EA978 – Lista 11 – Gradiente, Laplaciano e M´etodos Num´ericos
Data de Entrega: 20/10/2008
1 Gradiente e Laplaciano
Dada uma fun¸c˜ao escalar f(x, y, z ), como a fun¸c˜ao de intensidade de uma imagem. O gradiente de f,
grad I , ´e uma fun¸c˜ao vetorial
▽f=grad f =∂f
∂x i+∂ f
∂y j+∂ f
∂z k.
O gradiente da fun¸c˜ao ´e, portanto, um vetor, cuja magnitude e dire¸c˜ao independem da escolha par-
ticular de um referencial cartesiano. Se o gradiente de fnum ponto espec´ıfico P= (x, y, z) n˜ao se anula,
este gradiente tem a dire¸c˜ao ortogonal ao conjunto de n´ıvel da fun¸c˜ao fe aponta para a dire¸c˜ao de sua
maior varia¸c˜ao.
Para medir a magnitude ou o potencial do campo vetorial de gradiente em um dado ponto P, podemos
aplicar o operador divergˆencia div grad
div grad f =∂2f
∂x2+∂2f
∂y2+∂2f
∂z2.
Odivergente do gradiente ´e conhecido tamb´em como operador Laplaciano
▽2f=div grad f
Exerc´ıcios
1. Dada uma fun¸c˜ao f(x, y, z ) = z2−4(x2+y2).
•A qual figura geom´ettrica corresponde o conjunto de n´ıvel f(x, y, z) = 0?
•Calcule o vetor normal ne o grandiente no ponto P= (1,0,2) para o conjunto de n´ıvel
f(x, y, z) = 0. Compare a dire¸c˜ao destes vetores.
•Determine o ponto no conjunto de n´ıvel f(x, y , z) = 1 na dire¸c˜ao do gradiente do ponto
P= (1,0,2). Qual ´e a dire¸c˜ao do gradiente neste novo ponto?
2. Determine o laplaciano:
•xi+yj+zk
•y−1i−xy−2j+zk
•exy(yi+xj
2 M´etodo dos M´ınimos Quadr´aticos
Dado um conjunto de observa¸c˜oes
(x1, y1),(x2, y2),(x3, y3),···(xn, yn)
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