Baixe Introdução à Algebra Geométrica Aplicada ao Eletromagnetismo e outras Notas de estudo em PDF para Química, somente na Docsity!
Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, v. 28, n. 4, p. 441-443, (2006) www.sbfisica.org.br
Uma mini-introdu¸c˜ao `a concisa ´algebra geom´etrica do eletromagnetismo
(A very short introduction to the concise geometric algebra of the electromagnetism)
G.F. Leal Ferreira^1
Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo, S˜ao Carlos, SP, Brasil Recebido em 12/4/2006; Aceito em 13/7/
Faz-se uma brev´ıssima introdu¸c˜ao `a ´algebra geom´etrica aplicada ao eletromagnetismo para mostrar como as equa¸c˜oes de Maxwell se reduzem a uma ´unica equa¸c˜ao nesta linguagem muito concisa. Palavras-chave: ´algebra geom´etrica, multivetores, eletromagnetismo, equa¸c˜oes de Maxwell.
A very short introduction of the geometric algebra applied to the electromagnetism is carried out in order to show that the Maxwell equations are contained in a single equation when such a concise formalism is employed. Keywords: geometric algebra, multi-vectors, electromagnetism, Maxwell equations.
1. Introdu¸c˜ao
Estamos todos acostumados com a formula¸c˜ao do Ele- tromagnetismo (EM) segundo Gibbs-Heaviside, em que as entidades s˜ao, essencialmente, escalares e vetoriais: temos quatro equa¸c˜oes especificando a divergˆencia e o rotacional dos campos el´etrico e magn´etico. Confronte- mos esta situa¸c˜ao com a formula¸c˜ao do EM segundo a Algebra Geom´´ etrica (AG): temos aqui uma ´unica equa¸c˜ao! Nesta, as entidades s˜ao mais complexas, ge- radas por opera¸c˜oes geom´etricas: temos os escalares, os vetores, os bivetores e os trivetores. Do que conhece- mos do EM, n˜ao ´e natural associar ao campo magn´etico uma circularidade? De fato, na AG ele ser´a um bivetor e n˜ao um (pseudo)vetor. Evidentemente, apresentaremos aqui somente uma mini-introdu¸c˜ao `a AG aplicada ao Eletromagnetismo que, mesmo bastante incompleta, poder´a ter a virtude de atrair a aten¸c˜ao do leitor devido a sua concis˜ao e conte´udo f´ısico, na opini˜ao do autor, ainda n˜ao total- mente esclarecido. Uma apresenta¸c˜ao minuciosa da AG por Jayme Vaz Jr. foi publicada nesta revista [1] e no final deste artigo apresentamos bibliografia complemen- tar.
2. As entidades e seus produtos
As entidades da AG em trˆes dimens˜oes s˜ao os n-vetores ou vetores de grau n: os escalares, com a = 0, os veto- res, com a = 1, os bivetores com a = 2 e os trivetores, com a = 3. Isto ´e, al´em dos conhecidos escalares, λ, e vetores, a, temos o bivetor Bˆ representando o ‘plano’
orientado gerado por dois vetores ordenados, a e b. sua magnitude sendo ab se a e b s˜ao perpendiculares e re- presentado por Bˆ = a ∧ b (pronunciado ‘a cunha b’) ou por - Bˆ = a ∧ a (ver Fig. 1) A ´ultima entidade ´e o trivetor de grau 3, T , representado por T = a ∧ b ∧ c, sendo a entidade volum´etrica gerada pela terna or- togonal orientada a, b e c, de magnitude abc, Fig. 2, A unidade I , gerada quando os vetores s˜ao unit´arios, ´e, na verdade, em um pseudo-escalar, cujo quadrado ´e igual a − 1 , como o quadrado do imagin´ario i. A terna ordenada negativamente gera o trivetor -I.
Figura 1 - Os vetores a e b gerando o bivetor anti-hor´ario Bˆ a esquerda e b e a,a direita, gerando o bivetor hor´ario - Bˆ.
Figura 2 - Os vetores ortogonais a, b e c gerando o trivetor T =(abc)I positivo. Com a ordem dos vetores trocada, por exem- plo, b, a, c, o trivetor resultante ser´a negativo. (^1) E-mail: [email protected].
