MAC 338 - An´alise de Algoritmos
Departamento de Ciˆencia da Computa¸c˜ao
Primeiro semestre de 2011
Lista 2
1. Considere o seguinte problema: dados n, uma seq¨uˆencia de n´umeros reais an,...,a0e um n´umero
real x, determinar o valor do polinˆomio pn(x) = anxn+···+a1x+a0. Pode-se resolver esse
problema calculando o valor de qn−1(x) = anxn−1+··· +a2x+a1e, posteriormente, pn(x) =
x q(x) + a0. Esse m´etodo ´e chamado de regra de Horner. Projete um algoritmo de divis˜ao e
conquista para resolver o problema e compare-o ao m´etodo derivado da regra de Horner. Quantas
adi¸c˜oes e quantas multiplica¸c˜oes faz o seu algoritmo?
2. Descreva um algoritmo que, dados inteiros nek, juntamente com klistas ordenadas que em
conjunto tenham nregistros, produza uma ´unica lista ordenada contendo todos os registros
dessas listas (isto ´e, fa¸ca uma intercala¸c˜ao). O seu algoritmo deve ter complexidade O(nlg k).
Note que isto se transforma em O(nlg n) no caso de nlistas de 1 elemento, e em O(n) se s´o
houver duas listas (no total com nelementos).
3. Considere a seq¨uˆencia de vetores Ak[1 . . 2k], Ak−1[1 . . 2k−1],...,A1[1 . . 21], A0[1 . . 20].Suponha
que cada um dos vetores ´e crescente. Queremos reunir, por meio de sucessivas opera¸c˜oes de
intercala¸c˜ao (= merge), o conte´udo dos vetores A0,...,Akem um ´unico vetor crescente B[1 ..n],
onde n= 2k+1 −1. Escreva um algoritmo que fa¸ca isso em O(n) unidades de tempo. Use como
subrotina o Intercale visto em aula.
4. Qu˜ao rapidamente vocˆe pode multiplicar uma matriz kn ×npor uma n×kn, usando o algoritmo
de Strassen como subrotina? Responda a mesma quest˜ao com as ordens (n´umero de linhas e
colunas) das matrizes trocadas.
5. Um pesquisador chamado V. Pan descobriu uma maneira de fazer o produto de duas matrizes
68 ×68 usando 132.464 multiplica¸c˜oes, um jeito de fazer o produto de duas matrizes 70 ×70
usando 143.640 multiplica¸c˜oes, e um jeito de fazer o produto de duas matrizes 72 ×72 usando
155.424 multiplica¸c˜oes. Qual destes m´etodos leva ao algoritmo com melhor consumo de tempo
assint´otico de pior caso usando o m´etodo de divis˜ao e conquista? Como este consumo se compara
ao do algoritmo de Strassen?
6. Para esta quest˜ao, vamos dizer que a mediana de um vetor A[p . . r] com n´umero inteiros ´e o
valor que ficaria na posi¸c˜ao A[⌊(p+r)/2⌋] depois que o vetor A[p . . r] fosse ordenado.
Dado um algoritmo linear “caixa-preta” que devolve a mediana de um vetor, descreva um algo-
ritmo simples, linear, que, dado um vetor A[p . . r ] de inteiros distintos e um inteiro k, devolve
ok-´esimo m´ınimo do vetor. (O k-´esimo m´ınimo de um vetor de inteiros distintos ´e o elemento
que estaria na k-´esima posi¸c˜ao do vetor se ele fosse ordenado.)
7. A remo¸c˜ao da superf´ıcie escondida ´e um problema em computa¸c˜ao gr´afica que raramente precisa
de introdu¸c˜ao: quando o Jo˜ao t´a na frente da Maria, vocˆe pode ver o Jo˜ao, mas n˜ao a Maria;
quando a Maria t´a na frente do Jo˜ao, ... Vocˆe entendeu a ideia.
A beleza desse problema ´e que vocˆe pode resolvˆe-lo mais rapidamente do que a intui¸c˜ao em
geral sugere. Aqui est´a uma vers˜ao simplificada do problema onde j´a podemos apresentar um
algoritmo mais eficiente do que a primeira solu¸c˜ao em que se pode pensar. Imagine que s˜ao
dadas nretas n˜ao verticais no plano, denotadas por L1,...,Ln. Digamos que Li´e dada pela
equa¸c˜ao y=aix+bi, para i= 1,...,n. Suponha que n˜ao h´a trˆes retas entre as retas dadas que
se interseptam mutuamente num mesmo ponto. Dizemos que a reta Li´e a mais alta numa dada
coordenada x=x0se sua coordenada yem x0´e maior que a coordenada yem x0de todas as
outras retas dadas. Ou seja, se aix0+bi> ajx0+bjpara todo j6=i. Dizemos que Li´e vis´ıvel
