dom´ınio.
- f (−2) = 2.(−2)^2 − (−2) = 2.4 + 2 = 10.
- f (−1) = 2.(−1)^2 − (−1) = 2.1 + 1 = 3.
- f (0) = 2. 02 − 0 = 2. 0 − 0 = 0.
- f (1) = 2.(1)^2 − 1 = 2. 1 − 1 = 1.
- f (2) = 2. 22 − 2 = 2. 4 − 2 = 6. Logo, o conjunto-imagem de f ´e Im(f ) = { 0 , 1 , 3 , 6 , 10 }. Quest˜ao 3: Consideremos f : N −→ N ∪ { 0 }, definida pela rela¸c˜ao f (x) = 2x^2 − x. a) Calculando f (2), f (6) e f (10):
- f (2) = 2. 22 − 2 = 2. 4 − 2 = 8 − 2 = 6.
- f (6) = 2. 62 − 6 = 2. 36 − 6 = 72 − 6 = 66.
- f (10) = 2. 102 − 10 = 2. 100 − 10 = 200 − 10 = 190. b) Note que f (x) = 2x^2 − x = x(2x − 1). O conjuto-imagem de f ´e: Im(f ) = {n ∈ N; n = x(2x − 1), x ∈ N}.
Respostas da atividade 2
Quest˜ao 1:
a) Figura 1: Gr´afico de f : [− 1 , 1] −→ R, f (x) = − 2 x
b) Figura 2: Gr´afico de f : R −→ R, f (x) = x + 1
Figura 4: Gr´afico de f : R −→ R, f (x) = x Note que a distˆancia entre o gr´afico de f e os pontos 1 e f (1) s˜ao iguais a 1. Assim, temos senα = senβ = √^12. como α e β s˜ao ˆangulos agudos, temos α = β. Logo, o gr´dos. O mesmo ocorre com o terceiro quadrante.afico de f ´e bissetriz do primeiro quadrante determinado pelos eixos coordena-
Quest˜ao 3: a) A fun¸c˜ao f (x) = x^3 x (^2 4) −^ + 1 5 x est´a definida para todos os n´umeros reais x tais que x^2 − 5 x 6 = 0.
No entanto, x (^2) − 5 x 6 = 0 ⇔ x(x − 5) 6 = 0 ⇔ x 6 = 0 e x 6 = 5. Logo, Dom(f ) = {x ∈ R; x 6 = 0 e x 6 = 5}. b) A fun¸c˜ao f (x) = √(x + π)(x − π) est´a definida para todos os n´umeros reais x tais que (x + π)(x − π) ≥ 0. No entanto, (x + π)(x − π) ≥ 0 ⇔
x + π ≥ 0 eou x − π ≥ 0 x + π ≤ 0 e x − π ≤ 0 ⇔
x ≥ −π e x ≥ π x ≤ −π^ ou e x ≤ π ⇔
x ≥ π x ≤ −^ ou π Logo, Dom(f ) = {x ∈ R; x ≤ −π ou x ≥ π}.
Resposta da atividade 3
Solu¸c˜ao: Verifiquemos inicialmente que g ◦ f e h ◦ g est˜ao bem definidas. Seja y ∈ Im(f ). Assim, ∃x ∈ R tal que y = x^2 + 1. Como x^2 ≥ 0, temos y est´ =a bem definida. x^2 + 1 ≥ 1, ou seja, y ∈ [1, +∞) = Dom(g). Logo Im(f ) ⊂ Dom(g). Portanto, g ◦ f
Seja w ∈ Im(g). Assim, ∃x ∈ [1, +∞) tal que w = √x − 1. Como x ≥ 1, temos x est´ −a bem definida. 1 ≥ 0, ou seja, w = √x − 1 ∈ R = Dom(h). Logo Im(g) ⊂ Dom(h). Portanto, h ◦ g
que queremos determinar s´Agora, vamos determinar (o est´a definida parag^ ◦^ f^ ).h^ + (h x◦ ≥g) .f1, pois n˜^. Comoao existe (^ Dom(g) = [1h ◦ g)(,^ +x∞) para outros), a fun¸c˜ao valores de x. Assim, temos (g ◦ f ).h + (h ◦ g).f : [1, +∞) −→ R