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Entre estas entidades est˜ao definidos dois produtos, com sentido geom´etrico bem definido: o externo e o interno. Por exemplo, o produto interno de dois veto- res, a e b, ´e o conhecido produto escalar a.b, enquanto que o produto externo, n˜ao comutativo, de a e b ´e o bivetor, a ∧ b. Na ´algebra de Gibbs, o produto cor- respondente ´e o produto vetorial axb que, na verdade, n˜ao gera um vetor, mas um pseudovetor. De fato, se o resultado do produto fosse um vetor, por uma invers˜ao espacial, a opera¸c˜ao deveria gerar o seu negativo, mas tem-se (-a)x(−b)= axb. Mostra-se que o bivetor Bˆ pode ser expresso como o produto do pseudo-escalar I pelo campo magn´etico B, isto ´e,
B^ ˆ = I B. (1)
Claro que os produtos interno e externo entre os n-vetores s˜ao consistente e geometricamente definidos, em particular o externo obedecendo a associatividade, de forma que, por exemplo, (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c). Em [2] h´a uma ampla cobertura da geometria dos produtos entre os v´arios n-vetores. Esse foi, grosso modo, o desenvolvimento da AG se- gundo o matem´atico alem˜ao, H. Grassmann, no meio do s´eculo XIX. Um pouco mais tarde, W. Clifford no Reino Unido, completou sua formula¸c˜ao.
3. Os multivetores e o produto cliffor
W. Clifford introduziu os multivetores que s˜ao a as- socia¸c˜ao numa ´unica entidade de diferentes n-vetores. Por exemplo, no E.M. cria-se a entidade uni˜ao do po- tencial escalar, U e do potencial vetor A, um multive- tor potencial de n = 0 e n =1. Note-se que estes em Relatividade formam os quadrivetores, um caso parti- cular de multivetor. O multivetor formado pelo campo el´etrico E e o bivetor magn´etico Bˆ ser´a o multivetor eletromagn´etico, com entidades n = 1, n = 2. Os spi- nores, base da formula¸c˜ao AG da mecˆanica quˆantica, s˜ao multivetores 0,2. A cria¸c˜ao dos multivetores permitiu `a Clifford ir mais al´em e generalizar o produto, unindo o produto interno e o externo. Por exemplo, o produto cliffor (no- menclatura usada em [2]) de dois vetores a e b ser´a a soma do escalar a.b e do bivetor a ∧ b,
ab = a.b + a ∧ b. (2)
Note-se que o produto cliffor pode ser definido para qualquer dois n-vetores e isto ´e feito respeitando-se a as- sociatividade. Por exemplo, ter-se-´a no produto cliffor de um bivetor por um vetor, (ab)c=a(bc)=abc, note- se, apesar da associatividade n˜ao se aplicar ao produto interno, envolvido nos quatro produtos ab, (ab)c, bc e a(bc).
4. O vetor nabla
O vetor nabla (a palavra nabla representa um instru- mento musical hebreu na forma de um triˆangulo inver- tido ∇) ´e o vetor designado `as mudan¸cas espaciais de um multivetor. Em coordenadas cartesianas ele ´e
∇ = ˆı
∂x
∂y
∂z
O produto cliffor ∇a, dando a varia¸c˜ao generalizada do vetor a ser´a ent˜ao
∇a = ∇.a + ∇ ∧ a, (4)
em que ∇.a ´e a conhecida divergˆencia de a e ∇∧ a ´e o bivetor correspondente ao rotacional de a, ∇× a, isto ´e, termo com n = 0 e outro com n = 2. Por esta raz˜ao, no caso de ∇ aplicado ao escalar λ x, considera-se ∇.λ (x ) = 0, pois λ j´a tem grau nulo, e, portanto, ∇ ∧ λ (x ) ´e definido como o familiar gradiente de λ (x ).
5. Aplica¸c˜ao ao EM
Vamos em primeiro lugar definir os muti-vetores gradi- entes generalizados, ∇′, e ∇′′, assim
∇′^ = ∇ −
c
∂t
e ∇′′^ = ∇ +
c
∂t
em que c ´e a velocidade da luz. Tendo em conta a correla¸c˜ao entre varia¸c˜oes espaciais e temporais dos fenˆomenos eletromagn´eticos, essa generaliza¸c˜ao ´e natu- ral. Vamos agora aplicar o operador ∇′^ ao multivetor potencial, n = 0, 1, −U +A, fun¸c˜oes da posi¸c˜ao e do tempo
∇′(−U + A) = (∇ −
c
∂t
)(−U + A) =
−∇U +
c
∂U
∂t
+ ∇A −
c
∂A
∂t
e usando a Eq. (4), tem-se finalmente
∇′(−U + A) =
[∇.A +
c
∂U
∂t
] + [−∇U −
c
∂A
∂t
] + [∇ ∧ A], (7)
em que os termos est˜ao separados de acordo com os graus, n = 0, a = 1 e a = 2, respectivamente, a condi¸c˜ao de Lorentz, o campo el´etrico E e o bivetor magn´etico Bˆ^2. (^2) O revisor argumentou que a defini¸c˜ao de ∇′′ (^) na Eq. (5) poderia ser omitida, pelo uso de operadores, como o de ‘gradua¸c˜ao’, que muda a componente n-vetor, Fn, do multivetor em (−1)nFn (no caso presente seria em (−1)n+1Fn), evidenciando a facilidade com que a AG transforma entidades e operadores. Agradecemos o coment´ario.
